Uchburchak - bu uch tomoni (uchta burchagi) bo'lgan ko'pburchak. Ko'pincha, tomonlar qarama-qarshi cho'qqilarni bildiradigan bosh harflarga mos keladigan kichik harflar bilan belgilanadi. Ushbu maqolada biz ushbu geometrik shakllarning turlari, uchburchak burchaklarining yig'indisi nima ekanligini aniqlaydigan teorema bilan tanishamiz.
Burchaklar boʻyicha koʻrishlar
Uchta uchli koʻpburchakning quyidagi turlari ajratiladi:
- oʻtkir burchakli, uning barcha burchaklari oʻtkir;
- to'rtburchak, bitta to'g'ri burchakka ega, uni tashkil etuvchi tomonlar oyoqlar, to'g'ri burchakka qarama-qarshi qo'yilgan tomon esa gipotenuza deb ataladi;
- bir burchagi toʻq boʻlsa, toʻq;
- izosellar, ularning ikki tomoni teng va ular lateral deb ataladi, uchinchisi esa uchburchakning asosi;
- teng tomonli, uchta tomoni teng.
Xususiyatlar
Ular uchburchakning har bir turiga xos boʻlgan asosiy xususiyatlarni ajratib koʻrsatadi:
- kattaroq tomonning qarshisida har doim kattaroq burchak bor va aksincha;
- Teng oʻlchamdagi qarama-qarshi tomonlar teng burchaklar va aksincha;
- har qanday uchburchakning ikkita oʻtkir burchagi bor;
- tashqi burchak unga qoʻshni boʻlmagan har qanday ichki burchakdan kattaroq;
- har qanday ikkita burchakning yig'indisi har doim 180 darajadan kichik;
- tashqi burchak u bilan kesishmaydigan qolgan ikkita burchak yigʻindisiga teng.
Uchburchaklar yigʻindisi burchaklar teoremasi
Teorema shuni ko'rsatadiki, agar siz Evklid tekisligida joylashgan berilgan geometrik figuraning barcha burchaklarini qo'shsangiz, ularning yig'indisi 180 daraja bo'ladi. Keling, bu teoremani isbotlashga harakat qilaylik.
Uchlari KMN boʻlgan ixtiyoriy uchburchak hosil qilaylik.
M cho'qqisi orqali KN to'g'ri chiziqqa parallel to'g'ri chiziq o'tkazing (bu chiziq Evklid to'g'ri chizig'i deb ham ataladi). Unga A nuqtani shunday belgilaymizki, K va A nuqtalar MN to'g'ri chiziqning turli tomonlarida joylashgan. Biz AMN va KNM teng burchaklarni olamiz, ular ichki burchaklar kabi koʻndalang yotadi va MN sekant tomonidan parallel boʻlgan KN va MA toʻgʻri chiziqlar bilan birgalikda hosil boʻladi. Bundan kelib chiqadiki, uchburchakning M va H cho'qqilarida joylashgan burchaklarining yig'indisi KMA burchak kattaligiga teng. Barcha uch burchaklar yig'indini tashkil qiladi, bu KMA va MKN burchaklarining yig'indisiga teng. Bu burchaklar nisbatan ichki bir tomonlama bo'lgani uchunsekant KM bo'lgan KN va MA parallel to'g'ri chiziqlar, ularning yig'indisi 180 gradus. Teorema isbotlangan.
Natija
Yuqorida isbotlangan teoremadan quyidagi xulosa kelib chiqadi: har qanday uchburchakning ikkita oʻtkir burchagi bor. Buni isbotlash uchun berilgan geometrik shakl faqat bitta o'tkir burchakka ega deb faraz qilaylik. Bundan tashqari, burchaklarning hech biri o'tkir emas deb taxmin qilish mumkin. Bunday holda, 90 darajaga teng yoki undan kattaroq bo'lgan kamida ikkita burchak bo'lishi kerak. Ammo keyin burchaklar yig'indisi 180 darajadan katta bo'ladi. Ammo bu bo'lishi mumkin emas, chunki teoremaga ko'ra, uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng - ko'p va kam emas. Bu isbotlanishi kerak edi.
Tashqi burchak xususiyati
Uchburchakning tashqi burchaklarining yig’indisi nechaga teng? Bu savolga ikkita usuldan birida javob berish mumkin. Birinchisi, har bir tepada bittadan, ya'ni uchta burchakdan olingan burchaklar yig'indisini topish kerak. Ikkinchisi, siz cho'qqilardagi barcha olti burchakning yig'indisini topishingiz kerakligini anglatadi. Birinchidan, birinchi variant bilan shug'ullanamiz. Shunday qilib, uchburchak oltita tashqi burchakdan iborat - har bir tepada ikkitadan.
Har bir juftlik teng burchaklarga ega, chunki ular vertikal:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Bundan tashqari, ma'lumki, uchburchakning tashqi burchagi u bilan kesishmaydigan ikkita ichki burchak yig'indisiga teng. Shuning uchun, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Bundan ma'lum bo'ladiki, tashqi yig'indisiHar bir tepada bittadan olinadigan burchaklar quyidagilarga teng bo'ladi:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Burchaklar yig’indisi 180 gradus ekanligini hisobga olsak, ∟A + ∟B + ∟C=180° ekanligini ta’kidlash mumkin. Va bu ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180 °=360 ° degan ma'noni anglatadi. Agar ikkinchi variant ishlatilsa, oltita burchakning yig'indisi mos ravishda ikki barobar katta bo'ladi. Ya'ni, uchburchakning tashqi burchaklarining yig'indisi:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Toʻgʻri uchburchak
Toʻgʻri burchakli uchburchakning oʻtkir burchaklarining yigʻindisi nechaga teng? Bu savolga javob yana uchburchakdagi burchaklar qo'shilib 180 gradus degan teoremadan kelib chiqadi. Va bizning bayonotimiz (xususiyatimiz) shunday eshitiladi: to'g'ri burchakli uchburchakda o'tkir burchaklar 90 gradusgacha qo'shiladi. Keling, uning to'g'riligini isbotlaylik.
Bizga KMN uchburchak berilsin, unda ∟N=90°. ∟K + ∟M=90° ekanligini isbotlash kerak.
Demak, burchak yig’indisi teoremasiga ko’ra ∟K + ∟M + ∟N=180°. Bizning shartimiz ∟N=90° ekanligini aytadi. Shunday qilib, ∟K + ∟M + 90 °=180 ° bo'lib chiqadi. Ya'ni, ∟K + ∟M=180 ° - 90 °=90 °. Buni isbotlashimiz kerak edi.
Toʻgʻri burchakli uchburchakning yuqoridagi xususiyatlariga qoʻshimcha ravishda quyidagilarni qoʻshishingiz mumkin:
- oyoqlarga qarama-qarshi yotgan burchaklar keskin;
- gipotenuza barcha oyoqlardan koʻra uchburchak shaklida;
- oyoqlarning yig'indisi gipotenuzadan katta;
- oyoq30 graduslik burchakka qarama-qarshi joylashgan uchburchak gipotenuzaning yarmiga teng, ya'ni uning yarmiga teng.
Ushbu geometrik figuraning yana bir xossasi sifatida Pifagor teoremasini ajratib ko’rsatish mumkin. Uning ta'kidlashicha, 90 gradus burchakli uchburchakda (to'rtburchaklar) oyoqlarning kvadratlari yig'indisi gipotenuzaning kvadratiga teng.
Teng yonli uchburchak burchaklarining yigʻindisi
Avvalroq biz teng yon tomonlar uchta uchli, ikkita teng tomoni boʻlgan koʻpburchak ekanligini aytgan edik. Berilgan geometrik figuraning bu xossasi ma'lum: uning poydevoridagi burchaklar teng. Keling, buni isbotlaylik.
KMN uchburchagini oling, bu teng yon tomonli, KN uning asosidir.
Biz ∟K=∟N ekanligini isbotlashimiz kerak. Demak, MA KMN uchburchagimizning bissektrisasi deylik. MCA uchburchagi, tenglikning birinchi belgisini hisobga olgan holda, MCA uchburchagiga teng. Ya'ni, shart bo'yicha KM=NM, MA umumiy tomon, ∟1=∟2 ekanligi berilgan, chunki MA bissektrisadir. Bu ikki uchburchak teng ekanligidan foydalanib, ∟K=∟N ekanligini aytishimiz mumkin. Shunday qilib, teorema isbotlangan.
Ammo bizni uchburchak burchaklarining yigʻindisi qancha ekanligi qiziqtiradi (izosseller). Bu jihatdan uning o'ziga xos xususiyatlari yo'qligi sababli, biz avval ko'rib chiqilgan teoremadan boshlaymiz. Ya'ni, ∟K + ∟M + ∟H=180 ° yoki 2 x ∟K + ∟M=180 ° (∟K=∟H bo'lgani uchun) deyishimiz mumkin. Biz bu xususiyatni isbotlamaymiz, chunki uchburchak yig'indisi teoremasining o'zi avvalroq isbotlangan.
Muhokama qilingan holatlar bundan mustasnouchburchakning burchaklari haqidagi xususiyatlar, shuningdek, bunday muhim bayonotlar mavjud:
- Teng yon burchakli uchburchakda poydevorga tushirilgan balandlik ham mediana, ham teng tomonlar orasidagi burchakning bissektrisasi, shuningdek uning asosining simmetriya oʻqi hisoblanadi;
- Bunday geometrik figuraning yon tomonlariga chizilgan mediaanlar (bissektrisalar, balandliklar) teng.
Teng tomonli uchburchak
U toʻgʻri deb ham ataladi, u barcha tomonlari teng boʻlgan uchburchakdir. Demak, burchaklar ham teng. Ularning har biri 60 daraja. Keling, bu xususiyatni isbotlaymiz.
Bizda KMN uchburchagi bor deb faraz qilaylik. Biz bilamizki, KM=NM=KN. Va bu shuni anglatadiki, teng yonli uchburchakda poydevorda joylashgan burchaklarning xususiyatiga ko'ra, ∟K=∟M=∟N. Chunki, teoremaga ko‘ra, uchburchak burchaklarining yig‘indisi ∟K + ∟M + ∟N=180° bo‘lsa, u holda 3 x ∟K=180° yoki ∟K=60°, ∟M=60°, ∟ N=60°. Shunday qilib, bayonot isbotlangan.
Teoremaga asoslangan yuqoridagi dalildan koʻrinib turibdiki, har qanday boshqa uchburchakning burchaklarining yigʻindisi kabi teng yonli uchburchakning burchaklarining yigʻindisi 180 darajaga teng. Bu teoremani yana isbotlashning hojati yo'q.
Teng tomonli uchburchakka xos xususiyatlar ham mavjud:
Bunday geometrik figurada
sifatida hisoblanadi.
Toʻq burchakli uchburchak
Doʻlma uchburchak taʼrifiga koʻra, uning burchaklaridan biri 90 dan 180 darajagacha. Ammo bu geometrik shaklning qolgan ikkita burchagi o'tkir ekanligini hisobga olsak, ular 90 darajadan oshmaydi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Shuning uchun burchaklar yig'indisi uchburchak teoremasi o'tkir uchburchakda burchaklar yig'indisini hisoblashda ishlaydi. Ma'lum bo'lishicha, biz yuqorida aytib o'tilgan teoremaga asoslanib, to'liq uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 gradus ekanligini ishonch bilan aytishimiz mumkin. Yana bu teoremani qayta isbotlash shart emas.
