Matematikada muhim tushuncha funksiya hisoblanadi. Uning yordami bilan siz tabiatda sodir bo'layotgan ko'plab jarayonlarni tasavvur qilishingiz, grafikdagi formulalar, jadvallar va rasmlardan foydalangan holda ma'lum miqdorlar o'rtasidagi munosabatni aks ettirishingiz mumkin. Masalan, suyuqlik qatlamining jismga bosimining suvga cho'mish chuqurligiga, tezlanish - ma'lum bir kuchning ob'ektga ta'siriga, haroratning oshishi - uzatiladigan energiyaga va boshqa ko'plab jarayonlarga bog'liqligi. Funktsiyani o'rganish grafikni qurish, uning xossalarini, ko'lami va qiymatlarini, o'sish va pasayish oraliqlarini aniqlashtirishni o'z ichiga oladi. Bu jarayonda muhim nuqta ekstremum nuqtalarni topishdir. Buni qanday to‘g‘ri bajarish haqida va suhbat davom etadi.
Muayyan misolda tushunchaning oʻzi haqida
Tibbiyotda funktsiya grafigini tuzish bemorning tanasidagi kasallikning rivojlanishi haqida ma'lumot berishi mumkin, uning holatini vizual tarzda aks ettiradi. Faraz qilaylik, OX o'qi bo'ylab kunlardagi vaqt, OY o'qi bo'ylab esa odam tanasining harorati chizilgan. Rasmda bu ko'rsatkich qanday keskin ko'tarilishi aniq ko'rsatilgan vakeyin tushadi. Bundan tashqari, funksiya ilgari ortib, kamayishni boshlagan momentlarni aks ettiruvchi yagona nuqtalarni payqash oson va aksincha. Bu ekstremal nuqtalar, ya'ni bemorning haroratining kritik qiymatlari (maksimal va minimal), shundan so'ng uning holatida o'zgarishlar ro'y beradi.
Egish burchagi
Funksiya hosilasi qanday oʻzgarishini rasmdan aniqlash oson. Agar grafikning to'g'ri chiziqlari vaqt o'tishi bilan yuqoriga ko'tarilsa, u ijobiydir. Va ular qanchalik tik bo'lsa, moyillik burchagi oshgani sayin, lotinning qiymati shunchalik katta bo'ladi. Pasayish davrlarida bu qiymat ekstremum nuqtalarda nolga aylanib, salbiy qiymatlarni oladi va oxirgi holatda hosila grafigi OX o'qiga parallel ravishda chiziladi.
Har qanday boshqa jarayonga ham xuddi shunday munosabatda bo'lish kerak. Ammo bu kontseptsiyaning eng yaxshi tomoni grafiklarda aniq ko'rsatilgan turli jismlarning harakatini aytib berishi mumkin.
Harakat
Faraz qilaylik, ba'zi bir jism to'g'ri chiziqda harakatlanib, bir tekis tezlikka erishdi. Bu davrda tananing koordinatalarining o'zgarishi grafik jihatdan ma'lum bir egri chiziqni ifodalaydi, matematik uni parabolaning filiali deb ataydi. Shu bilan birga, funktsiya doimiy ravishda o'sib bormoqda, chunki koordinata ko'rsatkichlari har soniyada tezroq va tezroq o'zgaradi. Tezlik grafigi lotinning harakatini ko'rsatadi, uning qiymati ham ortadi. Bu harakatning muhim nuqtalari yoʻqligini bildiradi.
Bu cheksiz davom etardi. Ammo agar tana to'satdan sekinlashishga qaror qilsa, to'xtab, boshqasida harakat qilishni boshlangyo'nalishi? Bunday holda, koordinata ko'rsatkichlari pasayishni boshlaydi. Va funktsiya kritik qiymatdan o'tadi va ortishdan kamayishga aylanadi.
Ushbu misolda siz funktsiya grafigidagi ekstremum nuqtalar monotonlikni toʻxtatgan paytlarda paydo boʻlishini yana bir bor tushunishingiz mumkin.
Hosilaning jismoniy ma'nosi
Yuqorida ta'riflangani aniq ko'rsatdiki, hosila asosan funktsiyaning o'zgarish tezligidir. Ushbu takomillashtirish o'zining jismoniy ma'nosini o'z ichiga oladi. Ekstremal nuqtalar diagrammadagi muhim joylardir. Nolga teng boʻlgan hosila qiymatini hisoblash orqali ularni aniqlash va aniqlash mumkin.
Yana bir belgi bor, bu ekstremum uchun yetarli shart. Bunday burilish joylaridagi hosila o'z belgisini o'zgartiradi: maksimal mintaqada "+" dan "-" gacha va minimal mintaqada "-" dan "+" ga.
Ogʻirlik kuchi taʼsirida harakat
Keling, boshqa vaziyatni tasavvur qilaylik. Bolalar to'p o'ynab, uni shunday tashladilarki, u ufqqa burchak ostida harakatlana boshladi. Dastlabki vaqtda bu jismning tezligi eng katta edi, lekin tortishish kuchi ta'sirida u pasayishni boshladi va har soniyada bir xil qiymatga, taxminan 9,8 m/s2. Bu erkin tushish paytida erning tortishish kuchi ta'sirida yuzaga keladigan tezlanishning qiymati. Oyda u taxminan olti marta kichikroq bo'lar edi.
Jismning harakatini tavsiflovchi grafik shoxli parabola,pastga. Ekstremal nuqtalarni qanday topish mumkin? Bu holda, bu tananing (to'pning) tezligi nol qiymatini qabul qiladigan funktsiyaning tepasi. Funktsiyaning hosilasi nolga aylanadi. Bunday holda, yo'nalish va shuning uchun tezlikning qiymati aksincha o'zgaradi. Tana har soniyada tezroq va tezroq pastga uchadi va bir xil miqdorda tezlashadi - 9,8 m/s2.
Ikkinchi hosila
Avvalgi holatda tezlik modulining grafigi toʻgʻri chiziq shaklida chizilgan. Bu chiziq birinchi navbatda pastga yo'n altiriladi, chunki bu miqdorning qiymati doimiy ravishda kamayadi. Vaqt nuqtalaridan birida nolga erishgandan so'ng, ushbu qiymatning ko'rsatkichlari o'sishni boshlaydi va tezlik modulining grafik tasviri yo'nalishi keskin o'zgaradi. Chiziq tepaga qaramoqda.
Tezlik koordinataning vaqt hosilasi sifatida ham muhim nuqtaga ega. Ushbu mintaqada dastlab pasaygan funktsiya o'sishni boshlaydi. Bu funktsiya hosilasining ekstremum nuqtasining o'rni. Bunday holda, tangensning qiyaligi nolga aylanadi. Va tezlanish koordinataning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi bo'lib, belgini "-" dan "+" ga o'zgartiradi. Va bir xil sekinlikdan harakat bir xilda tezlashadi.
Tezlashuv jadvali
Endi toʻrtta rasmni koʻrib chiqing. Ularning har biri tezlanish kabi jismoniy miqdorning vaqt o'tishi bilan o'zgarishi grafigini ko'rsatadi. "A" holatida uning qiymati ijobiy va doimiy bo'lib qoladi. Bu shuni anglatadiki, tananing tezligi, uning koordinatasi kabi, doimiy ravishda oshib boradi. Agar aob'ekt cheksiz uzoq vaqt davomida shu tarzda harakat qilishini tasavvur qiling, koordinataning vaqtga bog'liqligini aks ettiruvchi funksiya doimiy ravishda o'sib boradi. Bundan kelib chiqadiki, uning muhim hududlari yo'q. Shuningdek, hosila grafigida ekstremum nuqtalari yoʻq, yaʼni chiziqli oʻzgaruvchan tezlik.
Xuddi shunday holat ijobiy va doimiy ortib borayotgan tezlashuvga ega "B" holiga ham tegishli. Toʻgʻri, bu yerda koordinatalar va tezlik chizmalari biroz murakkabroq boʻladi.
Tezlashuv nolga moyil boʻlganda
"B" rasmini ko'rib, siz tananing harakatini tavsiflovchi butunlay boshqacha rasmni ko'rishingiz mumkin. Uning tezligi shoxlari pastga qaragan parabola sifatida grafik tarzda tasvirlanadi. Tezlanishning o'zgarishini tavsiflovchi chiziqni OX o'qi bilan kesishguncha davom ettirsak va undan keyin tezlashuv nolga teng bo'lgan ushbu kritik qiymatgacha ob'ektning tezligi ortadi, deb tasavvur qilishimiz mumkin. tobora sekinroq. Koordinata funksiyasi hosilasining ekstremum nuqtasi parabolaning faqat tepasida bo'ladi, shundan so'ng tana harakat xarakterini tubdan o'zgartiradi va boshqa yo'nalishda harakatlana boshlaydi.
Oxirgi holatda, "G"da, harakatning xarakterini aniq aniqlash mumkin emas. Bu erda biz faqat ko'rib chiqilayotgan ba'zi bir davr uchun tezlashuv yo'qligini bilamiz. Bu ob'ekt joyida qolishi yoki harakat doimiy tezlikda sodir bo'lishini anglatadi.
Koordinatsiya qoʻshish vazifasi
Maktabda algebrani oʻrganishda tez-tez uchraydigan va ular uchun taklif qilinadigan vazifalarga oʻtamiz.imtihonga tayyorgarlik. Quyidagi rasmda funktsiyaning grafigi ko'rsatilgan. Ekstremum ballar yig'indisini hisoblash talab qilinadi.
Buni y o’qi uchun funksiya xarakteristikalarining o’zgarishi kuzatiladigan kritik mintaqalar koordinatalarini aniqlash orqali amalga oshiramiz. Oddiy qilib aytganda, biz egilish nuqtalari uchun x o'qi bo'ylab qiymatlarni topamiz va keyin olingan shartlarni qo'shishni davom ettiramiz. Grafikdan ko'rinib turibdiki, ular quyidagi qiymatlarni qabul qiladilar: -8; -7; -5; -3; -2; bitta; 3. Bu javob -21 ni tashkil qiladi.
Optimal yechim
Amaliy topshiriqlarni bajarishda optimal yechimni tanlash qanchalik muhimligini tushuntirish shart emas. Axir, maqsadga erishishning ko'plab usullari mavjud va eng yaxshi yo'l, qoida tariqasida, faqat bitta. Bu, masalan, kemalar, kosmik kemalar va samolyotlar, me'moriy inshootlarni loyihalashda ushbu sun'iy ob'ektlarning optimal shaklini topish uchun juda zarur.
Avtotransport vositalarining tezligi ko'p jihatdan ular suv va havoda harakatlanayotganda, tortishish kuchlari va boshqa ko'plab ko'rsatkichlar ta'sirida yuzaga keladigan ortiqcha yuklardan kelib chiqadigan qarshilikni malakali minimallashtirishga bog'liq. Dengizdagi kema bo'ron paytida barqarorlik kabi fazilatlarga muhtoj, daryo kemasi uchun minimal qoralama muhim ahamiyatga ega. Optimal dizaynni hisoblashda, grafikdagi ekstremum nuqtalari vizual ravishda murakkab muammoning eng yaxshi echimi haqida fikr berishi mumkin. Bunday vazifalar ko'pincha amalga oshiriladiiqtisodiyotda, iqtisodiy sohalarda, boshqa ko'plab hayotiy vaziyatlarda hal etiladi.
Qadimgi tarixdan
Ekstremal muammolar hatto qadimgi donishmandlarni ham band qilgan. Yunon olimlari matematik hisob-kitoblar orqali maydonlar va hajmlar sirini muvaffaqiyatli ochishdi. Ular birinchi bo'lib bir xil perimetrga ega bo'lgan turli xil figuralar tekisligida aylana har doim eng katta maydonga ega ekanligini tushunishdi. Xuddi shunday, to'p bir xil sirt maydoni bo'lgan kosmosdagi boshqa ob'ektlar orasida maksimal hajmga ega. Arximed, Evklid, Aristotel, Apolloniy kabi mashhur shaxslar o'zlarini bunday muammolarni hal qilishga bag'ishladilar. Heron ekstremum nuqtalarni topishda juda muvaffaqiyatli bo'ldi, ular hisob-kitoblarga murojaat qilib, mohir asboblarni qurdilar. Ularga bug 'bilan harakatlanuvchi avtomatik mashinalar, nasoslar va bir xil printsipda ishlaydigan turbinalar kiradi.
Karfagen qurilishi
Bir afsona bor, uning syujeti ekstremal muammolardan birini hal qilishga asoslangan. Donishmandlarga yordam so'rab murojaat qilgan Finikiya malikasi tomonidan ko'rsatilgan biznes yondashuvining natijasi Karfagenning qurilishi edi. Ushbu qadimiy va mashhur shahar uchun yer uchastkasi Afrika qabilalaridan birining rahbari tomonidan Didoga (hukmdorning ismi edi) sovg'a qilingan. Dastlab unga yer maydoni unchalik katta bo'lib tuyulmadi, chunki shartnomaga ko'ra, u ho'kiz terisi bilan qoplanishi kerak edi. Ammo malika o'z askarlariga uni ingichka chiziqlar bilan kesib, kamar yasashni buyurdi. Bu shunchalik uzoq bo'lib chiqdiki, u saytni qamrab oldi,butun shahar mos keladigan joy.
Hisoblashning kelib chiqishi
Endi esa qadimgi davrlardan keyingi davrga oʻtamiz. Qizig'i shundaki, 17-asrda Kepler vino sotuvchisi bilan uchrashib, matematik tahlil asoslarini tushunishga undadi. Savdogar o'z kasbini shunchalik yaxshi bilardiki, u bochkadagi ichimlik hajmini shunchaki temir turniketni tushirib, osongina aniqlay olardi. Mashhur olim bunday qiziquvchanlik haqida fikr yuritar ekan, bu dilemmani o'zi hal qilishga muvaffaq bo'ldi. Maʼlum boʻlishicha, oʻsha davrdagi mohir kupkorlar idishlarni shunday yasash bilan shugʻullanganlarki, mahkamlash halqalari aylanasining maʼlum bir balandlik va radiusida ular maksimal sigʻimga ega boʻlar edi.
Bu Kepler uchun qo'shimcha mulohaza yuritish uchun edi. Bochars uzoq izlanishlar, xatolar va yangi urinishlar natijasida o'z tajribasini avloddan-avlodga o'tkazib, optimal yechimga keldi. Ammo Kepler bu jarayonni tezlashtirmoqchi va matematik hisoblar orqali qisqa vaqt ichida xuddi shunday qilishni o‘rganmoqchi edi. Uning hamkasblari tomonidan to'plangan barcha ishlanmalari Ferma va Nyuton - Leybnitsning hozir ma'lum bo'lgan teoremalariga aylandi.
Maksimal hudud muammosi
Tasavvur qilaylik, bizda uzunligi 50 sm bo'lgan sim bor. Undan qanday qilib eng katta maydonga ega to'rtburchak yasash mumkin?
Qarorni boshlashda oddiy va ma'lum haqiqatlardan kelib chiqish kerak. Bizning figuramizning perimetri 50 sm bo'lishi aniq. Shuningdek, u ikkala tomonning ikki barobar uzunligidan iborat. Bu shuni anglatadiki, ulardan birini "X" deb belgilab, ikkinchisini (25 - X) sifatida ifodalash mumkin.
Bu yerdan olamizX ga teng maydon (25 - X). Bu ifodani ko'p qiymatlarni qabul qiladigan funksiya sifatida ko'rsatish mumkin. Muammoni hal qilish uchun ularning maksimalini topish kerak, ya'ni siz ekstremum nuqtalarni topishingiz kerak.
Buni amalga oshirish uchun birinchi hosilani topamiz va uni nolga tenglaymiz. Natijada oddiy tenglama olinadi: 25 - 2X=0.
Undan biz tomonlardan biri X=12, 5 ekanligini bilib olamiz.
Shuning uchun, boshqasi: 25 – 12, 5=12, 5.
Ma'lum bo'lishicha, masalaning yechimi tomoni 12,5 sm bo'lgan kvadrat bo'ladi.
Maksimal tezlikni qanday topish mumkin
Yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tasavvur qiling-a, to'g'ri chiziqli harakati S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 tenglama bilan tasvirlangan jism bor, bu erda masofa sayohat metrda, vaqt esa soniyalarda ifodalanadi. Maksimal tezlikni topish talab qilinadi. Buni qanday qilish kerak? Yuklab olingan tezlikni, ya'ni birinchi hosilani toping.
Biz tenglamani olamiz: V=- 3t2 + 18t – 24. Endi masalani yechish uchun yana ekstremum nuqtalarni topishimiz kerak. Bu avvalgi vazifada bo'lgani kabi bajarilishi kerak. Tezlikning birinchi hosilasini toping va uni nolga tenglang.
Biz olamiz: - 6t + 18=0. Demak, t=3 s. Bu tananing tezligi kritik qiymatga ega bo'lgan vaqt. Olingan ma'lumotlarni tezlik tenglamasiga almashtiramiz va olamiz: V=3 m/s.
Ammo bu aynan maksimal tezlik ekanligini qanday tushunish mumkin, chunki funksiyaning kritik nuqtalari uning maksimal yoki minimal qiymatlari boʻlishi mumkin? Tekshirish uchun siz soniyani topishingiz keraktezlikning hosilasi. U minus belgisi bilan 6 raqami sifatida ifodalanadi. Bu topilgan nuqta maksimal ekanligini anglatadi. Va ikkinchi hosilaning ijobiy qiymati bo'lsa, minimal bo'ladi. Shunday qilib, topilgan yechim to'g'ri bo'lib chiqdi.
Misol sifatida berilgan vazifalar funksiyaning ekstremum nuqtalarini topish orqali hal qilinishi mumkin boʻlgan vazifalarning faqat bir qismidir. Aslida, yana ko'p narsalar bor. Bunday bilim esa insoniyat sivilizatsiyasi uchun cheksiz imkoniyatlarni ochib beradi.
