Uchburchak - tekislikda yopilgan eng oddiy figura boʻlib, faqat uchta oʻzaro bogʻlangan segmentdan iborat. Geometriya muammolarida ko'pincha bu raqamning maydonini aniqlash kerak bo'ladi. Buning uchun nimani bilishingiz kerak? Maqolada biz uch tomondan uchburchakning maydonini qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob beramiz.
Umumiy formula
Har bir talaba biladiki, uchburchakning maydoni uning istalgan tomonlari uzunligi - a yarmi balandligi - h, tanlangan tomonga tushirilgan ko'paytmasi sifatida hisoblanadi. Quyida mos keladigan formula mavjud: S=ah/2.
Ushbu ifoda kamida ikki tomon va ular orasidagi burchakning qiymati ma'lum bo'lsa ishlatilishi mumkin. Bunda h balandligini sinus kabi trigonometrik funksiyalar yordamida hisoblash oson. Ammo uchburchakning uch tomonidagi maydonni qanday topishni hamma ham bilmaydi.
Heron formulasi
Bu formula qanday degan savolga javobdiruch tomon uchburchakning maydonini topadi. Uni yozishdan oldin ixtiyoriy figuraning segmentlarining uzunliklarini a, b va c deb belgilaymiz. Heron formulasi quyidagicha yoziladi: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Bu erda p - shaklning yarim perimetri, ya'ni: p=(a+b+c)/2.
Koʻrinib turgan ogʻirligiga qaramay, S maydoni uchun yuqoridagi ifodani eslab qolish oson. Buni amalga oshirish uchun siz birinchi navbatda uchburchakning yarim perimetrini hisoblashingiz kerak, so'ngra undan rasmning bir tomonining bir uzunligiga ayirishingiz kerak, olingan barcha farqlarni va yarim perimetrning o'zini ko'paytiring. Nihoyat, mahsulotning kvadrat ildizini oling.
Bu formula bizning eramizning boshida yashagan Iskandariya Heronining nomi bilan atalgan. Zamonaviy tarix shuni ko'rsatadiki, bu faylasuf birinchi bo'lib tegishli hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ushbu iborani qo'llagan. Bu formula uning eramizning 60-yiliga borib taqaladigan “Metrica” asarida chop etilgan. E'tibor bering, Gerondan ikki asr oldin yashagan Arximedning ba'zi asarlarida yunon faylasufi formulani allaqachon bilganligining belgilari mavjud. Bundan tashqari, qadimgi xitoyliklar ham uch tomonni bilgan holda uchburchakning maydonini qanday topishni bilishgan.
Shuni ta'kidlash kerakki, muammoni Heron formulasining mavjudligini bilmasdan ham hal qilish mumkin. Buning uchun uchburchakda bir nechta balandlik chizing va oldingi xatboshidagi umumiy formuladan foydalanib, tegishli tenglamalar tizimini tuzing.
Geron ifodasidan ixtiyoriy koʻpburchaklar maydonlarini ularni boʻlingandan keyin hisoblash uchun foydalanish mumkinuchburchaklar va olingan diagonallarning uzunliklarini hisoblash.
Muammo yechishga misol
Uch tomondan uchburchakning yuzini qanday topishni bilgan holda, keling, quyidagi masalani yechish orqali bilimlarimizni mustahkamlaymiz. Shaklning tomonlari 5 sm, 4 sm va 3 sm boʻlsin. Maydonni toping.
Uchburchakning uch tomoni ma'lum, shuning uchun siz Heron formulasidan foydalanishingiz mumkin. Biz yarim perimetrni va kerakli farqlarni hisoblaymiz, bizda:
- p=(a+b+c)/2=6 sm;
- p-a=1cm;
- p-b=2 sm;
- p-c=3 sm.
Unda biz maydonni olamiz: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 sm2.
Muammo shartida berilgan uchburchak toʻgʻri burchakli boʻlib, Pifagor teoremasidan foydalanayotganingizni tekshirish oson. Bunday uchburchakning maydoni oyoqlarning ko'paytmasining yarmi bo'lganligi sababli, biz olamiz: S=43/2=6 sm2.
Olingan qiymat Heron formulasi bilan bir xil boʻlib, ikkinchisining toʻgʻriligini tasdiqlaydi.
