Matritsalar (raqamli elementlarga ega jadvallar) turli xil hisob-kitoblar uchun ishlatilishi mumkin. Ulardan ba'zilari raqam, vektor, boshqa matritsa, bir nechta matritsalar bilan ko'paytirishdir. Mahsulot ba'zan noto'g'ri. Noto'g'ri natija hisoblash harakatlarini bajarish qoidalarini bilmaslik natijasidir. Keling, ko'paytirishni qanday qilishni aniqlaymiz.
Matrisa va raqam
Eng oddiy narsadan boshlaylik - raqamlar bilan jadvalni ma'lum bir qiymatga ko'paytirish. Masalan, bizda aij elementlari (i - satr raqamlari va j - ustun raqamlari) va e soni bo'lgan A matritsasi mavjud. Matritsaning e soniga ko‘paytmasi bij elementlarga ega B matritsasi bo’ladi, ular quyidagi formula bo’yicha topiladi:
bij=e × aij.
T. e. b11 elementini olish uchun a11 elementini olish va uni kerakli songa ko'paytirish kerak, b12 olish uchun elementning a12 va e sonining koʻpaytmasini topish kerak, va hokazo.
Rasmda keltirilgan 1-raqamli masalani hal qilaylik. B matritsasini olish uchun A dan elementlarni 3 ga ko'paytirish kifoya:
- a11 × 3=18. Bu qiymatni B matritsasiga 1-ustun va №1 qator kesishgan joyda yozamiz.
- a21 × 3=15. Bizda b21 element bor.
- a12 × 3=-6. Biz b12 elementini oldik. Uni B matritsasiga №2 ustun va №1 qator kesishgan joyda yozamiz.
- a22 × 3=9. Bu natija b22 elementidir.
- a13 × 3=12. Bu raqamni matritsaga b13 elementi oʻrniga kiriting.
- a23 × 3=-3. Oxirgi olingan raqam b23 element.
Shunday qilib, raqamli elementlarga ega toʻrtburchaklar massivga ega boʻldik.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektorlar va matritsalar hosilasining mavjudligi sharti
Matematik fanlarda "vektor" degan narsa bor. Bu atama 1 dan gacha boʻlgan tartiblangan qiymatlar toʻplamiga ishora qiladi. Ular vektor fazo koordinatalari deb ataladi va ustun shaklida yoziladi. Shuningdek, "transpozitsiyalangan vektor" atamasi ham mavjud. Uning komponentlari qator sifatida joylashtirilgan.
Vektorlarni matritsalar deb atash mumkin:
- ustun vektori bitta ustundan tuzilgan matritsa;
- satr vektori faqat bitta qatorni oʻz ichiga olgan matritsadir.
Bajarilgandan keyinko'paytirish amallarining matritsalari ustida mahsulot mavjudligi uchun shart mavjudligini yodda tutish kerak. A × B hisoblash harakati faqat A jadvalidagi ustunlar soni B jadvalidagi satrlar soniga teng bo'lganda amalga oshirilishi mumkin. Hisoblash natijasida hosil bo'lgan matritsa har doim A jadvalidagi satrlar soniga va ustunlar soniga ega bo'ladi. B jadvalida.
Ko'paytirishda matritsalarni (ko'paytirgichlarni) qayta joylashtirish tavsiya etilmaydi. Ularning ko'paytmasi odatda ko'paytirishning kommutativ (o'zgartirish) qonuniga mos kelmaydi, ya'ni A × B operatsiyasi natijasi B × A operatsiyasi natijasiga teng emas. matritsalar. Ba'zi hollarda, A × B ko'paytirish natijasi B × A ko'paytirish natijasiga teng, ya'ni mahsulot kommutativdir. A × B=B × A tengligi bajariladigan matritsalar almashtirish matritsalari deyiladi. Bunday jadvallar misollarini quyida koʻring.
Ustun vektoriga koʻpaytirish
Matritsani ustun vektoriga ko'paytirishda mahsulotning mavjudligi shartini hisobga olishimiz kerak. Jadvaldagi ustunlar soni (n) vektorni tashkil etuvchi koordinatalar soniga mos kelishi kerak. Hisoblash natijasi o'zgartirilgan vektordir. Uning koordinatalari soni jadvaldagi chiziqlar soniga (m) teng.
A matritsa va x vektor bo'lsa, y vektorining koordinatalari qanday hisoblanadi? Hisob-kitoblar uchun yaratilgan formulalar:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
bu yerda x1, …, x - x-vektordan koordinatalar, m - matritsadagi qatorlar soni va raqam yangi y- vektoridagi koordinatalar soni, n - matritsadagi ustunlar soni va x-vektordagi koordinatalar soni, a11, a12, …, amn– A matritsa elementlari.
Shunday qilib, yangi vektorning i-komponentini olish uchun skalyar mahsulot bajariladi. I-qator vektori A matritsasidan olingan va u mavjud x vektorga ko'paytiriladi.
2-masalani yechamiz. Matritsa va vektorning mahsulotini topishingiz mumkin, chunki A 3 ta ustunga ega va x 3 ta koordinatadan iborat. Natijada, biz 4 koordinatali ustun vektorini olishimiz kerak. Yuqoridagi formulalardan foydalanamiz:
- Hisoblash y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Yakuniy qiymat 2.
- Hisoblash y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Hisoblashda biz 0 ni olamiz.
- Hisoblash y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Ko‘rsatilgan omillarning hosilalari yig‘indisi 6.
- Hisoblash y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinatasi -8.
Qator vektor-matritsani koʻpaytirish
Bir nechta ustunli matritsani satr vektoriga koʻpaytirib boʻlmaydi. Bunday hollarda ishning mavjudligi sharti qondirilmaydi. Ammo qator vektorini matritsaga ko'paytirish mumkin. Buvektordagi koordinatalar soni va jadvaldagi qatorlar soni mos kelganda hisoblash operatsiyasi bajariladi. Vektor va matritsa mahsulotining natijasi yangi qator vektoridir. Uning koordinatalari soni matritsadagi ustunlar soniga teng bo‘lishi kerak.
Yangi vektorning birinchi koordinatasini hisoblash qator vektorini va birinchi ustun vektorini jadvaldan koʻpaytirishni oʻz ichiga oladi. Ikkinchi koordinata xuddi shunday tarzda hisoblanadi, lekin birinchi ustun vektori o'rniga ikkinchi ustun vektori olinadi. Koordinatalarni hisoblashning umumiy formulasi:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, bu yerda yk - y-vektordan koordinata, (k 1 va n orasida), m - matritsadagi qatorlar soni va koordinatalar soni x-vektorda, n - matritsadagi ustunlar soni va y-vektordagi koordinatalar soni, a alfanumerik indeksli a - A matritsaning elementlari.
Toʻgʻri burchakli matritsalar hosilasi
Bu hisob murakkab tuyulishi mumkin. Biroq, ko'paytirish osonlik bilan amalga oshiriladi. Keling, ta'rifdan boshlaylik. m satr va n ustunli A matritsa va n ta satr va p ustunli B matritsasining mahsuloti m satr va p ustunli C matritsa bo‘lib, unda cij elementi A jadvalidagi i-qator va B jadvalining j-ustunidagi elementlarning ko‘paytmalari yig‘indisi. Oddiyroq qilib aytganda, cij elementi i-qatorning skalyar mahsulotidir. A jadvalidagi vektor va B jadvalidagi j-ustun vektori.
Endi toʻrtburchaklar matritsalar koʻpaytmasini qanday topish mumkinligini amalda aniqlaymiz. Buning uchun 3-sonli masalani yechaylik. Mahsulotning mavjudligi sharti qanoatlantiriladi. Elementlarni hisoblashni boshlaylik cij:
- Matritsasi C 2 qator va 3 ustundan iborat boʻladi.
- C11 elementini hisoblang. Buning uchun A matritsadan 1-qator va B matritsadan 1-ustunning skalyar koʻpaytmasini bajaramiz. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Keyin shunga o'xshash tarzda davom etamiz, faqat satrlarni, ustunlarni o'zgartiramiz (element indeksiga qarab).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementlar hisoblab chiqilgan. Endi faqat qabul qilingan raqamlardan to'rtburchaklar blok yasash qoladi.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Uchta matritsani koʻpaytirish: nazariy qism
Uchta matritsaning koʻpaytmasini topa olasizmi? Ushbu hisoblash operatsiyasi mumkin. Natijani bir necha usul bilan olish mumkin. Masalan, 3 ta kvadrat jadval mavjud (bir xil tartibda) - A, B va C. Mahsulotni hisoblash uchun siz:
- Avval A va B ko'paytiring. Keyin natijani C ga ko'paytiring.
- Avval B va C koʻpaytmasini toping. Keyin A matritsasini natijaga koʻpaytiring.
Toʻgʻri toʻrtburchaklar matritsalarni koʻpaytirish kerak boʻlsa, avvalo bu hisoblash amaliyoti mumkinligiga ishonch hosil qilishingiz kerak. kerakA × B va B × C mahsulotlari mavjud.
Qoʻshimcha koʻpaytirish xato emas. "Matritsani ko'paytirishning assotsiativligi" degan narsa bor. Bu atama tenglikni bildiradi (A × B) × C=A × (B × C).
Uch matritsali koʻpaytirish amaliyoti
Kvadrat matritsalar
Kichik kvadrat matritsalarni koʻpaytirishdan boshlang. Quyidagi rasmda biz hal qilishimiz kerak bo'lgan 4-muammo ko'rsatilgan.
Biz assotsiativlik xususiyatidan foydalanamiz. Avval biz A va B, yoki B va C ko'paytiramiz. Biz faqat bir narsani eslaymiz: omillarni almashtira olmaysiz, ya'ni siz B × A yoki C × B ni ko'paytira olmaysiz. Bu ko'paytirish orqali biz bir narsani olamiz. xato natija.
Qaror qabul qilish jarayoni.
Birinchi qadam. Umumiy hosilani topish uchun avval A ni B ga ko'paytiramiz. Ikki matritsani ko'paytirishda biz yuqorida ko'rsatilgan qoidalarga amal qilamiz. Shunday qilib, A va B ni ko'paytirish natijasi 2 qator va 2 ustunli D matritsasi bo'ladi, ya'ni to'rtburchaklar massiv 4 ta elementni o'z ichiga oladi. Hisoblash orqali ularni topamiz:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Oraliq natija tayyor.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Ikkinchi qadam. Endi D matritsasini C matritsaga ko'paytiramiz. Natijada 2 qator va 2 ustunli kvadrat G matritsa hosil bo'lishi kerak. Elementlarni hisoblash:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Shunday qilib, kvadrat matritsalar mahsulotining natijasi hisoblangan elementlarga ega G jadvalidir.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
To'rtburchaklar matritsalar
Quyidagi rasmda 5-muammo koʻrsatilgan. Toʻrtburchaklar matritsalarni koʻpaytirish va yechimini topish kerak.
A × B va B × C hosilalarning mavjudligi sharti qanoatlantiriladimi yoki yo’qligini tekshirib ko’ramiz. Ko’rsatilgan matritsalarning tartiblari ko’paytirishni amalga oshirishga imkon beradi. Muammoni hal qilishni boshlaylik.
Qaror qabul qilish jarayoni.
Birinchi qadam. D ni olish uchun B ni C ga ko'paytiring. B matritsasi 3 qator va 4 ustunga, C matritsasi esa 4 qator va 2 ustunga ega. Bu shuni anglatadiki, biz 3 qator va 2 ustunli D matritsasini olamiz. Keling, elementlarni hisoblaylik. Mana ikkita hisoblash misoli:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Biz muammoni hal qilishda davom etamiz. Keyingi hisob-kitoblar natijasida biz d21, d2 qiymatlarini topamiz. 2, d31 va d32. Bu elementlar mos ravishda 0, 19, 1 va 11 dir. Topilgan qiymatlarni to'rtburchaklar massivga yozamiz.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Ikkinchi qadam. Yakuniy F matritsasini olish uchun A ni D ga ko'paytiring. U 2 qator va 2 ustunga ega bo'ladi. Elementlarni hisoblash:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Uchta matritsani koʻpaytirish natijasi boʻlgan toʻrtburchaklar massiv tuzing.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Bevosita ishlashga kirish
Matritsalarning Kronecker mahsulotini tushunish juda qiyin. Uning qo'shimcha nomi ham bor - to'g'ridan-to'g'ri asar. Bu atama nimani anglatadi? Aytaylik, bizda m × n tartibli A jadval va p × q tartibli B jadval mavjud. A va B matritsalarining to'g'ridan-to'g'ri mahsuloti mp × nq tartibli matritsadir.
Bizda 2 ta kvadrat A, B matritsalari bor, ular rasmda ko'rsatilgan. Birinchisida 2 ta ustun va 2 satr, ikkinchisida 3 ta ustun va 3 qator mavjud. Toʻgʻridan-toʻgʻri koʻpaytma natijasida hosil boʻlgan matritsa 6 qator va aynan bir xil sonli ustunlardan iborat ekanligini koʻramiz.
Bevosita mahsulotda yangi matritsaning elementlari qanday hisoblanadi? Agar siz rasmni tahlil qilsangiz, bu savolga javob topish juda oson. Avval birinchi qatorni to'ldiring. A jadvalining yuqori qatoridan birinchi elementni oling va birinchi qatorning elementlariga ketma-ket ko'paytiring. B jadvalidan. Keyin A jadvalining birinchi qatorining ikkinchi elementini oling va B jadvalining birinchi qatori elementlariga ketma-ket ko'paytiring. Ikkinchi qatorni to'ldirish uchun yana A jadvalining birinchi qatoridan birinchi elementni oling va uni B jadvalining ikkinchi qatori elementlariga ko'paytiring.
To'g'ridan-to'g'ri mahsulot orqali olingan yakuniy matritsa blok matritsa deb ataladi. Rasmni yana tahlil qilsak, natijamiz 4 ta blokdan iborat ekanligini ko'rishimiz mumkin. Ularning barchasi B matritsasining elementlarini o'z ichiga oladi. Bundan tashqari, har bir blokning elementi A matritsasining ma'lum bir elementiga ko'paytiriladi. Birinchi blokda barcha elementlar a11 ga ko'paytiriladi. ikkinchisida - a12, uchinchisida - a21, toʻrtinchisida - a22.
Mahsulotni aniqlovchi
Matritsalarni ko'paytirish mavzusini ko'rib chiqayotganda, "matritsalar mahsulotining aniqlovchisi" kabi atamani ko'rib chiqishga arziydi. Aniqlovchi nima? Bu kvadrat matritsaning muhim xarakteristikasi, bu matritsaga berilgan ma'lum bir qiymat. Aniqlovchining so'zma-so'z belgisi det.
Ikki ustun va ikkita satrdan iborat A matritsa uchun determinantni topish oson. Muayyan elementlarning mahsulotlari o'rtasidagi farq bo'lgan kichik formula mavjud:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Ikkinchi tartibli jadval uchun determinantni hisoblash misolini ko'rib chiqaylik. A matritsa mavjud bo'lib, unda a11=2, a12=3, a21=5 va a22=1. Aniqlovchini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
3 × 3 matritsalar uchun determinant murakkabroq formula yordamida hisoblanadi. U quyida A matritsasi uchun berilgan:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Formulani eslab qolish uchun biz rasmda ko'rsatilgan uchburchak qoidasini o'ylab topdik. Birinchidan, asosiy diagonalning elementlari ko'paytiriladi. Olingan qiymatga qizil tomonlari bo'lgan uchburchaklar burchaklari bilan ko'rsatilgan elementlarning mahsulotlari qo'shiladi. Keyin ikkilamchi diagonal elementlarining mahsuloti ayiriladi va tomonlari koʻk boʻlgan uchburchaklar burchaklari bilan koʻrsatilgan elementlarning mahsuloti ayiriladi.
Endi matritsalar hosilasining determinanti haqida gapiraylik. Bu ko'rsatkich ko'paytiruvchi jadvallarning determinantlari mahsulotiga teng ekanligini aytadigan teorema mavjud. Buni misol bilan tasdiqlaylik. Bizda a11=2, a12=3, a21=1 va ayozuvli A matritsasi mavjud. 22=1 va B matritsasi b11=4, b12=5, b 21 yozuvli =1 va b22=2. A va B matritsalarining determinantlarini, A × B koʻpaytmasini va ushbu koʻpaytmaning determinantini toping.
Qaror qabul qilish jarayoni.
Birinchi qadam. A uchun determinantni hisoblang: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Keyin B uchun determinantni hisoblang: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Ikkinchi qadam. Keling, topamizmahsulot A × B. Yangi matritsani C harfi bilan belgilang. Uning elementlarini hisoblang:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Uchinchi qadam. C uchun determinantni hisoblang: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Dastlabki matritsalarning determinantlarini ko'paytirish orqali olinishi mumkin bo'lgan qiymat bilan solishtiring. Raqamlar bir xil. Yuqoridagi teorema to'g'ri.
Mahsulot darajasi
Matritsaning darajasi chiziqli mustaqil satrlar yoki ustunlarning maksimal sonini aks ettiruvchi xususiyatdir. Darajani hisoblash uchun matritsaning elementar o'zgarishlari amalga oshiriladi:
- ikki parallel qatorni qayta tartibga solish;
- jadvaldagi ma'lum bir qatorning barcha elementlarini noldan farqli raqamga ko'paytirish;
- bir qator elementlariga boshqa qatordan elementlar qoʻshish, maʼlum bir songa koʻpaytiriladi.
Elementar oʻzgarishlardan soʻng, nolga teng boʻlmagan qatorlar soniga qarang. Ularning soni matritsaning darajasidir. Oldingi misolni ko'rib chiqing. U 2 ta matritsani taqdim etdi: a11=2 elementlari bilan A, a12=3, a21=1 va a22 =1 va B elementli b11=4, b12=5, b21=1 va b22=2. Ko’paytirish natijasida olingan C matritsasidan ham foydalanamiz. Agar elementar o'zgarishlarni amalga oshirsak, u holda soddalashtirilgan matritsalarda nol qatorlar bo'lmaydi. Bu shuni anglatadiki, A jadvalining darajasi ham, B jadvalining darajasi ham, darajasi hamC jadvali 2.
Endi matritsalar koʻpaytmasining darajasiga alohida eʼtibor qaratsak. Raqamli elementlarni o'z ichiga olgan jadvallar mahsulotining darajasi hech qanday omillarning darajasidan oshmaydi, degan teorema mavjud. Buni isbotlash mumkin. A k × s matritsa, B esa s × m matritsa bo‘lsin. A va B ko‘paytmasi C ga teng.
Yuqoridagi rasmni oʻrganamiz. U C matritsasining birinchi ustunini va uning soddalashtirilgan yozuvini ko'rsatadi. Bu ustun A matritsasiga kiritilgan ustunlarning chiziqli birikmasidir. Xuddi shunday, C to‘rtburchaklar massividan boshqa istalgan ustun haqida ham aytish mumkin. Shunday qilib, C jadvalining ustun vektorlari tomonidan hosil qilingan pastki bo‘shliq matritsadan hosil bo‘lgan pastki fazoda joylashgan. A jadvalining ustun vektorlari. Shunga ko'ra, №1 pastki fazoning o'lchami №2 kichik bo'shliqning o'lchamidan oshmaydi. Bu C jadval ustunlaridagi daraja A jadvalining ustunlari darajasidan oshmasligini anglatadi, ya'ni r(C) ≦ r(A). Agar shunga o'xshash tarzda bahslashsak, u holda C matritsasining qatorlari B matritsasi qatorlarining chiziqli birikmasi ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. Bu r(C) ≦ r(B) tengsizligini bildiradi.
Matritsalar mahsulotini qanday topish juda murakkab mavzu. Uni osongina o'zlashtirish mumkin, ammo bunday natijaga erishish uchun barcha mavjud qoidalar va teoremalarni yod olishga ko'p vaqt sarflashingiz kerak bo'ladi.
