Funksiya va uning xususiyatlarini o'rganish zamonaviy matematikaning asosiy boblaridan biridir. Har qanday funktsiyaning asosiy komponenti nafaqat uning xossalarini, balki ushbu funktsiya hosilasining parametrlarini ham tasvirlaydigan grafiklardir. Keling, ushbu qiyin mavzuni ko'rib chiqaylik. Xo‘sh, funksiyaning maksimal va minimal nuqtalarini topishning eng yaxshi usuli qanday?
Funksiya: Ta'rif
Biror ma'noda boshqa qiymatning qiymatlariga bog'liq bo'lgan har qanday o'zgaruvchini funksiya deb atash mumkin. Masalan, f(x2) funktsiyasi kvadratik bo'lib, butun x to'plamining qiymatlarini aniqlaydi. Aytaylik, x=9, u holda funksiyamizning qiymati 92=81 ga teng bo'ladi.
Funksiyalar juda koʻp turli xil boʻladi: mantiqiy, vektor, logarifmik, trigonometrik, raqamli va boshqalar. Ularni o'rganish bilan Lakroa, Lagranj, Leybnits va Bernulli kabi buyuk aql egalari shug'ullangan. Ularning yozuvlari funktsiyalarni o'rganishning zamonaviy usullarida tayanch bo'lib xizmat qiladi. Minimal nuqtalarni topishdan oldin funksiya va uning hosilasini tushunish juda muhim.
Hosila va uning roli
Barcha funksiyalar mavjudularning o'zgaruvchan qiymatlariga bog'liq, ya'ni ular istalgan vaqtda o'z qiymatini o'zgartirishi mumkin. Grafikda bu y o'qi bo'ylab tushadigan yoki ko'tariladigan egri chiziq sifatida tasvirlanadi (bu grafikning vertikal bo'ylab "y" raqamlarining butun to'plami). Shunday qilib, maksimal va minimal funktsiya nuqtasining ta'rifi ana shu "tebranishlar" bilan bog'liq. Keling, bu munosabatlar nima ekanligini tushuntirib beraylik.
Har qanday funksiyaning hosilasi uning asosiy xarakteristikalarini oʻrganish va funksiya qanchalik tez oʻzgarishini (yaʼni “x” oʻzgaruvchisiga qarab qiymatini oʻzgartirishini) hisoblash uchun grafikda chiziladi. Funksiya oshgan paytda uning hosilasi grafigi ham ortadi, lekin istalgan soniyada funktsiya pasayishni boshlashi mumkin, keyin esa hosilaning grafigi kamayadi. Hosila minusdan plyusga o'tadigan nuqtalar minimal nuqtalar deb ataladi. Minimal ballarni qanday topishni bilish uchun hosila tushunchasini yaxshiroq tushunishingiz kerak.
Hosilani qanday hisoblash mumkin?
Funksiyaning hosilasini aniqlash va hisoblash differentsial hisobdan bir nechta tushunchalarni nazarda tutadi. Umuman olganda, hosilaning ta'rifini quyidagicha ifodalash mumkin: bu funktsiyaning o'zgarish tezligini ko'rsatadigan qiymat.
Koʻpchilik talabalar uchun uni aniqlashning matematik usuli murakkab koʻrinadi, lekin aslida hammasi ancha sodda. Siz shunchaki kuzatib borishingiz kerakhar qanday funksiyaning hosilasini topish uchun standart reja. Quyida funktsiyaning minimal nuqtasini differentsiallash qoidalarini qo'llamasdan va hosilalar jadvalini yodlamasdan qanday topish mumkinligi tasvirlangan.
- Funksiyaning hosilasini grafik yordamida hisoblashingiz mumkin. Buni amalga oshirish uchun siz funktsiyaning o'zini tasvirlashingiz kerak, so'ngra uning ustida bir nuqtani olishingiz kerak (rasmdagi A nuqta) abscissa o'qiga vertikal ravishda pastga chiziq torting (x0 nuqta) va A nuqtada funktsiya grafigiga teginish chiziladi. Abtsissa o'qi va tangens a burchak hosil qiladi. Funktsiya qanchalik tez ortishi qiymatini hisoblash uchun bu burchakning tangensini hisoblashingiz kerak a.
- Ma'lum bo'lishicha, x o'qining tangensi va yo'nalishi orasidagi burchakning tangensi funksiyaning A nuqtaga ega kichik maydondagi hosilasidir. Bu usul hosilani aniqlashning geometrik usuli hisoblanadi..
Funksiyani tadqiq qilish usullari
Matematikaning maktab dasturida funksiyaning minimal nuqtasini ikki usulda topish mumkin. Biz allaqachon grafik yordamida birinchi usulni tahlil qildik, lekin lotinning raqamli qiymatini qanday aniqlash mumkin? Buni amalga oshirish uchun siz lotinning xususiyatlarini tavsiflovchi va "x" kabi o'zgaruvchilarni raqamlarga aylantirishga yordam beradigan bir nechta formulalarni o'rganishingiz kerak bo'ladi. Quyidagi usul universaldir, shuning uchun uni deyarli barcha turdagi funktsiyalarga (ham geometrik, ham logarifmik) qo'llash mumkin.
- Funksiyani hosila funktsiyaga tenglashtirish, keyin esa qoidalar yordamida ifodani soddalashtirish kerakfarqlash.
- nolga bo'linadi).
- Bundan so'ng siz funktsiyaning asl shaklini butun ifodani nolga tenglashtirib, oddiy tenglamaga aylantirishingiz kerak. Masalan, agar funktsiya quyidagicha ko'rinishda bo'lsa: f(x)=2x3+38x, u holda differensiallash qoidalariga ko'ra, uning hosilasi f'(x)=3x ga teng bo'ladi. 2 +1. Keyin bu ifodani quyidagi ko‘rinishdagi tenglamaga aylantiramiz: 3x2+1=0.
- Tenglamani yechish va "x" nuqtalarini topgandan so'ng, ularni x o'qi bo'yicha chizish va belgilangan nuqtalar orasidagi bu sohalarda hosila ijobiy yoki salbiy ekanligini aniqlash kerak. Belgilangandan so'ng, funktsiya qaysi nuqtada kamayishni boshlashi, ya'ni minusdan teskari belgini o'zgartirishi aniq bo'ladi. Aynan shu tarzda siz minimal va maksimal ballni topishingiz mumkin.
Farqalanish qoidalari
Funksiya va uning hosilasini oʻrganishning eng asosiy qismi bu farqlash qoidalarini bilishdir. Faqat ularning yordami bilan noqulay ifodalarni va katta murakkab funktsiyalarni o'zgartirish mumkin. Keling, ular bilan tanishamiz, ular juda ko'p, lekin ularning barchasi kuch va logarifmik funktsiyalarning muntazam xususiyatlari tufayli juda oddiy.
- Har qanday doimiyning hosilasi nolga teng (f(x)=0). Ya'ni f(x)=x5+ x - 160 hosilasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: f' (x)=5x4+1.
- Ikki hadning yigʻindisining hosilasi: (f+w)'=f'w + fw'.
- Logarifmik funksiya hosilasi: (logad)'=d/ln ad. Bu formula barcha turdagi logarifmlar uchun amal qiladi.
- Daraja hosilasi: (x)'=nxn-1. Masalan, (9x2)'=92x=18x.
- Sinusoidal funktsiyaning hosilasi: (sin a)'=cos a. Agar a burchakning gunohi 0,5 bo'lsa, uning hosilasi √3/2 bo'ladi.
Ekstremum ball
Biz minimal nuqtalarni qanday topishni allaqachon tushunib oldik, ammo funktsiyaning maksimal nuqtalari tushunchasi mavjud. Agar minimal funktsiya minusdan plyusga o'tadigan nuqtalarni bildirsa, u holda maksimal nuqtalar x o'qi bo'yicha funktsiya hosilasi plyusdan teskarisiga o'zgaradi - minus.
Maksimum nuqtalarni yuqorida tavsiflangan usul yordamida topishingiz mumkin, faqat shuni hisobga olish kerakki, ular funktsiya pasayishni boshlagan joylarni bildiradi, ya'ni hosila noldan kichik bo'ladi.
Matematikada ikkala tushunchani umumlashtirish, ularni "ekstremum nuqtalar" iborasi bilan almashtirish odatiy holdir. Vazifa ushbu nuqtalarni aniqlashni so'rasa, bu funktsiyaning hosilasini hisoblash va minimal va maksimal nuqtalarni topish kerakligini anglatadi.
