Bu geometrik shakllar bizni hamma joyda oʻrab oladi. Qavariq ko'pburchaklar tabiiy bo'lishi mumkin, masalan, chuqurchalar yoki sun'iy (inson tomonidan yaratilgan). Bu raqamlar har xil turdagi qoplamalar ishlab chiqarishda, rangtasvirda, arxitekturada, bezaklarda va hokazolarda qo'llaniladi. Qavariq ko'pburchaklar ularning barcha nuqtalari ushbu geometrik figuraning bir juft qo'shni uchlari orqali o'tadigan to'g'ri chiziqning bir tomonida bo'lish xususiyatiga ega. Boshqa ta'riflar ham mavjud. Agar koʻpburchak tomonlaridan birini oʻz ichiga olgan har qanday toʻgʻri chiziqqa nisbatan bir yarim tekislikda joylashgan boʻlsa, u qavariq deyiladi.
Qavariq koʻpburchaklar
Elementar geometriya kursida faqat oddiy koʻpburchaklar hisobga olinadi. Bundaylarning barcha xususiyatlarini tushunish uchungeometrik shakllar, ularning tabiatini tushunish kerak. Boshlash uchun shuni tushunish kerakki, har qanday chiziq yopiq deb ataladi, uning uchlari bir-biriga to'g'ri keladi. Bundan tashqari, u tomonidan yaratilgan raqam turli xil konfiguratsiyalarga ega bo'lishi mumkin. Ko'pburchak oddiy yopiq siniq chiziq bo'lib, unda qo'shni bo'g'inlar bir xil to'g'ri chiziqda joylashmaydi. Uning bo'g'inlari va cho'qqilari mos ravishda ushbu geometrik figuraning tomonlari va cho'qqilaridir. Oddiy ko‘p chiziqda o‘z-o‘zidan kesishmalar bo‘lmasligi kerak.
Koʻpburchakning uchlari, agar ular tomonlardan birining uchlarini ifodalasa, qoʻshni deyiladi. Cho'qqilarining n-soniga, demak, tomonlarning n-soniga ega bo'lgan geometrik figuraga n-burchak deyiladi. Singan chiziqning o'zi bu geometrik shaklning chegarasi yoki konturi deb ataladi. Ko'pburchak tekislik yoki tekis ko'pburchak, u bilan chegaralangan har qanday tekislikning oxirgi qismi deyiladi. Ushbu geometrik shaklning qo'shni tomonlari bir tepadan chiqadigan siniq chiziqning segmentlari deb ataladi. Agar ular koʻpburchakning turli burchaklaridan kelgan boʻlsa, ular qoʻshni boʻlmaydi.
Qavariq koʻpburchaklarning boshqa taʼriflari
Elementar geometriyada qaysi koʻpburchak qavariq deb atalishini koʻrsatuvchi yana bir qancha ekvivalent taʼriflar mavjud. Bu bayonotlarning barchasi bir xil darajada haqiqatdir. Ko'pburchak qavariq hisoblanadi, agar:
• ichidagi har qanday ikkita nuqtani bogʻlaydigan har bir segment butunlay uning ichida joylashgan;
• ichidauning barcha diagonallari yotadi;
• har qanday ichki burchak 180° dan oshmaydi.
Koʻpburchak har doim tekislikni 2 qismga ajratadi. Ulardan biri cheklangan (u doira ichiga o'ralgan bo'lishi mumkin), ikkinchisi esa cheksizdir. Birinchisi ichki mintaqa deb ataladi, ikkinchisi esa bu geometrik shaklning tashqi mintaqasi. Bu ko'pburchak bir nechta yarim tekisliklarning kesishishi (boshqacha aytganda, umumiy komponent). Bundan tashqari, poligonga tegishli nuqtalarda tugaydigan har bir segment toʻliq unga tegishli.
Qavariq koʻpburchaklar turlari
Qavariq koʻpburchakning taʼrifi ularning koʻp turlari borligini bildirmaydi. Va ularning har biri ma'lum mezonlarga ega. Demak, ichki burchagi 180° boʻlgan qavariq koʻpburchaklar kuchsiz qavariq deyiladi. Uchta uchiga ega bo'lgan qavariq geometrik figura uchburchak, to'rtta - to'rtburchak, beshta - beshburchak va hokazo deb ataladi. Qavariq n-burchaklarning har biri quyidagi muhim talabga javob beradi: n 3 ga teng yoki undan katta bo'lishi kerak. uchburchaklar qavariq. Barcha uchlari bir aylanada joylashgan ushbu turdagi geometrik figura aylana ichiga yozilgan deb ataladi. Qavariq ko'pburchak aylana yaqinidagi barcha tomonlari unga tegsa, chegaralangan deyiladi. Ikkita ko'pburchakni faqat superpozitsiya orqali qo'yish mumkin bo'lgandagina teng deb ataladi. Tekis ko'pburchak ko'pburchak tekislik deyiladi.(samolyotning bir qismi), bu geometrik raqam bilan cheklangan.
Doimiy qavariq koʻpburchaklar
Doimiy koʻpburchaklar burchaklari va tomonlari teng boʻlgan geometrik shakllardir. Ularning ichida uning har bir uchidan bir xil masofada joylashgan 0 nuqtasi mavjud. Bu geometrik shaklning markazi deb ataladi. Ushbu geometrik figuraning uchlari bilan markazni tutashtiruvchi segmentlar apotema, 0 nuqtani yon tomonlari bilan tutashtiruvchi segmentlar esa radiuslar deb ataladi.
Doimiy toʻrtburchak kvadratdir. Teng tomonli uchburchak teng tomonli uchburchak deyiladi. Bunday raqamlar uchun quyidagi qoida mavjud: qavariq ko'pburchakning har bir burchagi 180 °(n-2)/ n, bu yerda n - bu qavariq geometrik figuraning uchlari soni.
Har qanday muntazam koʻpburchakning maydoni quyidagi formula bilan aniqlanadi:
S=ph, bu erda p - berilgan ko'pburchakning barcha tomonlari yig'indisining yarmi va h - apotema uzunligi.
Qavariq koʻpburchaklar xossalari
Qavariq koʻpburchaklar maʼlum xususiyatlarga ega. Shunday qilib, bunday geometrik figuraning istalgan 2 nuqtasini bog'laydigan segment, albatta, unda joylashgan. Isbot:
Faraz qilaylik, P berilgan qavariq ko’pburchak. Biz 2 ta ixtiyoriy nuqtani olamiz, masalan, P ga tegishli bo'lgan A, B. Qavariq ko'pburchakning mavjud ta'rifiga ko'ra, bu nuqtalar P ning istalgan tomonini o'z ichiga olgan chiziqning bir tomonida joylashgan. Demak, AB ham shu xususiyatga ega va Pda joylashgan. Qavariq ko‘pburchakni har doim bir cho‘qqisidan chizilgan mutlaqo barcha diagonallari bo‘yicha bir nechta uchburchaklarga bo‘lish mumkin.
Qavariq geometrik shakllarning burchaklari
Qavariq koʻpburchakning burchaklari uning yon tomonlaridan hosil boʻlgan burchaklardir. Ichki burchaklar berilgan geometrik shaklning ichki hududida joylashgan. Uning bir cho'qqisiga yaqinlashuvchi tomonlari tomonidan hosil bo'ladigan burchak qavariq ko'pburchakning burchagi deb ataladi. Berilgan geometrik figuraning ichki burchaklariga tutashgan burchaklar tashqi deyiladi. Uning ichida joylashgan qavariq ko'pburchakning har bir burchagi:
180° - x, bu yerda x - tashqi burchakning qiymati. Bu oddiy formula shu turdagi har qanday geometrik shakllar uchun ishlaydi.
Umuman olganda, tashqi burchaklar uchun quyidagi qoida mavjud: qavariq koʻpburchakning har bir burchagi 180° va ichki burchak qiymati oʻrtasidagi farqga teng. U -180 ° dan 180 ° gacha bo'lgan qiymatlarga ega bo'lishi mumkin. Shuning uchun, ichki burchak 120° bo'lsa, tashqi burchak 60° bo'ladi.
Qavariq koʻpburchaklar burchaklari yigʻindisi
Qavariq koʻpburchakning ichki burchaklarining yigʻindisi formula bilan oʻrnatiladi:
180°(n-2), bu yerda n - n-burchakning uchlari soni.
Qavariq koʻpburchak burchaklarining yigʻindisini hisoblash juda oson. Har qanday geometrik shaklni ko'rib chiqing. Qavariq ko'pburchak ichidagi burchaklar yig'indisini aniqlash uchun zaruruning cho'qqilaridan birini boshqa uchlari bilan bog'lang. Ushbu harakat natijasida (n-2) uchburchaklar olinadi. Biz bilamizki, har qanday uchburchakning burchaklarining yig'indisi har doim 180 ° ga teng. Har qanday ko‘pburchakdagi ularning soni (n-2) bo‘lgani uchun bunday figuraning ichki burchaklarining yig‘indisi 180° x (n-2) ga teng.
Qavariq koʻpburchak burchaklarining yigʻindisi, yaʼni har qanday ikkita ichki va qoʻshni tashqi burchaklar, berilgan qavariq geometrik figura uchun har doim 180° ga teng boʻladi. Bunga asoslanib, siz uning barcha burchaklarining yig'indisini aniqlashingiz mumkin:
180 x n.
Ichki burchaklar yig'indisi 180°(n-2). Shunga asoslanib, ushbu raqamning barcha tashqi burchaklarining yig'indisi formula bilan o'rnatiladi:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Har qanday qavariq koʻpburchakning tashqi burchaklarining yigʻindisi har doim 360° boʻladi (tomonlari sonidan qatʼiy nazar).
Qavariq koʻpburchakning tashqi burchagi odatda 180° va ichki burchak qiymati oʻrtasidagi farq bilan ifodalanadi.
Qavariq koʻpburchakning boshqa xossalari
Ushbu geometrik shakllarning asosiy xususiyatlaridan tashqari, ularni boshqarishda paydo bo'ladigan boshqalar ham bor. Demak, har qanday ko‘pburchakni bir nechta qavariq n-burchaklarga bo‘lish mumkin. Buning uchun uning har bir tomonini davom ettirish va bu geometrik shaklni ushbu to'g'ri chiziqlar bo'ylab kesish kerak. Bundan tashqari, har qanday ko'pburchakni bir nechta qavariq qismlarga bo'lish mumkin, shunda bo'laklarning har birining uchlari uning barcha uchlari bilan mos keladi. Bunday geometrik shakldan uchburchaklar hammasini chizish orqali juda oddiy yasalishi mumkinbir tepadan diagonallar. Shunday qilib, har qanday ko'pburchak oxir-oqibat ma'lum miqdordagi uchburchaklarga bo'linishi mumkin, bu esa bunday geometrik shakllar bilan bog'liq turli muammolarni hal qilishda juda foydali bo'lib chiqadi.
Qavariq koʻpburchak perimetri
Koʻpburchak tomonlari deb ataladigan siniq chiziqning segmentlari koʻpincha quyidagi harflar bilan belgilanadi: ab, bc, cd, de, ea. Bu uchlari a, b, c, d, e bo'lgan geometrik figuraning tomonlari. Bu qavariq ko‘pburchakning barcha tomonlari uzunliklarining yig‘indisiga uning perimetri deyiladi.
Koʻpburchak aylanasi
Qavariq koʻpburchaklar chizilgan va chegaralangan boʻlishi mumkin. Ushbu geometrik shaklning barcha tomonlariga tegib turgan doira ichiga yozilgan deb ataladi. Bunday ko'pburchak chegaralangan deb ataladi. Ko'pburchak ichiga chizilgan aylananing markazi berilgan geometrik figura ichidagi barcha burchaklar bissektorlarining kesishish nuqtasidir. Bunday ko'pburchakning maydoni:
S=pr, bu yerda r - chizilgan aylana radiusi va p - berilgan ko'pburchakning yarim perimetri.
Koʻpburchakning uchlarini oʻz ichiga olgan aylana uning atrofida aylana deyiladi. Bundan tashqari, bu konveks geometrik shakl yozilgan deb ataladi. Bunday ko‘pburchak atrofida chegaralangan aylananing markazi barcha tomonlarning perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasidir.
Qavariq geometrik shakllarning diagonallari
Qavariq ko'pburchakning diagonallari segmentlardirqo'shni bo'lmagan cho'qqilarni ulang. Ularning har biri ushbu geometrik shaklning ichida joylashgan. Bunday n-burchakning diagonallari soni formula bilan belgilanadi:
N=n (n – 3)/ 2.
Elementar geometriyada qavariq ko’pburchakning diagonallari soni muhim rol o’ynaydi. Har bir qavariq ko‘pburchakni bo‘lish mumkin bo‘lgan uchburchaklar soni (K) quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi:
K=n – 2.
Qavariq koʻpburchakning diagonallari soni har doim uning uchlari soniga bogʻliq.
Qavariq koʻpburchakning parchalanishi
Ba'zi hollarda geometrik masalalarni yechish uchun qavariq ko'pburchakni diagonallari kesishmaydigan bir nechta uchburchaklarga bo'lish kerak. Bu muammoni aniq formulani olish orqali hal qilish mumkin.
Muammoning ta'rifi: keling, qavariq n-burchakni faqat shu geometrik figuraning cho'qqilarida kesib o'tuvchi diagonallar bo'yicha bir nechta uchburchaklarga to'g'ri taqsimlashni aytaylik.
Yechim: Faraz qilaylik, R1, R2, R3 …, Pn bu n-burchakning uchlari. Xn soni uning bo'limlari soni. Keling, Pi Pn geometrik figurasining olingan diagonalini diqqat bilan ko'rib chiqaylik. Har qanday oddiy bo'limda P1 Pn 1<i<n bo'lgan ma'lum bir P1 Pi Pn uchburchagiga tegishli. Bundan kelib chiqib, i=2, 3, 4 …, n-1 deb faraz qilsak, barcha mumkin bo'lgan alohida holatlarni o'z ichiga olgan ushbu bo'limlarning (n-2) guruhlarini olamiz.
I=2 har doim diagonali R2 Pn bo'lgan muntazam bo'limlarning bir guruhi bo'lsin. Unga kiradigan bo'limlar soni bo'limlar soni bilan bir xil(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Boshqacha qilib aytganda, u Xn-1 ga teng.
Agar i=3 boʻlsa, bu boshqa boʻlimlar guruhi har doim R3 R1 va R3 Pn diagonallarini oʻz ichiga oladi. Bunday holda, ushbu guruhdagi muntazam bo'limlar soni (n-2) -gon P3 P4 … Pn bo'limlari soniga to'g'ri keladi. Boshqacha qilib aytganda, u Xn-2 ga teng bo'ladi.
I=4 bo'lsin, u holda uchburchaklar orasida muntazam bo'linish P1 P4 Pn uchburchagini o'z ichiga oladi, unga P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn to'rtburchak tutashadi.. Bunday to'rtburchakning muntazam bo'linmalari soni X4 ga, (n-3)-gonning bo'linmalari soni esa Xn-3 ga teng. Yuqorida aytilganlarga asoslanib, biz ushbu guruhdagi to'g'ri bo'limlarning umumiy soni Xn-3 X4 ekanligini aytishimiz mumkin. i=4, 5, 6, 7… boʻlgan boshqa guruhlar Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … oddiy boʻlimlarni oʻz ichiga oladi.
I=n-2 boʻlsin, u holda bu guruhdagi toʻgʻri boʻlinishlar soni i=2 boʻlgan guruhdagi boʻlinishlar soni bilan bir xil boʻladi (boshqacha aytganda, Xn-1 ga teng).
X1=X2=0, X3=1, X4=2… boʻlgani uchun qavariq koʻpburchakning barcha boʻlimlari soni:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Misol:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Ichkarida bir diagonalni kesib oʻtuvchi toʻgʻri boʻlimlar soni
Maxsus holatlarni tekshirganda, yetib kelish mumkinQavariq n-burchaklarning diagonallari soni bu raqamning barcha boʻlimlari koʻpaytmasiga (n-3) teng degan taxmin.
Bu taxminning isboti: tasavvur qiling-a, P1n=Xn(n-3), u holda har qanday n-burchak (n-2)-uchburchaklarga boʻlinishi mumkin. Bundan tashqari, ulardan (n-3) - to'rtburchaklar tuzilishi mumkin. Shu bilan birga, har bir to'rtburchakning diagonali bo'ladi. Ushbu qavariq geometrik shaklda ikkita diagonal chizish mumkin bo'lganligi sababli, bu har qanday (n-3) to'rtburchakda qo'shimcha (n-3) diagonallarni chizish mumkinligini anglatadi. Shunga asoslanib, biz har qanday oddiy bo'limda ushbu masala shartlariga mos keladigan (n-3)-diagonallarni chizish mumkin degan xulosaga kelishimiz mumkin.
Qavariq koʻpburchaklar maydoni
Ko'pincha elementar geometriyaning turli masalalarini echishda qavariq ko'pburchakning maydonini aniqlash kerak bo'ladi. Faraz qilaylik, (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n - o‘z-o‘zidan kesishuvi bo‘lmagan ko‘pburchakning barcha qo‘shni cho‘qqilarining koordinatalari ketma-ketligi. Bunday holda, uning maydoni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), qaerda (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
