Fazal figuralarning hajmini aniqlash qobiliyati geometrik va amaliy masalalarni yechishda muhim ahamiyatga ega. Bu figuralardan biri prizmadir. Biz maqolada bu nima ekanligini ko'rib chiqamiz va qiya prizma hajmini qanday hisoblashni ko'rsatamiz.
Geometriyada prizma deganda nima tushuniladi?
Bu parallel tekisliklarda joylashgan ikkita bir xil asos va belgilangan asoslarni bogʻlovchi bir nechta parallelogrammalardan tashkil topgan muntazam koʻpburchak (koʻp yuzli).
Prizma asoslari ixtiyoriy koʻpburchaklar boʻlishi mumkin, masalan, uchburchak, toʻrtburchak, yettiburchak va hokazo. Bundan tashqari, ko'pburchakning burchaklari (tomonlari) soni raqam nomini aniqlaydi.
N-burchakli asosli har qanday prizma (n - tomonlar soni) n+2 yuz, 2 × n uch va 3 × n qirralardan iborat. Berilgan raqamlardan ko'rinib turibdiki, prizma elementlari soni Eyler teoremasiga mos keladi:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Quyidagi rasmda shishadan yasalgan uchburchak va toʻrtburchak prizmalar qanday koʻrinishi koʻrsatilgan.
Raqam turlari. Egri prizma
Yuqorida aytib o’tilgan ediki, prizma nomi ko’pburchakning poydevoridagi tomonlar soniga qarab belgilanadi. Biroq, uning tuzilishida raqamning xususiyatlarini aniqlaydigan boshqa xususiyatlar mavjud. Demak, prizmaning lateral yuzasini tashkil etuvchi barcha parallelogrammalar to'rtburchaklar yoki kvadratlar bilan tasvirlangan bo'lsa, unda bunday raqam to'g'ri chiziq deb ataladi. Toʻgʻri prizma uchun asoslar orasidagi masofa har qanday toʻrtburchakning yon chetining uzunligiga teng.
Agar tomonlarning bir qismi yoki barchasi parallelogramm bo'lsa, u holda biz qiya prizma haqida gapiramiz. Uning balandligi allaqachon yon qovurg'aning uzunligidan kamroq bo'ladi.
Ko'rib chiqilayotgan raqamlarni tasniflashning yana bir mezoni bu ko'pburchakning poydevoridagi tomonlarning uzunliklari va burchaklaridir. Agar ular bir-biriga teng bo'lsa, unda ko'pburchak to'g'ri bo'ladi. Poydevorlarida muntazam ko'pburchak bo'lgan to'g'ri figuraga muntazam deyiladi. Sirt maydoni va hajmini aniqlashda u bilan ishlash qulay. Bu borada moyil prizma ba'zi qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi.
Quyidagi rasmda asosi kvadrat boʻlgan ikkita prizma koʻrsatilgan. 90° burchak toʻgʻri va qiya prizma oʻrtasidagi asosiy farqni koʻrsatadi.
Fikr hajmini aniqlash formulasi
Prizma yuzlari bilan chegaralangan fazoning bir qismi uning hajmi deyiladi. Ko'rib chiqilayotgan har qanday turdagi raqamlar uchun bu qiymat quyidagi formula bo'yicha aniqlanishi mumkin:
V=h × So
Bu yerda h belgisi prizma balandligini bildiradi,bu ikki asos orasidagi masofaning o'lchovidir. So belgisi - bitta asosiy kvadrat.
Asosiy hududni topish oson. Ko'pburchakning to'g'ri yoki yo'qligi va uning tomonlari sonini bilgan holda, tegishli formulani qo'llash va So olish kerak. Masalan, yon uzunligi a bo'lgan oddiy n-burchak uchun maydon quyidagicha bo'ladi:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Endi h balandligiga o'tamiz. To'g'ri prizma uchun balandlikni aniqlash qiyin emas, lekin qiya prizma uchun bu oson ish emas. Uni aniq boshlang'ich sharoitlardan boshlab turli xil geometrik usullar bilan hal qilish mumkin. Biroq, raqamning balandligini aniqlashning universal usuli mavjud. Keling, buni qisqacha tasvirlab beraylik.
Maqsad fazodagi nuqtadan tekislikgacha boʻlgan masofani topishdir. Samolyot quyidagi tenglama bilan berilgan deb faraz qilaylik:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Unda samolyot uzoqda boʻladi:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Agar koordinata oʻqlari (0; 0; 0) nuqta prizmaning pastki asosi tekisligida yotadigan qilib joylashtirilgan boʻlsa, asos tekisligi uchun tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
z=0
Bu balandlik formulasi yozilishini bildiradishunday:
h=z1
Shakl balandligini aniqlash uchun yuqori asosning istalgan nuqtasining z-koordinatasini topish kifoya.
Muammo yechishga misol
Quyidagi rasmda toʻrtburchak prizma koʻrsatilgan. Qiya prizmaning asosi tomoni 10 sm bo'lgan kvadrat bo'lib, yon chetining uzunligi 15 sm, frontal parallelogrammning o'tkir burchagi 70 ° ekanligi ma'lum bo'lsa, uning hajmini hisoblash kerak.
Shaklning h balandligi ham parallelogrammning balandligi bo'lganligi sababli, h ni topish uchun uning maydonini aniqlash uchun formulalardan foydalanamiz. Paralelogrammning tomonlarini quyidagicha belgilaymiz:
a=10 sm;
b=15cm
Unda Sp maydonini aniqlash uchun uning uchun quyidagi formulalarni yozishingiz mumkin:
Sp=a × b × sin (a);
Sp=a × h
Qaerdan olamiz:
h=b × sin (a)
Bu yerda a - parallelogrammning o'tkir burchagi. Asos kvadrat bo'lgani uchun qiya prizmaning hajmi formulasi quyidagicha bo'ladi:
V=a2 × b × sin (a)
Shartdagi ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va javobni olamiz: V ≈ 1410 sm3.
