Nuqtadan tekislik yoki toʻgʻri chiziqgacha boʻlgan masofani bilish fazodagi figuralarning hajmi va sirtini hisoblash imkonini beradi. Ushbu masofani geometriyada hisoblash belgilangan geometrik ob'ektlar uchun mos keladigan tenglamalar yordamida amalga oshiriladi. Maqolada uni qanday formulalar yordamida aniqlash mumkinligini ko'rsatamiz.
Chiziq va tekislik tenglamalari
Nuqtadan tekislik va chiziqgacha boʻlgan masofani aniqlash formulalarini berishdan oldin, keling, ushbu obyektlarni qanday tenglamalar tavsiflashini koʻrsatamiz.
Nuqtani aniqlash uchun berilgan koordinata oʻqlari tizimidagi koordinatalar toʻplamidan foydalaniladi. Bu erda biz faqat o'qlari bir xil birlik vektorlariga ega bo'lgan va o'zaro perpendikulyar bo'lgan Dekart to'rtburchaklar tizimini ko'rib chiqamiz. Tekislikda ixtiyoriy nuqta ikkita koordinata bilan, fazoda esa uchta koordinata bilan tasvirlanadi.
Toʻgʻri chiziqni aniqlash uchun har xil turdagi tenglamalardan foydalaniladi. Maqolaning mavzusiga muvofiq biz taqdim etamizUlardan faqat ikkitasi, ular ikki o'lchovli fazoda chiziqlarni aniqlash uchun ishlatiladi.
Vektor tenglamasi. Unda quyidagi yozuv bor:
(x; y)=(x0; y0) + l(a; b).
Bu yerdagi birinchi had chiziqda yotgan ma'lum nuqtaning koordinatalarini ifodalaydi. Ikkinchi a'zo - yo'nalish vektori koordinatalari ixtiyoriy l soniga ko'paytiriladi.
Umumiy tenglama. Uning yozuvi quyidagicha:
Ax + By + C=0;
bu erda A, B, C ba'zi koeffitsientlar.
Umumiy tenglama koʻproq tekislikdagi chiziqlarni aniqlashda qoʻllaniladi, biroq tekislikdagi nuqtadan chiziqgacha boʻlgan masofani topish uchun vektor ifodasi bilan ishlash qulayroqdir.
Uch oʻlchamli fazodagi tekislikni bir necha matematik usullarda ham yozish mumkin. Shunga qaramay, ko'pincha muammolarda umumiy tenglama mavjud bo'lib, u quyidagicha yoziladi:
Ax + By + Cz + D=0.
Bu belgining boshqalarga nisbatan afzalligi shundaki, u tekislikka perpendikulyar vektor koordinatalarini aniq o'z ichiga oladi. Bu vektor unga yo'n altiruvchi deyiladi, u normal yo'nalishga to'g'ri keladi va uning koordinatalari (A; B; C) ga teng.
Yuqoridagi ifoda ikki oʻlchovli fazoda toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasini yozish shakliga toʻgʻri kelishini eʼtiborga oling, shuning uchun masalalarni yechishda ushbu geometrik jismlarni chalkashtirib yubormaslik uchun ehtiyot boʻlishingiz kerak.
Nuqta va chiziq orasidagi masofa
Toʻgʻri chiziq va orasidagi masofani qanday hisoblashni koʻrsatamizikki o'lchovli fazoda nuqta.
Q(x1; y1) nuqta va berilgan qator boʻlsin:
(x; y)=(x0; y0) + l(a; b).
Chiziq va nuqta orasidagi masofa deganda Q nuqtadan pastga tushirilgan ushbu chiziqqa perpendikulyar boʻlgan segmentning uzunligi tushuniladi.
Ushbu masofani hisoblashdan oldin bu tenglamada Q koordinatalarini almashtirish kerak. Agar ular uni qanoatlantirsa, u holda Q berilgan chiziqqa tegishli bo'lib, mos masofa nolga teng. Agar nuqtaning koordinatalari tenglikka olib kelmasa, u holda geometrik jismlar orasidagi masofa nolga teng emas. Uni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Bu yerda P toʻgʻri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi boʻlib, PQ¯ vektorining boshi hisoblanadi. u¯ vektori to'g'ri chiziq uchun yo'n altiruvchi segmentdir, ya'ni uning koordinatalari (a; b).
Ushbu formuladan foydalanish hisoblagichdagi oʻzaro koʻpaytmani hisoblash qobiliyatini talab qiladi.
Nuqta va chiziq bilan muammo
Deylik, Q(-3; 1) va tenglamani qanoatlantiradigan toʻgʻri chiziq orasidagi masofani topish kerak:
y=5x -2.
Q ning koordinatalarini ifodaga almashtirsak, Q chiziq ustida yotmasligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. Agar siz ushbu tenglamani vektor ko'rinishida ifodalasangiz, yuqoridagi paragrafda berilgan d formulasini qo'llashingiz mumkin. Keling, shunday qilaylik:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + l(1; 5).
Endi bu chiziqning istalgan nuqtasini olaylik, masalan (0; -2) va undan boshlanib Q: bilan tugaydigan vektor quramiz.
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Endi masofani aniqlash uchun formuladan foydalaning, biz olamiz:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Nuqtadan samolyotgacha boʻlgan masofa
Toʻgʻri chiziq misolida boʻlgani kabi, tekislik va fazodagi nuqta orasidagi masofa deganda berilgan nuqtadan tekislikka perpendikulyar ravishda tushirilgan va uni kesib oʻtuvchi segment uzunligi tushuniladi.
Kosmosda nuqta uchta koordinata bilan berilgan. Agar ular teng bo'lsa (x1; y1; z1), u holda ular orasidagi masofa tekislik va bu nuqta quyidagi formula yordamida hisoblanishi mumkin:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
E'tibor bering, formuladan foydalanish faqat tekislikdan chiziqgacha bo'lgan masofani topish imkonini beradi. Perpendikulyar segment tekislikni kesib o'tadigan nuqtaning koordinatalarini topish uchun ushbu segment tegishli bo'lgan to'g'ri chiziq uchun tenglamani yozish kerak, so'ngra ushbu to'g'ri va berilgan tekislik uchun umumiy nuqtani topish kerak.
Samolyot va nuqta bilan muammo
Nuqtaning koordinatalari (3; -1; 2) va tekislik quyidagicha berilganligi ma'lum bo'lsa, nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofani toping:
-y + 3z=0.
Tegishli formuladan foydalanish uchun avvalo koeffitsientlarni yozamizberilgan samolyot. X o'zgaruvchisi va erkin muddat mavjud bo'lmagani uchun A va D koeffitsientlari nolga teng. Bizda:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Bu tekislik koordinatadan oʻtishini va x oʻqi unga tegishli ekanligini koʻrsatish oson.
Nuqta koordinatalarini va tekislik koeffitsientlarini d masofasi formulasiga almashtirsak:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
E'tibor bering, agar siz nuqtaning x-koordinatasini o'zgartirsangiz, d masofasi o'zgarmaydi. Bu fakt (x; -1; 2) nuqtalar to‘plami berilgan tekislikka parallel to‘g‘ri chiziq hosil qilishini bildiradi.
