Uchburchak, kvadrat, olti burchakli - bu raqamlar deyarli hammaga ma'lum. Ammo oddiy ko'pburchak nima ekanligini hamma ham bilmaydi. Ammo bularning barchasi bir xil geometrik shakllardir. Muntazam ko'pburchak - burchaklari va tomonlari teng bo'lgan ko'pburchak. Bunday raqamlar juda ko'p, lekin ularning barchasi bir xil xususiyatlarga ega va ularga bir xil formulalar qo'llaniladi.
Doimiy koʻpburchaklar xossalari
Har qanday muntazam koʻpburchak, xoh u kvadrat yoki sakkizburchak boʻlsin, aylana ichiga chizilgan boʻlishi mumkin. Ushbu asosiy xususiyat ko'pincha figurani qurishda ishlatiladi. Bundan tashqari, ko'pburchakda doira ham yozilishi mumkin. Bunday holda, aloqa nuqtalarining soni uning tomonlari soniga teng bo'ladi. Muntazam ko'pburchak ichiga chizilgan doira u bilan umumiy markazga ega bo'lishi muhimdir. Bu geometrik raqamlar bir xil teoremalarga bo'ysunadi. Har qanday tomonMuntazam n-burchakning atrofida aylananing R radiusi bilan bog'liq. Shuning uchun uni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: a=2R ∙ sin180°. Doira radiusi orqali siz ko'pburchakning nafaqat tomonlarini, balki perimetrini ham topishingiz mumkin.
Doimiy koʻpburchakning tomonlar sonini qanday topish mumkin
Har qanday muntazam n-burchak bir-biriga teng bo'lgan ma'lum miqdordagi segmentlardan iborat bo'lib, ular ulanganda yopiq chiziq hosil qiladi. Bunday holda, shakllangan raqamning barcha burchaklari bir xil qiymatga ega. Ko'pburchaklar oddiy va murakkabga bo'linadi. Birinchi guruhga uchburchak va kvadrat kiradi. Murakkab ko'pburchaklar ko'proq tomonlarga ega. Ular shuningdek, yulduz shaklidagi raqamlarni o'z ichiga oladi. Murakkab muntazam ko'pburchaklar uchun tomonlari ularni aylana ichiga yozish orqali topiladi. Keling, dalil keltiraylik. Tomonlarining ixtiyoriy soni n bo‘lgan muntazam ko‘pburchak chizing. Uning atrofidagi doirani tasvirlab bering. R radiusni belgilang. Endi tasavvur qiling, qandaydir n-gon berilgan. Agar uning burchak nuqtalari aylana ustida yotsa va bir-biriga teng bo'lsa, tomonlarni quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: a=2R ∙ sina: 2.
Ichki chizilgan muntazam uchburchakning tomonlar sonini topish
Teng tomonli uchburchak oddiy koʻpburchakdir. Unga kvadrat va n-gon uchun xuddi shunday formulalar qo'llaniladi. Agar uchburchak bir xil uzunlikdagi tomonlarga ega bo'lsa, to'g'ri hisoblanadi. Bunday holda, burchaklar 60⁰. Tomon uzunligi a berilgan uchburchak yasang. Uning mediani va balandligini bilish,uning tomonlari qiymatini topishingiz mumkin. Buning uchun biz a \u003d x formulasi orqali topish usulidan foydalanamiz: kosa, bu erda x - median yoki balandlik. Uchburchakning barcha tomonlari teng bo'lgani uchun a=b=c ni olamiz. Shunda quyidagi gap to'g'ri bo'ladi a=b=c=x: cosa. Xuddi shunday, siz teng yonli uchburchakda tomonlarning qiymatini topishingiz mumkin, ammo x berilgan balandlik bo'ladi. Shu bilan birga, uni qat'iy ravishda raqam asosida loyihalash kerak. Shunday qilib, x balandligini bilib, biz a \u003d b \u003d x: kosa formulasidan foydalanib, teng yonli uchburchakning a tomonini topamiz. a qiymatini topgandan so'ng, siz c asosining uzunligini hisoblashingiz mumkin. Pifagor teoremasini qo‘llaylik. Biz c asosining yarmining qiymatini qidiramiz: 2=√(x: cosa)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2a): cos^2a=x ∙ tga. Keyin c=2xtana. Bu yerda har qanday chizilgan ko‘pburchakning tomonlar sonini topishning oddiy usuli.
Doira ichiga chizilgan kvadratning tomonlarini hisoblang
Boshqa chizilgan muntazam koʻpburchak singari, kvadrat ham teng tomonlar va burchaklarga ega. Uchburchak bilan bir xil formulalar unga nisbatan qo'llaniladi. Diagonal qiymatidan foydalanib, kvadratning tomonlarini hisoblashingiz mumkin. Keling, ushbu usulni batafsil ko'rib chiqaylik. Ma'lumki, diagonal burchakni ikkiga bo'ladi. Dastlab, uning qiymati 90 daraja edi. Shunday qilib, bo'linishdan keyin ikkita to'g'ri burchakli uchburchak hosil bo'ladi. Ularning asosiy burchaklari 45 daraja bo'ladi. Shunga ko'ra, kvadratning har bir tomoni teng bo'ladi, ya'ni: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosa \u003d e √ 2: 2, bu erda e - kvadratning diagonali yoki asosi. bo'lingandan keyin hosil bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak. Bu yagona yo'l emaskvadratning tomonlarini topish. Keling, bu raqamni aylanaga yozamiz. Bu aylana R radiusini bilib, kvadratning tomonini topamiz. Biz uni quyidagicha hisoblaymiz a4=R√2. Muntazam ko'pburchaklar radiusi R=a: 2tg (360o: 2n) formulasi bo'yicha hisoblanadi, bu erda a - tomon uzunligi.
n-burchak perimetrini qanday hisoblash mumkin
n-burchakning perimetri uning barcha tomonlari yigʻindisidir. Uni hisoblash oson. Buning uchun siz barcha tomonlarning qadriyatlarini bilishingiz kerak. Ko'pburchaklarning ayrim turlari uchun maxsus formulalar mavjud. Ular perimetrni tezroq topishga imkon beradi. Ma'lumki, har qanday muntazam ko'pburchak teng tomonlarga ega. Shuning uchun uning perimetrini hisoblash uchun ulardan kamida bittasini bilish kifoya. Formula rasmning tomonlar soniga bog'liq bo'ladi. Umuman olganda, u quyidagicha ko'rinadi: P \u003d an, bu erda a - tomonning qiymati va n - burchaklar soni. Masalan, tomoni 3 sm bo'lgan muntazam sakkizburchakning perimetrini topish uchun uni 8 ga ko'paytirish kerak, ya'ni P=3 ∙ 8=24 sm. Tomoni 5 sm bo'lgan olti burchakli uchun biz hisoblaymiz. quyidagicha: P=5 ∙ 6=30 sm. Va har bir ko'pburchak uchun.
Parallelogramma, kvadrat va romb perimetrini topish
Muntazam koʻpburchakning nechta tomoni borligiga qarab, uning perimetri hisoblanadi. Bu vazifani ancha osonlashtiradi. Darhaqiqat, boshqa raqamlardan farqli o'laroq, bu holda uning barcha tomonlarini izlash shart emas, faqat bittasi etarli. Xuddi shu printsip bo'yicha biz perimetrni topamizto'rtburchaklar, ya'ni kvadrat va romb. Bu turli xil raqamlar bo'lishiga qaramay, ular uchun formula bir xil P=4a, bu erda a - tomon. Keling, bir misol keltiraylik. Agar romb yoki kvadratning tomoni 6 sm bo'lsa, biz perimetrni quyidagicha topamiz: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 sm. Parallelogramma faqat qarama-qarshi tomonlarga ega. Shuning uchun uning perimetri boshqa usul yordamida topiladi. Shunday qilib, biz rasmning uzunligi a va kengligi b ni bilishimiz kerak. Keyin P=(a + c) ∙ 2 formulasini qo'llaymiz. Ularning orasidagi barcha tomonlari va burchaklari teng bo'lgan parallelogramma romb deb ataladi.
Teng tomonli va toʻgʻri burchakli uchburchakning perimetrini topish
Muntazam teng tomonli uchburchakning perimetrini P=3a formulasi bilan topish mumkin, bu erda a - tomonning uzunligi. Agar noma'lum bo'lsa, uni mediana orqali topish mumkin. To'g'ri burchakli uchburchakda faqat ikkita tomon teng. Asosni Pifagor teoremasi orqali topish mumkin. Barcha uch tomonning qiymatlari ma'lum bo'lgandan so'ng, biz perimetrni hisoblaymiz. Buni P \u003d a + b + c formulasini qo'llash orqali topish mumkin, bu erda a va b teng tomonlar, c esa asosdir. Eslatib o'tamiz, teng yonli uchburchakda a \u003d b \u003d a, shuning uchun a + b \u003d 2a, keyin P \u003d 2a + c. Masalan, teng yonli uchburchakning tomoni 4 sm, asosini va perimetrini toping. Gipotenuzaning qiymatini Pifagor teoremasi yordamida hisoblaymiz c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 sm. Endi biz perimetrni hisoblaymiz R=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 sm.
Doimiy koʻpburchakning burchaklarini qanday topish mumkin
Doimiy koʻpburchakhayotimizda har kuni sodir bo'ladi, masalan, oddiy kvadrat, uchburchak, sakkizburchak. Bu raqamni o'zingiz qurishdan osonroq narsa yo'qdek tuyuladi. Ammo bu faqat birinchi qarashda. Har qanday n-burchakni qurish uchun siz uning burchaklarining qiymatini bilishingiz kerak. Lekin ularni qanday topasiz? Hatto antik davr olimlari ham muntazam ko'pburchaklar qurishga harakat qilishgan. Ularni aylanalarga joylashtirishni taxmin qilishdi. Va keyin to'g'ri chiziqlar bilan bog'langan kerakli nuqtalar belgilandi. Oddiy raqamlar uchun qurilish muammosi hal qilindi. Formulalar va teoremalar olingan. Masalan, Evklid o'zining mashhur "Boshlanish" asarida 3-, 4-, 5-, 6- va 15-gonlar uchun masalalar yechish bilan shug'ullangan. U ularni qurish va burchaklarni topish yo'llarini topdi. Keling, buni 15-gon uchun qanday qilishni ko'rib chiqaylik. Avval siz uning ichki burchaklarining yig'indisini hisoblashingiz kerak. S=180⁰(n-2) formulasidan foydalanish kerak. Shunday qilib, bizga 15-gon berilgan, ya'ni n soni 15 ga teng. Biz bilgan ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz va S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰ ni olamiz. Biz 15 burchakli burchakning barcha ichki burchaklarining yig'indisini topdik. Endi biz ularning har birining qiymatini olishimiz kerak. Hammasi bo'lib 15 ta burchak bor. Biz 2340⁰ hisobini qilamiz: 15=156⁰. Bu shuni anglatadiki, har bir ichki burchak 156⁰, endi o'lchagich va kompasdan foydalanib, siz oddiy 15 burchakli burchakni qurishingiz mumkin. Ammo murakkabroq n-gonlar haqida nima deyish mumkin? Asrlar davomida olimlar bu muammoni hal qilish uchun kurashdilar. U faqat 18-asrda Karl Fridrix Gauss tomonidan topilgan. U 65537-gon qurishga muvaffaq bo'ldi. O'shandan beri muammo rasman to'liq hal qilingan deb hisoblanadi.
n-burchaklarning burchaklarini hisoblashradianlarda
Albatta, koʻpburchaklar burchaklarini topishning bir necha yoʻli mavjud. Ko'pincha ular darajalarda hisoblanadi. Lekin siz ularni radyanlarda ham ifodalashingiz mumkin. Buni qanday qilish kerak? Buni quyidagicha davom ettirish kerak. Birinchidan, muntazam ko'pburchakning tomonlar sonini bilib olamiz, so'ngra undan 2 ni ayiramiz. Demak, qiymatni olamiz: n - 2. Topilgan farqni n soniga ko'paytiramiz (“pi”=3, 14). Endi olingan mahsulotni n-gondagi burchaklar soniga bo'lishgina qoladi. Xuddi shu o'n besh qirrali misoldan foydalanib, ushbu hisob-kitoblarni ko'rib chiqing. Demak, n soni 15 ga teng. S=p(n - 2) formulasini qo‘llang: n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Bu, albatta, radianlarda burchakni hisoblashning yagona usuli emas. Siz shunchaki burchak o'lchamini darajalarda 57, 3 raqamlariga bo'lishingiz mumkin. Axir, shuncha daraja bir radianga teng.
Burchaklar qiymatini darajalarda hisoblang
Darajalar va radianlardan tashqari muntazam koʻpburchak burchaklarining qiymatini gradlarda topishga urinib koʻrishingiz mumkin. Bu quyidagi tarzda amalga oshiriladi. Burchaklarning umumiy sonidan 2 ni ayiring, hosil bo'lgan farqni muntazam ko'pburchak tomonlari soniga bo'ling. Biz topilgan natijani 200 ga ko'paytiramiz. Aytgancha, do'l toshlari kabi burchaklarni o'lchash birligi amalda qo'llanilmaydi.
n-burchaklarning tashqi burchaklarini hisoblash
Ichkidan tashqari har qanday oddiy koʻpburchak uchun tashqi burchakni ham hisoblashingiz mumkin. Uning qiymati boshqa raqamlar bilan bir xil tarzda topiladi. Shunday qilib, muntazam ko'pburchakning tashqi burchagini topish uchun sizga kerak bo'ladiichki ma'nosini bilish. Bundan tashqari, biz bu ikki burchakning yig'indisi har doim 180 daraja ekanligini bilamiz. Shuning uchun biz hisob-kitoblarni quyidagicha qilamiz: 180⁰ minus ichki burchak qiymati. Biz farqni topamiz. Unga ulashgan burchakning qiymatiga teng bo'ladi. Masalan, kvadratning ichki burchagi 90 daraja, shuning uchun tashqi burchak 180⁰ - 90⁰=90⁰ bo'ladi. Ko'rib turganimizdek, uni topish qiyin emas. Tashqi burchak mos ravishda +180⁰ dan -180⁰ gacha qiymat olishi mumkin.
