Fazoda geometrik masalalarni yechishda yuzaga keladigan figuralardan biri konusdir. U, ko'pburchaklardan farqli o'laroq, aylanish figuralari sinfiga kiradi. Keling, maqolada geometriyada bu nimani anglatishini ko'rib chiqamiz va konusning turli qismlarining xususiyatlarini o'rganamiz.
Geometriyada konus
Samolyotda qandaydir egri chiziq bor deb faraz qilaylik. Bu parabola, aylana, ellips va boshqalar bo'lishi mumkin. Belgilangan tekislikka tegishli bo'lmagan nuqtani oling va egri chiziqning barcha nuqtalarini unga bog'lang. Olingan sirt konus yoki oddiygina konus deb ataladi.
Agar asl egri chiziq yopilgan boʻlsa, u holda konusning sirtini modda bilan toʻldirish mumkin. Shu tarzda olingan raqam uch o'lchamli tanadir. U konus deb ham ataladi. Quyida bir nechta qog'oz konuslari ko'rsatilgan.
Konussimon sirt kundalik hayotda uchraydi. Masalan, muzqaymoq konusi yoki chiziqli transport konusi haydovchilarning e'tiborini jalb qilish uchun mo'ljallangan ushbu shaklga ega.piyodalar.
Konus turlari
Siz taxmin qilganingizdek, koʻrib chiqilayotgan raqamlar bir-biridan shakllangan egri chiziq turiga koʻra farqlanadi. Masalan, dumaloq konus yoki elliptik mavjud. Bu egri chiziq figuraning asosi deyiladi. Biroq, taglikning shakli konuslarni tasniflash imkonini beruvchi yagona xususiyat emas.
Ikkinchi muhim xususiyat - bu balandlikning poydevorga nisbatan joylashishi. Konusning balandligi to'g'ri chiziq segmenti bo'lib, u shaklning yuqori qismidan asos tekisligiga tushiriladi va bu tekislikka perpendikulyar. Agar balandlik asosni geometrik markazda (masalan, aylananing markazida) kesib o'tsa, u holda konus to'g'ri bo'ladi, agar perpendikulyar segment asosning istalgan boshqa nuqtasiga yoki undan tashqariga tushsa, u holda rasm shunday bo'ladi. qiya.
Keyingi maqolada biz ko'rib chiqilayotgan raqamlar sinfining yorqin vakili sifatida faqat dumaloq tekis konusni ko'rib chiqamiz.
Konus elementlarining geometrik nomlari
Yuqorida konusning asosi borligi aytilgan edi. U aylana bilan chegaralangan bo'lib, u konusning yo'riqchisi deb ataladi. Qo'llanmani asos tekisligida yotmaydigan nuqta bilan bog'laydigan segmentlar generatorlar deb ataladi. Generatorlarning barcha nuqtalari to'plamiga rasmning konus yoki lateral yuzasi deyiladi. Dumaloq o'ng konus uchun barcha generatorlar bir xil uzunlikka ega.
Generatorlar kesishgan nuqtaga rasmning tepasi deyiladi. Ko'p yuzlilardan farqli o'laroq, konusning bitta cho'qqisi bor va yo'qchekka.
Shakl tepasi va aylana markazidan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq oʻq deyiladi. Eksa tekis konusning balandligini o'z ichiga oladi, shuning uchun u asos tekisligi bilan to'g'ri burchak hosil qiladi. Bu ma'lumot konusning eksenel qismining maydonini hisoblashda muhim ahamiyatga ega.
Dumaloq tekis konus - aylanish shakli
Ko'rib chiqilayotgan konus juda nosimmetrik shakl bo'lib, uni uchburchakning aylanishi natijasida olish mumkin. Aytaylik, bizda to'g'ri burchakli uchburchak bor. Konusni olish uchun quyidagi rasmda ko'rsatilganidek, bu uchburchakni oyoqlardan biri atrofida aylantirish kifoya.
Ko'rinib turibdiki, aylanish o'qi konusning o'qi hisoblanadi. Oyoqlardan biri figuraning balandligiga teng bo'ladi, ikkinchi oyog'i esa poydevorning radiusiga aylanadi. Aylanish natijasida uchburchakning gipotenuzasi konusning sirtini tasvirlaydi. Bu konusning generatriksi bo'ladi.
Dumaloq toʻgʻri konusni olishning bu usuli figuraning chiziqli parametrlari: balandligi h, dumaloq asosning radiusi r va yoʻriqnoma g oʻrtasidagi matematik bogʻlanishni oʻrganish uchun qulay. Tegishli formula to'g'ri burchakli uchburchakning xususiyatlaridan kelib chiqadi. Quyida keltirilgan:
g2=h2+ r2.
Bizda bitta tenglama va uchta oʻzgaruvchi bor ekan, demak, dumaloq konusning parametrlarini yagona oʻrnatish uchun siz istalgan ikkita miqdorni bilishingiz kerak.
Shakl cho'qqisini o'z ichiga olmagan konusning tekislikdagi kesmalari
Figürning kesimlarini qurish masalasi emasahamiyatsiz. Gap shundaki, konusning yuza kesimining shakli rasm va sekantning nisbiy holatiga bog'liq.
Faraz qilaylik, konusni tekislik bilan kesishamiz. Ushbu geometrik operatsiyaning natijasi qanday bo'ladi? Bo'lim shakli parametrlari quyidagi rasmda ko'rsatilgan.
Pushti qism aylana shaklida. Shaklning konusning asosiga parallel bo'lgan tekislik bilan kesishishi natijasida hosil bo'ladi. Bu shaklning o'qiga perpendikulyar bo'limlar. Kesuvchi tekislik ustida hosil bo'lgan figura aslidagiga o'xshash konusdir, lekin tagida kichikroq doiraga ega.
Yashil qism ellipsdir. Agar kesish tekisligi taglikka parallel bo'lmasa, lekin u faqat konusning lateral yuzasini kesib o'tsa olinadi. Samolyot tepasida kesilgan figuraga elliptik qiya konus deyiladi.
Koʻk va toʻq sariq boʻlimlar mos ravishda parabolik va giperbolikdir. Rasmdan ko'rinib turibdiki, agar kesuvchi tekislik bir vaqtning o'zida figuraning yon yuzasi va asosini kesib o'tsa, ular olinadi.
Ko'rib chiqilgan konus kesimlarining maydonlarini aniqlash uchun tekislikdagi mos keladigan rasm uchun formulalardan foydalanish kerak. Misol uchun, aylana uchun bu Pi soni radius kvadratiga ko'paytiriladi, ellips uchun esa Pi ning ko'paytmasi va kichik va katta yarim o'qlar uzunligi:
doira: S=pir2;
ellips: S=piab.
Konusning yuqori qismini oʻz ichiga olgan boʻlimlar
Endi kesish tekisligi bo'lsa, paydo bo'ladigan bo'limlar uchun variantlarni ko'rib chiqingkonusning yuqori qismidan o'ting. Uchta holat mumkin:
- Bo'lim bitta nuqtadan iborat. Masalan, cho'qqidan o'tuvchi va asosga parallel bo'lgan tekislik aynan shunday kesmani beradi.
- Boʻlim toʻgʻri chiziq. Bu holat tekislik konusning yuzasiga tegib turganda yuzaga keladi. Bu holda kesmaning to'g'ri chizig'i konusning generatriksi bo'ladi.
- Aksiyal qism. U tekislikda nafaqat rasmning yuqori qismini, balki uning butun o'qini ham o'z ichiga olgan holda hosil bo'ladi. Bunday holda, tekislik dumaloq asosga perpendikulyar bo'ladi va konusni ikkita teng qismga ajratadi.
Shubhasiz, dastlabki ikki turdagi bo'limlarning maydonlari nolga teng. 3-tur uchun konusning tasavvurlar maydoniga kelsak, bu masala keyingi xatboshida batafsilroq muhokama qilinadi.
Aksial qism
Yuqorida ta'kidlanganidek, konusning eksenel kesimi konusni o'z o'qi orqali o'tuvchi tekislik bilan kesishganda hosil bo'lgan shakldir. Bu boʻlim quyidagi rasmda koʻrsatilgan raqamni aks ettirishini taxmin qilish oson.
Bu teng yonli uchburchak. Konusning eksenel kesimining cho'qqisi bu uchburchakning uchi bo'lib, bir xil tomonlarning kesishishidan hosil bo'ladi. Ikkinchisi konusning generatrix uzunligiga teng. Uchburchakning asosi - konusning poydevorining diametri.
Konusning eksenel qismining maydonini hisoblash hosil bo'lgan uchburchakning maydonini topishga qisqartiriladi. Agar dastlab r asosining radiusi va konusning balandligi h ma'lum bo'lsa, u holda ko'rib chiqilayotgan kesmaning S maydoni quyidagicha bo'ladi:
S=hr.
Buifoda uchburchak maydoni uchun standart formulani qo'llash natijasidir (balandlikning yarmi ko'paytmasi asos).
Esda tutingki, agar konusning generatritsasi uning dumaloq asosining diametriga teng boʻlsa, konusning eksenel kesimi teng yonli uchburchakdir.
Kesuvchi tekislik konusning asosiga perpendikulyar bo’lib, uning o’qidan o’tganda uchburchak kesim hosil bo’ladi. Nomlanganga parallel bo'lgan har qanday boshqa tekislik kesmada giperbola beradi. Biroq, agar tekislik konusning cho'qqisini o'z ichiga olsa va uning asosini diametri orqali emas, balki kesib o'tsa, hosil bo'lgan qism ham teng yonli uchburchak bo'ladi.
Konusning chiziqli parametrlarini aniqlash muammosi
Geometrik masalani yechishda eksenel kesmaning maydoni uchun yozilgan formuladan qanday foydalanishni koʻrsatamiz.
Ma'lumki, konusning eksenel kesimining maydoni 100 sm2. Olingan uchburchak teng tomonli. Konusning balandligi va poydevorining radiusi qancha?
Uchburchak teng yonli boʻlgani uchun uning balandligi h a tomonining uzunligiga quyidagicha bogʻlangan:
h=√3/2a.
Uchburchak tomoni konus asosining radiusidan ikki baravar katta ekanligini hisobga olsak va bu ifodani kesma maydoni formulasiga almashtirsak:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Unda konusning balandligi:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Muammo holatidan maydon qiymatini almashtirish qoladiva javobni oling:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 sm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 sm.
Qaysi sohalarda ko'rib chiqilayotgan bo'limlar parametrlarini bilish muhim?
Har xil turdagi konus kesimlarini o'rganish nafaqat nazariy qiziqish uyg'otadi, balki amaliy qo'llanmalarga ham ega.
Birinchidan, aerodinamika sohasini ta'kidlash kerak, bu erda konus kesimlar yordamida qattiq jismlarning ideal silliq shakllarini yaratish mumkin.
Ikkinchidan, konus kesimlar - bu kosmik jismlar tortishish maydonlarida harakatlanadigan traektoriyalar. Tizimning kosmik jismlari harakatining traektoriyasini qanday aniq turdagi kesma ifodalashi ularning massalari, mutlaq tezliklari va ular orasidagi masofalar nisbati bilan aniqlanadi.
