Funksiyalar va ularning grafiklarini o'rganish o'rta maktab o'quv dasturi doirasida alohida e'tibor beriladigan mavzudir. Matematik tahlilning ba'zi asoslari - differentsiatsiya - matematikadan imtihonning profil darajasiga kiritilgan. Ba'zi maktab o'quvchilari ushbu mavzu bo'yicha muammolarga duch kelishadi, chunki ular funktsiya va hosila grafiklarini chalkashtirib yuborishadi, shuningdek, algoritmlarni unutishadi. Ushbu maqolada vazifalarning asosiy turlari va ularni hal qilish yoʻllari koʻrib chiqiladi.
Funksiya qiymati nima?
Matematik funktsiya maxsus tenglamadir. Bu raqamlar o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Funktsiya argument qiymatiga bog'liq.
Funksiyaning qiymati berilgan formula bo’yicha hisoblanadi. Buning uchun ushbu formuladagi haqiqiy qiymatlar oralig'iga mos keladigan har qanday argumentni x o'rniga qo'ying va kerakli matematik amallarni bajaring. Nima?
Funksiyaning eng kichik qiymatini qanday topish mumkin?grafik funksiyasidan foydalanasizmi?
Funksiyaning argumentga bog’liqligini grafik tasvirlash funksiya grafigi deyiladi. U maʼlum birlik segmentiga ega boʻlgan tekislikda qurilgan boʻlib, bu yerda oʻzgaruvchi yoki argument qiymati gorizontal abtsissa oʻqi boʻylab, mos funksiya qiymati esa vertikal ordinata oʻqi boʻylab chiziladi.
Argumentning qiymati qanchalik katta bo'lsa, u grafikda shunchalik o'ng tomonda joylashgan. Funktsiyaning o'zi qanchalik katta bo'lsa, nuqta shunchalik yuqori bo'ladi.
Bu nima deydi? Funktsiyaning eng kichik qiymati grafikda eng past joylashgan nuqta bo'ladi. Uni diagramma segmentida topish uchun sizga kerak:
1) Ushbu segmentning uchlarini toping va belgilang.
2) Ushbu segmentning qaysi nuqtasi eng pastda ekanligini vizual tarzda aniqlang.
3) Bunga javoban nuqtani Y oʻqiga proyeksiya qilish orqali aniqlanishi mumkin boʻlgan raqamli qiymatini yozing.
Hosilaviy diagrammadagi ekstremum nuqtalar. Qayerga qarash kerak?
Ammo masalalarni yechishda baʼzan funksiyaning emas, uning hosilasining grafigi beriladi. Tasodifan ahmoqona xatoga yo'l qo'ymaslik uchun shartlarni diqqat bilan o'qib chiqqan ma'qul, chunki bu ekstremum nuqtalarni qayerdan izlash kerakligiga bog'liq.
Demak, hosila funksiyaning bir lahzali ortish tezligidir. Geometrik ta'rifga ko'ra, hosila to'g'ridan-to'g'ri berilgan nuqtaga tortilgan tangensning qiyaligiga mos keladi.
Ma'lumki, ekstremum nuqtalarda tangens Ox o'qiga parallel bo'ladi. Bu uning qiyaligi 0 ekanligini bildiradi.
Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, ekstremum nuqtalarda hosila x o'qida yotadi yoki yo'qoladi. Ammo qo'shimcha ravishda, bu nuqtalarda funktsiya o'z yo'nalishini o'zgartiradi. Ya'ni, o'sish davridan keyin u kamayishni boshlaydi va lotin, mos ravishda, ijobiydan salbiyga o'zgaradi. Yoki aksincha.
Agar lotin musbatdan manfiy boʻlsa, bu maksimal nuqta. Agar salbiydan ijobiy bo'lsa - minimal nuqta.
Muhim: agar siz vazifada minimal yoki maksimal nuqtani belgilashingiz kerak bo'lsa, javob sifatida abtsissa o'qi bo'ylab mos keladigan qiymatni yozishingiz kerak. Ammo funksiyaning qiymatini topish kerak bo‘lsa, avvalo funksiyaga argumentning mos qiymatini qo‘yish va uni hisoblash kerak.
Hosila yordamida ekstremum nuqtalarni qanday topish mumkin?
Ko'rib chiqilgan misollar, asosan, hosila yoki antiderivativ grafigi bilan ishlashni o'z ichiga olgan imtihonning №7 topshirig'iga taalluqlidir. Lekin USE ning 12-topshirigi - segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymatini (ba'zan eng kattasini) topish - hech qanday chizmalarsiz bajariladi va matematik tahlilda asosiy ko'nikmalarni talab qiladi.
Buni amalga oshirish uchun hosila yordamida ekstremum nuqtalarni topa bilishingiz kerak. Ularni topish algoritmi quyidagicha:
- Funksiyaning hosilasini toping.
- Uni nolga sozlang.
- Tenglamaning ildizlarini toping.
- Olingan nuqtalar ekstremum yoki burilish nuqtalari ekanligini tekshiring.
Buni amalga oshirish uchun diagramma chizing va davom etinghosil bo'lgan intervallar segmentlarga tegishli sonlarni hosilaga almashtirish orqali hosilaning belgilarini aniqlaydi. Agar tenglamani yechishda siz ikki barobar koʻplik ildizlariga ega boʻlsangiz, bu burilish nuqtalari.
Teoremalarni qoʻllash orqali qaysi nuqtalar minimal va qaysilari maksimal ekanligini aniqlang
Funksiyaning eng kichik qiymatini hosila yordamida hisoblang
Biroq, bu amallarning barchasini bajarib, biz x o'qi bo'ylab minimal va maksimal nuqtalarning qiymatlarini topamiz. Lekin segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymatini qanday topish mumkin?
Muayyan nuqtadagi funktsiyaga mos keladigan raqamni topish uchun nima qilish kerak? Argument qiymatini ushbu formulaga almashtirishingiz kerak.
Minimum va maksimal nuqtalar segmentdagi funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatiga mos keladi. Demak, funksiyaning qiymatini topish uchun olingan x qiymatlar yordamida funksiyani hisoblash kerak.
Muhim! Agar vazifa minimal yoki maksimal nuqtani belgilashni talab qilsa, javob sifatida x o'qi bo'ylab mos keladigan qiymatni yozishingiz kerak. Ammo funksiyaning qiymatini topish kerak bo‘lsa, avvalo funktsiyaga argumentning mos keladigan qiymatini almashtirish va kerakli matematik amallarni bajarish kerak.
Agar bu segmentda past darajalar boʻlmasa, nima qilishim kerak?
Ammo ekstremum nuqtalari boʻlmagan segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymatini qanday topish mumkin?
Bu funksiya undagi monoton ravishda kamayib yoki ortib borishini bildiradi. Keyin ushbu segmentning ekstremal nuqtalarining qiymatini funktsiyaga almashtirishingiz kerak. Ikki yo'l bor.
1) Hisoblanganhosila va u musbat yoki manfiy boʻlgan intervallar, berilgan segmentda funksiya kamayib borayotgan yoki ortib borayotgani haqida xulosa chiqarish uchun.
Ularga muvofiq funktsiyaga argumentning katta yoki kichik qiymatini almashtiring.
2) Shunchaki ikkala nuqtani funksiyaga almashtiring va natijada olingan funksiya qiymatlarini solishtiring.
Qaysi vazifalarda hosila topish ixtiyoriy
Qoida tariqasida, USE topshiriqlarida siz hali ham hosilani topishingiz kerak. Faqat bir nechta istisnolar mavjud.
1) Parabola.
Parabolaning tepasi formula boʻyicha topiladi.
Agar < 0 boʻlsa, parabolaning shoxlari pastga yoʻn altiriladi. Uning eng yuqori nuqtasi esa maksimal nuqtadir.
Agar > 0 boʻlsa, parabolaning shoxlari yuqoriga yoʻn altirilgan boʻlsa, choʻqqi minimal nuqtadir.
Parabolaning tepa nuqtasini hisoblab, uning qiymatini funktsiyaga almashtirishingiz va funksiyaning mos qiymatini hisoblashingiz kerak.
2) Funktsiya y=tg x. Yoki y=ctg x.
Bu funksiyalar monoton ravishda ortib bormoqda. Shuning uchun, argumentning qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiyaning o'zi ham shunchalik katta bo'ladi. Keyinchalik, segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini qanday topish mumkinligini misollar bilan ko‘rib chiqamiz.
Asosiy vazifalar turlari
Vazifa: funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymati. Diagrammadagi misol.
Rasmda f (x) funksiyaning hosilasi grafigini [-6; 6]. Segmentning qaysi nuqtasida [-3; 3] f(x) eng kichik qiymatni oladimi?
Demak, yangi boshlanuvchilar uchun belgilangan segmentni tanlashingiz kerak. Unda funktsiya bir marta nol qiymatini oladi va uning belgisini o'zgartiradi - bu ekstremal nuqta. Salbiydan hosila musbat bo'lganligi sababli, bu funktsiyaning minimal nuqtasi ekanligini anglatadi. Bu nuqta 2-argument qiymatiga mos keladi.
Javob: 2.
Misollarni ko'rishda davom eting. Vazifa: segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping.
Funksiyaning eng kichik qiymatini toping y=(x - 8) ex-7[6; 8].
1. Murakkab funktsiyaning hosilasini oling.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Olingan hosilani nolga tenglang va tenglamani yeching.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 yoki ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, ildiz yoʻq
3. Funktsiyaga ekstremal nuqtalar qiymatini, shuningdek, tenglamaning olingan ildizlarini almashtiring.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Javob: -1.
Demak, ushbu maqolada ixtisoslashtirilgan matematikada USE vazifalarini muvaffaqiyatli hal qilish uchun zarur boʻlgan segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymatini qanday topish haqida asosiy nazariya koʻrib chiqildi. Shuningdek, matematika elementlariTahlil imtihonning C qismidagi vazifalarni yechishda qoʻllaniladi, lekin ular murakkablikning boshqa darajasini ifodalashi aniq va ularni hal qilish algoritmlarini bitta material doirasiga sigʻdirish qiyin.
