Matritsa - matematikada maxsus ob'ekt. U ma'lum miqdordagi qator va ustunlardan tashkil topgan to'rtburchaklar yoki kvadrat jadval shaklida tasvirlangan. Matematikada matritsalarning oʻlchami yoki mazmuni boʻyicha har xil turlari mavjud. Uning satr va ustunlarining raqamlari buyurtmalar deb ataladi. Ushbu ob'ektlar matematikada chiziqli tenglamalar tizimini yozishni tashkil qilish va ularning natijalarini qulay qidirish uchun ishlatiladi. Matritsa yordamida tenglamalar Karl Gauss, Gabriel Kramer usuli, minorlar va algebraik qoʻshimchalar va boshqa koʻplab usullar yordamida yechiladi. Matritsalar bilan ishlashda asosiy mahorat ularni standart shaklga keltirishdir. Biroq, avvalo, matematiklar matritsalarning qanday turlarini ajratib ko'rsatishini aniqlaymiz.
Nol turi
Bunday turdagi matritsaning barcha komponentlari nolga teng. Ayni paytda uning qator va ustunlari soni butunlay boshqacha.
Kvadrat turi
Ushbu turdagi matritsaning ustunlari va satrlari soni bir xil. Boshqacha qilib aytganda, bu "kvadrat" shakldagi jadval. Uning ustunlari (yoki satrlari) soni tartib deyiladi. Maxsus holatlar - ikkinchi tartibli (matritsa 2x2), to'rtinchi tartibli (4x4), o'ninchi (10x10), o'n yettinchi (17x17) va hokazo matritsalarning mavjudligi.
Ustun vektori
Bu matritsalarning eng oddiy turlaridan biri boʻlib, uchta raqamli qiymatni oʻz ichiga olgan faqat bitta ustundan iborat. U chiziqli tenglamalar tizimidagi erkin atamalar qatorini (o‘zgaruvchilardan mustaqil raqamlar) ifodalaydi.
Qator vektor
Avvalgisiga oʻxshash koʻrish. Oʻz navbatida bir qatorda tashkil etilgan uchta raqamli elementdan iborat.
Diagonal turi
Faqat asosiy diagonalning komponentlari (yashil rang bilan belgilangan) matritsaning diagonal shaklida raqamli qiymatlarni oladi. Asosiy diagonal yuqori chap burchakdagi elementdan boshlanadi va mos ravishda pastki o'ngdagi element bilan tugaydi. Qolgan komponentlar nolga teng. Diagonal tip faqat qandaydir tartibli kvadrat matritsadir. Diagonal shakldagi matritsalar orasida skalyarni ajratib ko'rsatish mumkin. Uning barcha komponentlari bir xil qiymatlarni oladi.
Identifikatsiya matritsasi
Diagonal matritsaning kichik turi. Uning barcha raqamli qiymatlari birliklardir. Bitta turdagi matritsali jadvallardan foydalanib, uning asosiy oʻzgarishlarini bajaring yoki asl jadvalga teskari matritsani toping.
Konik turi
Matritsaning kanonik shakli asosiylaridan biri hisoblanadi; unga quyish ko'pincha ishlash uchun kerak bo'ladi. Kanonik matritsadagi qatorlar va ustunlar soni har xil, u kvadrat turiga tegishli bo'lishi shart emas. U ma'lum darajada identifikatsiya matritsasiga o'xshaydi, ammo uning holatida asosiy diagonalning barcha komponentlari bittaga teng qiymatni olmaydi. Ikki yoki to'rtta asosiy diagonal birlik bo'lishi mumkin (hammasi matritsaning uzunligi va kengligiga bog'liq). Yoki umuman birliklar bo'lmasligi mumkin (keyin u nol deb hisoblanadi). Kanonik turdagi qolgan komponentlar, shuningdek, diagonal va identifikatsiya elementlari nolga teng.
Uchburchak turi
Matrisaning eng muhim turlaridan biri, uning determinantini qidirishda va oddiy amallarni bajarishda foydalaniladi. Uchburchak turi diagonal turdan keladi, shuning uchun matritsa ham kvadratdir. Matritsaning uchburchak ko'rinishi yuqori uchburchak va pastki uchburchaklarga bo'lingan.
Yuqori uchburchak matritsada (1-rasm) faqat asosiy diagonaldan yuqorida joylashgan elementlar nolga teng qiymatni oladi. Diagonalning tarkibiy qismlari va uning ostidagi matritsaning qismida raqamli qiymatlar mavjud.
Quyi uchburchak matritsada (2-rasm), aksincha, matritsaning pastki qismida joylashgan elementlar nolga teng.
Bosqichli matritsa
Koʻrinish matritsaning darajasini topish, shuningdek ular ustida elementar amallar (uchburchak turi bilan birga) uchun zarur. Bosqichli matritsa shunday nomlangan, chunki u nollarning xarakterli "qadamlari" ni o'z ichiga oladi (rasmda ko'rsatilganidek). Bosqichli tipda nol diagonali hosil bo'ladi (asosiy bo'lishi shart emas) va ushbu diagonal ostidagi barcha elementlar ham nolga teng qiymatlarga ega. Majburiy shart quyidagilar: agar bosqichli matritsada nol qator boʻlsa, uning ostidagi qolgan qatorlar ham raqamli qiymatlarni oʻz ichiga olmaydi.
Shunday qilib, biz ular bilan ishlash uchun zarur boʻlgan matritsalarning eng muhim turlarini koʻrib chiqdik. Endi matritsani kerakli shaklga aylantirish vazifasi bilan shug'ullanamiz.
Uchburchak shaklga qisqartirish
Matritsani uchburchak shaklga qanday keltirish mumkin? Ko'pincha, topshiriqlarda matritsani uning determinantini topish uchun uchburchak shaklga o'tkazish kerak, aks holda determinant deb ataladi. Ushbu protsedurani bajarayotganda, matritsaning asosiy diagonalini "saqlab qolish" juda muhim, chunki uchburchak matritsaning aniqlovchisi uning asosiy diagonalining tarkibiy qismlarining mahsulotidir. Determinantni topishning muqobil usullarini ham eslatib o'taman. Kvadrat tipidagi determinant maxsus formulalar yordamida topiladi. Misol uchun, siz uchburchak usulidan foydalanishingiz mumkin. Boshqa matritsalar uchun satr, ustun yoki ularning elementlari bo'yicha parchalanish usuli qo'llaniladi. Matritsaning minorlari va algebraik toʻldiruvchilari usulini ham qoʻllashingiz mumkin.
TafsilotlarKeling, matritsani uchburchak shaklga keltirish jarayonini ayrim topshiriqlar misollari yordamida tahlil qilaylik.
1-topshiriq
Taqdim etilgan matritsaning determinantini uchburchak shaklga keltirish usulidan foydalanib topish kerak.
Bizga berilgan matritsa uchinchi tartibli kvadrat matritsadir. Shuning uchun uni uchburchak shaklga aylantirish uchun birinchi ustunning ikkita komponentini va ikkinchisining bitta komponentini bekor qilishimiz kerak.
Uni uchburchak shaklga keltirish uchun oʻzgartirishni matritsaning pastki chap burchagidan - 6 raqamidan boshlang. Uni nolga aylantirish uchun birinchi qatorni uchga koʻpaytiring va oxirgi qatordan ayiring.
Muhim! Yuqori chiziq o'zgarmaydi, lekin asl matritsadagi kabi qoladi. Asl satrni to'rt marta yozishingiz shart emas. Ammo komponentlari bekor qilinishi kerak bo'lgan satrlarning qiymatlari doimiy ravishda o'zgarib turadi.
Keyin, keling, keyingi qiymat bilan shug'ullanamiz - birinchi ustunning ikkinchi qatori elementi, 8-raqam. Birinchi qatorni to'rtga ko'paytiring va ikkinchi qatordan ayiring. Biz nolga erishamiz.
Faqat oxirgi qiymat qoladi - ikkinchi ustunning uchinchi qatori elementi. Bu raqam (-1). Uni nolga aylantirish uchun birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang.
Tekshiramiz:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Demak, topshiriqning javobi -22.
2-topshiriq
Matrisaning determinantini uchburchak shaklga keltirish orqali topishimiz kerak.
Taqdim etilgan matritsakvadrat turiga mansub va to'rtinchi tartibli matritsadir. Bu birinchi ustunning uchta komponenti, ikkinchi ustunning ikkita komponenti va uchinchi ustunning bitta komponenti nolga teng boʻlishi kerakligini anglatadi.
Uni kamaytirishni pastki chap burchakda joylashgan elementdan - 4 raqamidan boshlaylik. Biz bu raqamni nolga aylantirishimiz kerak. Buning eng oson yo'li - yuqori qatorni to'rtga ko'paytirish va keyin uni to'rtinchi qatordan olib tashlash. Transformatsiyaning birinchi bosqichi natijasini yozamiz.
Demak, toʻrtinchi qatorning komponenti nolga oʻrnatiladi. Uchinchi qatorning birinchi elementiga, 3 raqamiga o'tamiz. Biz shunga o'xshash operatsiyani bajaramiz. Birinchi qatorni uchga ko'paytiring, uchinchi qatordan ayiring va natijani yozing.
Keyin, biz ikkinchi qatorda 2 raqamini ko'ramiz. Amaliyotni takrorlaymiz: yuqori qatorni ikkiga ko'paytiramiz va ikkinchisidan ayiramiz.
Biz ushbu kvadrat matritsaning birinchi ustunining barcha komponentlarini nolga tenglashtirdik, asosiy diagonalning transformatsiyani talab qilmaydigan 1 raqamidan tashqari elementi. Endi olingan nollarni saqlab qolish muhim, shuning uchun biz ustunlar bilan emas, balki satrlar bilan o'zgartiramiz. Keling, taqdim etilgan matritsaning ikkinchi ustuniga o'tamiz.
Yana pastdan - oxirgi qatorning ikkinchi ustuni elementidan boshlaylik. Bu raqam (-7). Biroq, bu holda uchinchi qatorning ikkinchi ustunining elementi (-1) raqamidan boshlash qulayroqdir. Uni nolga aylantirish uchun uchinchi qatordan ikkinchi qatorni olib tashlang. Keyin biz ikkinchi qatorni ettiga ko'paytiramiz va to'rtinchidan ayiramiz. Biz ikkinchi ustunning to'rtinchi qatorida joylashgan element o'rniga nolga ega bo'ldik. Endi uchinchisiga o'tamizustun.
Ushbu ustunda biz faqat bitta raqamni nolga aylantirishimiz kerak - 4. Buni qilish oson: oxirgi qatorga uchinchisini qoʻshing va bizga kerak boʻlgan nolni koʻring.
Barcha oʻzgarishlardan soʻng biz taklif qilingan matritsani uchburchak shaklga keltirdik. Endi uning determinantini topish uchun faqat asosiy diagonalning hosil bo'lgan elementlarini ko'paytirish kerak. Biz olamiz: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Demak, yechim 160 raqamidir.
Demak, endi matritsani uchburchak shaklga keltirish masalasi sizni qiyinlashtirmaydi.
Bosqichli shaklga qisqartirish
Matritsalar ustidagi elementar amallarda pog’onali shakl uchburchakka nisbatan kamroq “talab qilinadi”. Ko'pincha matritsaning darajasini (ya'ni, uning nolga teng bo'lmagan qatorlar sonini) topish yoki chiziqli bog'liq va mustaqil qatorlarni aniqlash uchun ishlatiladi. Biroq, bosqichli matritsali ko'rinish ko'proq qirrali, chunki u nafaqat kvadrat turiga, balki barcha boshqalarga mos keladi.
Matritsani bosqichli shaklga keltirish uchun avval uning determinantini topishingiz kerak. Buning uchun yuqoridagi usullar mos keladi. Determinantni topishdan maqsad uni bosqichli matritsaga aylantirish mumkinligini aniqlashdir. Agar determinant noldan katta yoki kichik bo'lsa, siz ishonch bilan vazifaga o'tishingiz mumkin. Agar u nolga teng bo'lsa, matritsani bosqichli shaklga qisqartirish ishlamaydi. Bunday holda, siz yozuvda yoki matritsani o'zgartirishda xatolar mavjudligini tekshirishingiz kerak. Agar bunday noaniqliklar bo'lmasa, vazifani hal qilib bo'lmaydi.
Ko'ramiz qanday qilibBir nechta vazifalar misollari yordamida matritsani bosqichli shaklga keltiring.
1-topshiriq. Berilgan matritsa jadvalining darajasini toping.
Oldimizda uchinchi tartibli kvadrat matritsa (3x3). Biz bilamizki, darajani topish uchun uni bosqichli shaklga tushirish kerak. Shuning uchun biz birinchi navbatda matritsaning determinantini topishimiz kerak. Uchburchak usuli yordamida: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. U noldan katta, ya'ni matritsani bosqichli ko'rinishga keltirish mumkin. Keling, uni o'zgartirishni boshlaylik.
Uchinchi qatorning chap ustunining elementi - 2 raqamidan boshlaylik. Yuqori qatorni ikkiga ko'paytiring va uchinchisidan ayiring. Ushbu operatsiya tufayli bizga kerak bo'lgan element ham, 4-raqam ham - uchinchi qatorning ikkinchi ustunining elementi nolga aylandi.
Keyin, birinchi ustunning ikkinchi qatori elementi - 3 raqamini nolga aylantiring. Buning uchun yuqori qatorni uchga ko'paytiring va ikkinchisidan ayiring.
Biz qisqarish natijasida uchburchak matritsa paydo boʻlganini koʻramiz. Bizning holatda, transformatsiyani davom ettirib bo'lmaydi, chunki qolgan komponentlarni nolga aylantirib bo'lmaydi.
Shunday qilib, biz ushbu matritsadagi (yoki uning darajasidagi) raqamli qiymatlarni o'z ichiga olgan qatorlar soni 3 ga teng degan xulosaga keldik. Vazifaga javob: 3.
2-topshiriq. Ushbu matritsaning chiziqli mustaqil qatorlar sonini aniqlang.
Hech qanday oʻzgartirishlar bilan qaytarib boʻlmaydigan satrlarni topishimiz keraknolga. Aslida, biz nolga teng bo'lmagan qatorlar sonini yoki ko'rsatilgan matritsaning darajasini topishimiz kerak. Buning uchun uni soddalashtiramiz.
Biz kvadrat turiga tegishli bo'lmagan matritsani ko'ramiz. Uning o'lchamlari 3x4. Keling, quyi chap burchakdagi elementdan - raqamdan (-1) boshlaylik.
Birinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing. Keyin 5 raqamini nolga aylantirish uchun undan ikkinchisini ayiring.
Keyingi oʻzgarishlarni amalga oshirish mumkin emas. Shunday qilib, biz undagi chiziqli mustaqil chiziqlar soni va topshiriqning javobi 3 degan xulosaga keldik.
Endi matritsani bosqichli shaklga keltirish siz uchun imkonsiz ish emas.
Ushbu topshiriqlarning misollarida biz matritsani uchburchak va pogʻonali shaklga keltirishni tahlil qildik. Matritsali jadvallarning kerakli qiymatlarini bekor qilish uchun ba'zi hollarda tasavvurni ko'rsatish va ularning ustunlari yoki satrlarini to'g'ri o'zgartirish kerak bo'ladi. Matematika va matritsalar bilan ishlashda omad tilaymiz!
