Planimetriya - geometriyaning tekis figuralarning xossalarini o'rganuvchi bo'limi. Bularga nafaqat taniqli uchburchaklar, kvadratlar, to'rtburchaklar, balki to'g'ri chiziqlar va burchaklar ham kiradi. Planimetriyada aylanadagi burchaklar: markaziy va chizilgan kabi tushunchalar ham mavjud. Lekin ular nimani anglatadi?
Markaziy burchak nima?
Markaziy burchak nima ekanligini tushunish uchun doirani belgilashingiz kerak. Doira berilgan nuqtadan (aylana markazi) teng masofadagi barcha nuqtalar yigʻindisidir.
Uni aylanadan farqlash juda muhim. Shuni esda tutish kerakki, aylana yopiq chiziq, aylana esa u bilan chegaralangan tekislikning bir qismidir. Ko‘pburchak yoki burchakni aylana ichiga yozish mumkin.
Markaziy burchak choʻqqisi aylananing markaziga toʻgʻri keladigan va tomonlari aylanani ikki nuqtada kesib oʻtuvchi burchakdir. Burchak kesishish nuqtalari bilan chegaralanadigan yoy berilgan burchak tayangan yoy deb ataladi.
1-misolni ko'rib chiqing.
Rasmda AOB burchagi markaziy, chunki burchakning tepasi va aylananing markazi bir O nuqtadir. U AB yoyiga tayanadi, unda C nuqtasi yoʻq.
Chizilgan burchak markaziy burchakdan nimasi bilan farq qiladi?
Biroq, markaziy burchaklardan tashqari, chizilgan burchaklar ham mavjud. Ularning farqi nimada? Xuddi markaziy burchak kabi, aylana ichiga yozilgan burchak ma'lum bir yoyga tayanadi. Lekin uning cho‘qqisi aylananing markaziga to‘g‘ri kelmaydi, balki uning ustida joylashgan.
Keling, quyidagi misolni olaylik.
ACB burchagi markazi O nuqtada joylashgan aylana ichiga chizilgan burchak deyiladi. C nuqta aylanaga tegishli, ya’ni uning ustida yotadi. Burchak AB yoyiga tayanadi.
Markaziy burchak nima
Geometriyadagi muammolarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun ichki va markaziy burchaklarni ajrata olishning oʻzi yetarli emas. Qoida tariqasida, ularni hal qilish uchun aylanadagi markaziy burchakni qanday topishni aniq bilishingiz va uning qiymatini darajalarda hisoblay olishingiz kerak.
Demak, markaziy burchak u tayangan yoyning daraja oʻlchamiga teng.
Rasmda AOB burchagi 66° ga teng AB yoyida joylashgan. Demak, AOB burchagi ham 66° ga teng.
Shunday qilib, teng yoylarga asoslangan markaziy burchaklar teng.
Rasmda DC yoyi AB yoyiga teng. Shunday qilib, AOB burchagi DOC burchagiga teng.
Yozilgan burchakni qanday topish mumkin
Aylanaga chizilgan burchak markaziy burchakka tengdek tuyulishi mumkin,qaysi bir xil yoyga tayanadi. Biroq, bu qo'pol xato. Darhaqiqat, hatto chizmaga qarab va bu burchaklarni bir-biri bilan taqqoslasangiz, ularning daraja o'lchovlari turli qiymatlarga ega bo'lishini ko'rishingiz mumkin. Xo'sh, aylanaga qanday burchak yozilgan?
Chizilgan burchakning gradus oʻlchami u tayangan yoyning yarmiga, agar ular bir xil yoyga tayansa, markaziy burchakning yarmiga teng.
Bir misolni ko'rib chiqaylik. ACB burchagi 66° ga teng yoyga asoslangan.
Demak DIA burchagi=66°: 2=33°
Ushbu teoremaning ba'zi oqibatlarini ko'rib chiqaylik.
- Yozilgan burchaklar, agar ular bir xil yoy, akkord yoki teng yoylarga asoslangan boʻlsa, tengdir.
- Agar chizilgan burchaklar bir xil akkordga asoslangan boʻlsa, lekin ularning uchlari uning qarama-qarshi tomonlarida yotsa, bunday burchaklarning daraja oʻlchovlari yigʻindisi 180° ga teng, chunki bu holda ikkala burchak ham yoylarga asoslanadi, umumiy daraja o'lchovi 360 ° (butun doira), 360 °: 2=180 °
- Agar chizilgan burchak berilgan aylananing diametriga asoslansa, uning daraja oʻlchami 90° boʻladi, chunki diametr 180°, 180° ga teng yoyni ajratadi: 2=90°
- Agar aylanadagi markaziy va chizilgan burchaklar bir xil yoy yoki akkordga asoslangan boʻlsa, u holda chizilgan burchak markaziy burchakning yarmiga teng boʻladi.
Ushbu mavzudagi muammolarni qayerdan topish mumkin? Ularning turlari va yechimlari
Doira va uning xossalari geometriyaning, xususan, planimetriyaning eng muhim bo'limlaridan biri bo'lganligi sababli, doiradagi chizilgan va markaziy burchaklar keng va batafsil mavzudir.maktab o‘quv dasturida o‘qigan. Ularning xususiyatlariga bag'ishlangan vazifalar asosiy davlat imtihonida (OGE) va yagona davlat imtihonida (USE) mavjud. Qoidaga ko'ra, bu muammolarni hal qilish uchun siz aylanadagi burchaklarni darajalarda topishingiz kerak.
Bir xil yoyga asoslangan burchaklar
Bu turdagi masalalar, ehtimol, eng osonlaridan biri, chunki uni hal qilish uchun siz faqat ikkita oddiy xususiyatni bilishingiz kerak: agar ikkala burchak ham bir xil akkordga yozilgan bo'lsa, ular tengdir, agar ulardan biri bo'lsa. markaziy, keyin tegishli yozilgan burchak uning yarmiga teng. Biroq, ularni hal qilishda juda ehtiyot bo'lish kerak: ba'zida bu xususiyatni sezish qiyin va talabalar bunday oddiy muammolarni hal qilishda boshi berk ko'chaga tushib qolishadi. Misol keltiring.
Muammo 1
Markazi O nuqtada joylashgan aylana berilgan. AOB burchagi 54°. DIA burchakning daraja oʻlchamini toping.
Bu vazifa bir bosqichda hal qilinadi. Bunga tezda javob topish uchun sizga kerak bo'lgan yagona narsa - bu ikkala burchak joylashgan yoy umumiy ekanligini payqashdir. Buni ko'rib, siz allaqachon tanish bo'lgan xususiyatni qo'llashingiz mumkin. ACB burchagi AOB burchagining yarmiga teng. Shunday qilib
1) AOB=54°: 2=27°.
Javob: 54°.
Bir xil doiradagi turli yoylarga asoslangan burchaklar
Ba'zan kerakli burchak tayanadigan yoyning o'lchami muammoning shartlarida bevosita ko'rsatilmaydi. Uni hisoblash uchun siz bu burchaklarning kattaligini tahlil qilishingiz va ularni doiraning ma'lum xususiyatlari bilan solishtirishingiz kerak.
Muammo 2
Markazi O nuqtada joylashgan aylanada, AOC burchagi120°, AOB burchagi esa 30°. SIZNING burchagini toping.
Boshlash uchun shuni aytish kerakki, bu muammoni teng yonli uchburchaklar xossalari yordamida hal qilish mumkin, ammo buning uchun koʻproq matematik amallar kerak boʻladi. Shuning uchun bu yerda aylanadagi markaziy va chizilgan burchaklar xossalaridan foydalanib yechimni tahlil qilamiz.
Demak, AOC burchagi AC yoyiga tayanadi va markaziydir, ya'ni AC yoyi AOC burchagiga teng.
AC=120°
Xuddi shunday, AOB burchagi AB yoyiga tayanadi.
AB=30°.
Buni va butun aylananing daraja oʻlchamini (360°) bilib, BC yoyning kattaligini osongina topishingiz mumkin.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
CAB burchagining tepasi A nuqta aylana ustida joylashgan. Demak, CAB burchagi chizilgan va CB yoyining yarmiga teng.
CAB burchagi=210°: 2=110°
Javob: 110°
Yon nisbatlariga asoslangan muammolar
Ba'zi masalalarda burchaklar haqidagi ma'lumotlar umuman mavjud emas, shuning uchun ularni faqat aylananing ma'lum teoremalari va xossalari asosida qidirish kerak.
Muammo 1
Berilgan aylana radiusiga teng akkord bilan tayangan aylana ichiga chizilgan burchakni toping.
Agar siz segmentning uchlarini doira markazi bilan bog'laydigan chiziqlarni aqliy ravishda chizsangiz, siz uchburchakka ega bo'lasiz. Uni ko'rib chiqqach, bu chiziqlar aylananing radiusi ekanligini ko'rishingiz mumkin, ya'ni uchburchakning barcha tomonlari tengdir. Biz bilamizki, teng tomonli uchburchakning barcha burchaklari60° ga teng. Demak, uchburchakning uchini o'z ichiga olgan AB yoyi 60° ga teng. Bu yerdan AB yoyi topiladi, unga kerakli burchak asoslanadi.
AB=360° - 60°=300°
ABC burchagi=300°: 2=150°
Javob: 150°
Muammo 2
O nuqtada markazlashtirilgan aylanada yoylar 3:7 nisbatda bog'langan. Kichikroq chizilgan burchakni toping.
Yechim uchun biz bir qismni X deb belgilaymiz, keyin bitta yoy 3X ga, ikkinchisi esa mos ravishda 7X ga teng. Doiraning daraja o'lchovi 360° ekanligini bilib, biz tenglama yozishimiz mumkin.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Shartga ko'ra, siz kichikroq burchakni topishingiz kerak. Shubhasiz, agar burchakning qiymati u joylashgan yoyga to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lsa, kerakli (kichikroq) burchak 3X ga teng yoyga to'g'ri keladi.
Demak, kichikroq burchak (36°3): 2=108°: 2=54°
Javob: 54°
Muammo 3
O nuqtada markazlashtirilgan aylanada AOB burchagi 60° va kichikroq yoy uzunligi 50 ga teng. Kattaroq yoy uzunligini hisoblang.
Kattaroq yoyning uzunligini hisoblash uchun siz proportsiya qilishingiz kerak - kichikroq yoyning kattaroqqa qanday aloqasi bor. Buning uchun ikkala yoyning kattaligini darajalarda hisoblaymiz. Kichikroq yoy unga tayangan burchakka teng. Uning gradus o'lchami 60 °. Kattaroq yoy aylananing daraja oʻlchovi (boshqa maʼlumotlardan qatʼiy nazar u 360° ga teng) va kichikroq yoy oʻrtasidagi farqga teng.
Katta yoy 360° - 60°=300°.
300°: 60°=5 boʻlgani uchun katta yoy kichikroqdan 5 barobar koʻp.
Katta yoy=505=250
Javob: 250
Demak, albatta, boshqalar ham borshunga o'xshash muammolarni hal qilishda yondashuvlar, ammo ularning barchasi qandaydir tarzda markaziy va chizilgan burchaklar, uchburchaklar va doiralarning xususiyatlariga asoslanadi. Ularni muvaffaqiyatli yechish uchun chizmani sinchiklab o‘rganish va uni masala ma’lumotlari bilan solishtirish, shuningdek, nazariy bilimlarni amaliyotda qo‘llay bilish kerak.
