Menimcha, biz differentsial tenglamalar kabi ulug'vor matematik vositaning tarixidan boshlashimiz kerak. Barcha differentsial va integral hisoblar singari, bu tenglamalar 17-asr oxirida Nyuton tomonidan ixtiro qilingan. U o'zining bu kashfiyotini shu qadar muhim deb hisobladiki, hatto bugungi kunda shunday tarjima qilinishi mumkin bo'lgan xabarni shifrladi: "Tabiatning barcha qonunlari differensial tenglamalar bilan tasvirlangan". Bu mubolag'a bo'lib tuyulishi mumkin, ammo bu haqiqat. Har qanday fizika, kimyo, biologiya qonunlarini ushbu tenglamalar orqali tasvirlash mumkin.
Matematiklar Eyler va Lagranj differensial tenglamalar nazariyasini ishlab chiqish va yaratishga katta hissa qo'shdilar. Ular 18-asrdayoq universitetlarning yuqori kurslarida oʻqiyotganlarini kashf etdilar va rivojlantirdilar.
Differensial tenglamalarni oʻrganishda yangi bosqich Anri Puankare tufayli boshlandi. U "differensial tenglamalarning sifat nazariyasini" yaratdi, u kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi bilan birgalikda topologiya - fazo va uning fanining asoslanishiga katta hissa qo'shdi.xususiyatlari.
Differensial tenglamalar nima?
Ko'p odamlar bitta iboradan qo'rqishadi "differensial tenglama". Biroq, ushbu maqolada biz ushbu juda foydali matematik apparatning butun mohiyatini batafsil bayon qilamiz, bu aslida nomidan ko'rinadigan darajada murakkab emas. Birinchi tartibli differensial tenglamalar haqida gapirishni boshlash uchun, avvalo, ushbu ta'rif bilan bog'liq bo'lgan asosiy tushunchalar bilan tanishishingiz kerak. Va biz differentsialdan boshlaymiz.
Differensial
Koʻpchilik bu tushunchani maktabdan biladi. Biroq, keling, buni batafsil ko'rib chiqaylik. Funksiya grafigini tasavvur qiling. Biz uni shu darajada oshirishimiz mumkinki, uning har qanday segmenti to'g'ri chiziq shaklini oladi. Unda biz bir-biriga cheksiz yaqin bo'lgan ikkita nuqtani olamiz. Ularning koordinatalari (x yoki y) orasidagi farq cheksiz kichik qiymat bo'ladi. U differensial deb ataladi va dy (y dan differentsial) va dx (x dan differentsial) belgilari bilan belgilanadi. Differensial chekli qiymat emasligini tushunish juda muhim va bu uning ma'nosi va asosiy vazifasidir.
Va endi biz keyingi elementni ko'rib chiqishimiz kerak, bu biz uchun differentsial tenglama tushunchasini tushuntirishda foydali bo'ladi. Bu lotin.
Hosila
Biz hammamiz maktabda va bu tushunchani eshitganmiz. Hosila deb funktsiyaning o'sish yoki kamayish tezligi deyiladi. Biroq, bu ta'rifdanko'p narsa noaniq bo'lib qoladi. Keling, hosilani differentsiallar nuqtai nazaridan tushuntirishga harakat qilaylik. Bir-biridan minimal masofada joylashgan ikkita nuqtaga ega funksiyaning cheksiz kichik segmentiga qaytaylik. Ammo bu masofa uchun ham funktsiya ma'lum miqdorda o'zgarishi mumkin. Va bu o'zgarishni tasvirlash uchun ular hosila bilan kelishdi, aks holda uni differentsiallar nisbati sifatida yozish mumkin: f(x)'=df/dx.
Endi hosilaning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqishga arziydi. Ulardan faqat uchtasi bor:
- Yig'indi yoki farqning hosilasi hosilalarning yig'indisi yoki farqi sifatida ifodalanishi mumkin: (a+b)'=a'+b' va (a-b)'=a'-b'.
- Ikkinchi xususiyat koʻpaytirish bilan bogʻliq. Hosilning hosilasi bir funktsiyaning hosilasi bilan boshqa funksiyaning hosilasi yig‘indisidir: (ab)'=a'b+ab'.
- Farqning hosilasini quyidagi tenglik sifatida yozish mumkin: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Bu xususiyatlarning barchasi birinchi tartibli differensial tenglamalar yechimini topish uchun foydali boʻladi.
Qisman hosilalari ham bor. Aytaylik, bizda x va y o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan z funksiyasi bor. Bu funksiyaning qisman hosilasini hisoblash uchun, aytaylik, x ga nisbatan, biz y o‘zgaruvchini doimiy sifatida qabul qilishimiz va oddiygina farqlashimiz kerak.
Integral
Yana bir muhim tushuncha - bu integral. Aslida, bu lotinning to'g'ridan-to'g'ri qarama-qarshisidir. Bir necha turdagi integrallar mavjud, lekin eng oddiy differensial tenglamalarni yechish uchun bizga eng ahamiyatsiz noaniq integrallar kerak.
Xo'sh, integral nima? Aytaylik, bizda qandaydir bog'liqlik bor fx dan. Biz undan integralni olamiz va hosilasi asl funktsiyaga teng bo'lgan F (x) funksiyani olamiz (ko'pincha antiderivativ deb ataladi). Shunday qilib, F(x)'=f(x). Bundan kelib chiqadiki, hosilaning integrali asl funktsiyaga teng.
Differensial tenglamalarni yechishda integralning ma'nosi va funktsiyasini tushunish juda muhim, chunki yechimni topish uchun ularni tez-tez qabul qilishga to'g'ri keladi.
Tenglamalar tabiatiga qarab farqlanadi. Keyingi bo'limda biz birinchi tartibli differensial tenglamalar turlarini ko'rib chiqamiz va keyin ularni yechish usullarini o'rganamiz.
Differensial tenglamalar sinflari
"Diffuri" ularda ishtirok etgan hosilalarning tartibiga ko'ra bo'linadi. Shunday qilib, birinchi, ikkinchi, uchinchi va undan ko'p tartib mavjud. Ularni bir necha sinflarga bo‘lish ham mumkin: oddiy va qisman hosilalar.
Ushbu maqolada biz birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Keyingi bo'limlarda biz misollar va ularni hal qilish usullarini ham muhokama qilamiz. Biz faqat ODElarni ko'rib chiqamiz, chunki bu tenglamalarning eng keng tarqalgan turlari. Oddiy kichik turlarga bo'linadi: ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan, bir hil va heterojen. Keyin ular bir-biridan qanday farq qilishini va ularni qanday hal qilishni bilib olasiz.
Bundan tashqari, bu tenglamalarni birlashtirish mumkin, shunda biz birinchi tartibli differentsial tenglamalar tizimini olamiz. Biz bunday tizimlarni ham ko'rib chiqamiz va ularni qanday hal qilishni o'rganamiz.
Nega biz faqat birinchi tartibni ko'rib chiqyapmiz? Chunki siz oddiydan boshlashingiz va differentsial bilan bog'liq hamma narsani tasvirlashingiz kerakBir maqolada tenglamalar mumkin emas.
Ajraladigan oʻzgaruvchan tenglamalar
Bular, ehtimol, eng oddiy birinchi tartibli differentsial tenglamalardir. Bularga quyidagicha yozish mumkin bo'lgan misollar kiradi: y'=f(x)f(y). Bu tenglamani yechish uchun hosilani differentsiallar nisbati sifatida ifodalash formulasi kerak: y'=dy/dx. Undan foydalanib, quyidagi tenglamani olamiz: dy/dx=f(x)f(y). Endi biz standart misollarni yechish usuliga murojaat qilishimiz mumkin: biz o'zgaruvchilarni qismlarga ajratamiz, ya'ni y o'zgaruvchisi bo'lgan hamma narsani dy joylashgan qismga o'tkazamiz va biz x o'zgaruvchisi bilan ham xuddi shunday qilamiz. dy/f(y)=f(x)dx ko’rinishdagi tenglamani olamiz, bu tenglama ikkala qismning integrallarini olish yo’li bilan yechiladi. Integral olingandan keyin o'rnatilishi kerak bo'lgan doimiy haqida unutmang.
Har qanday “diffurans” ning yechimi x ning y ga bog’liqligi funksiyasi (bizning holimizda) yoki sonli shart mavjud bo’lsa, javob son ko’rinishida bo’ladi. Keling, aniq bir misol yordamida yechimning butun yo'nalishini tahlil qilaylik:
y'=2ysin(x)
Oʻzgaruvchilarni turli yoʻnalishlarga oʻtkazish:
dy/y=2sin(x)dx
Endi biz integrallarni olamiz. Ularning barchasini integrallarning maxsus jadvalida topish mumkin. Va biz olamiz:
ln(y)=-2cos(x) + C
Agar kerak boʻlsa, “y”ni “x” funksiyasi sifatida ifodalashimiz mumkin. Endi hech qanday shart berilmasa, differentsial tenglamamiz yechilgan deb aytishimiz mumkin. Shart berilishi mumkin, masalan, y(n/2)=e. Keyin biz bu o'zgaruvchilarning qiymatini yechimga almashtiramiz vadoimiyning qiymatini toping. Bizning misolimizda u 1 ga teng.
Birinchi tartibli bir jinsli differentsial tenglamalar
Endi qiyinroq qismga. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalarni umumiy shaklda quyidagicha yozish mumkin: y'=z(x, y). Shuni ta'kidlash kerakki, ikkita o'zgaruvchining to'g'ri funktsiyasi bir hil bo'lib, uni ikkita bog'liqlikka bo'lish mumkin emas: z - x va z - y. Tenglama bir jinsli yoki bir xil emasligini tekshirish juda oddiy: biz x=kx va y=ky almashtirishni qilamiz. Endi biz barcha k.larni bekor qilamiz. Agar bu harflarning barchasi qisqartirilsa, unda tenglama bir hil bo'ladi va siz uni echishga ishonch bilan kirishingiz mumkin. Oldinga qarab, aytaylik: bu misollarni yechish tamoyili ham juda oddiy.
Oʻzgartirishni amalga oshirishimiz kerak: y=t(x)x, bu yerda t – x ga ham bogʻliq boʻlgan baʼzi funksiya. Shunda hosilani ifodalashimiz mumkin: y'=t'(x)x+t. Bularning barchasini asl tenglamamizga qo'yib, uni soddalashtirib, biz ajratiladigan o'zgaruvchilar t va x bilan misol olamiz. Biz uni hal qilamiz va t(x) bog'liqligini olamiz. Biz uni olganimizdan so'ng, biz avvalgi o'rniga y=t (x)x ni almashtiramiz. Keyin y ning x ga bog'liqligini olamiz.
Buni aniqroq qilish uchun misolni ko'rib chiqamiz: xy'=y-xey/x.
Almashtirish bilan tekshirishda hamma narsa kamayadi. Shunday qilib, tenglama haqiqatan ham bir hil. Endi biz gaplashgan boshqa almashtirishni amalga oshiramiz: y=t(x)x va y'=t'(x)x+t(x). Soddalashtirilgandan so'ng quyidagi tenglamani olamiz: t'(x)x=-et. Olingan misolni ajratilgan o'zgaruvchilar bilan hal qilamiz va olamiz: e-t=ln(Cx). Biz faqat t ni y/x bilan almashtirishimiz kerak (agar y=tx bo‘lsa, t=y/x) va biz shunday bo‘lamiz.javob: e-y/x=ln(xC).
Birinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamalar
Boshqa katta mavzu vaqti keldi. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalarni tahlil qilamiz. Ular oldingi ikkitasidan qanday farq qiladi? Keling, buni aniqlaylik. Umumiy shakldagi birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin: y' + g(x)y=z(x). z(x) va g(x) konstantalar boʻlishi mumkinligini aniqlab olish kerak.
Endi esa misol: y' - yx=x2.
Buni hal qilishning ikkita usuli bor va biz ikkalasini ham tartibda hal qilamiz. Birinchisi, ixtiyoriy konstantalarni o'zgartirish usuli.
Tenglamani shu tarzda yechish uchun avvalo oʻng tomonni nolga tenglashtirish va hosil boʻlgan tenglamani yechish kerak, uning qismlari koʻchirilgandan keyin quyidagi koʻrinishga ega boʻladi:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Endi biz doimiy C1 ni topishimiz kerak boʻlgan v(x) funksiyasi bilan almashtirishimiz kerak.
y=vex2/2.
Keling, hosilani oʻzgartiramiz:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Va bu iboralarni asl tenglamaga almashtiring:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Chap tomonda ikkita shart bekor qilinishini koʻrishingiz mumkin. Agar biron bir misolda bu sodir bo'lmagan bo'lsa, unda siz noto'g'ri ish qildingiz. Davom etish:
v'ex2/2 =x2.
Endi biz oʻzgaruvchilarni ajratishimiz kerak boʻlgan odatiy tenglamani yechamiz:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Integralni chiqarish uchun bu yerda qismlar boʻyicha integratsiyani qoʻllashimiz kerak. Biroq, bu bizning maqolamizning mavzusi emas. Agar siz qiziqsangiz, bunday harakatlarni o'zingiz qanday qilishni o'rganishingiz mumkin. Bu qiyin emas va etarli mahorat va e'tibor bilan ko'p vaqt talab qilmaydi.
Bir hil boʻlmagan tenglamalarni yechishning ikkinchi usuliga: Bernulli usuliga murojaat qilaylik. Qaysi yondashuv tezroq va osonroq bo'lishi sizga bog'liq.
Demak, tenglamani bu usul bilan yechishda biz almashtirishni amalga oshirishimiz kerak: y=kn. Bu erda k va n ba'zi x ga bog'liq funktsiyalardir. Keyin hosila quyidagicha ko'rinishga ega bo'ladi: y'=k'n+kn'. Har ikkala almashtirishni tenglamaga almashtiring:
k'n+kn'+xkn=x2.
Guruh:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Endi biz qavs ichidagilarni nolga tenglashtirishimiz kerak. Endi, agar siz ikkita natijaviy tenglamani birlashtirsangiz, siz hal qilishingiz kerak bo'lgan birinchi tartibli differentsial tenglamalar tizimini olasiz:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Birinchi tenglik oddiy tenglama kabi yechilgan. Buning uchun siz o'zgaruvchilarni ajratishingiz kerak:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Integralni oling va quyidagini oling: ln(n)=x2/2. Agar n ni ifodalasak:
n=ex2/2.
Endi hosil boʻlgan tenglikni tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz:
k'ex2/2=x2.
Va oʻzgartirsak, biz birinchi usuldagi kabi tenglikka erishamiz:
dk=x2/ex2/2.
Biz boshqa qadamlarga ham bormaymiz. Aytish joizki, birinchi tartibli differensial tenglamalarni yechish dastlab katta qiyinchiliklar tug'diradi. Biroq, mavzuga chuqurroq kirib borgan sari, u yanada yaxshilana boshlaydi.
Differensial tenglamalar qayerda ishlatiladi?
Differensial tenglamalar fizikada juda faol qoʻllaniladi, chunki deyarli barcha asosiy qonunlar differentsial shaklda yozilgan va biz koʻrib turgan formulalar bu tenglamalarning yechimi hisoblanadi. Kimyoda ular bir xil sababga ko'ra qo'llaniladi: asosiy qonunlar ulardan kelib chiqadi. Biologiyada differensial tenglamalar yirtqich-o'lja kabi tizimlarning xatti-harakatlarini modellashtirish uchun ishlatiladi. Ular, masalan, mikroorganizmlar koloniyasining ko'payish modellarini yaratish uchun ham ishlatilishi mumkin.
Differensial tenglamalar hayotda qanday yordam beradi?
Bu savolga javob oddiy: yo'q. Agar siz olim yoki muhandis bo'lmasangiz, unda ular siz uchun foydali bo'lishi dargumon. Biroq, umumiy rivojlanish uchun differensial tenglama nima ekanligini va u qanday echilishini bilish zarar qilmaydi. Va keyin o'g'il yoki qizning "differensial tenglama nima?" sizni chalg'itmaydi. Xo'sh, agar siz olim yoki muhandis bo'lsangiz, har qanday fanda ushbu mavzuning ahamiyatini o'zingiz tushunasiz. Lekin eng muhimi, endi “birinchi tartibli differensial tenglamani qanday yechish kerak?” degan savol tug‘iladi. har doim javob berishingiz mumkin. Qabul qiling, bu har doim yoqimliodamlar nimani tushunishdan qo'rqishlarini tushunganingizda.
Asosiy ta'lim muammolari
Ushbu mavzuni tushunishdagi asosiy muammo - bu funksiyalarni integratsiyalash va farqlash mahoratining pastligi. Agar siz hosila va integrallarni olishda yomon bo'lsangiz, ehtimol siz ko'proq ma'lumot olishingiz, integratsiya va differentsiatsiyaning turli usullarini o'rganishingiz kerak va shundan keyingina maqolada tasvirlangan materialni o'rganishni boshlashingiz kerak.
Ba'zi odamlar dx ni o'tkazish mumkinligini bilib hayron qolishadi, chunki ilgari (maktabda) dy/dx kasr bo'linmas ekani aytilgan edi. Bu yerda hosila haqidagi adabiyotlarni o‘qib chiqishingiz va bu tenglamalarni yechishda manipulyatsiya qilinishi mumkin bo‘lgan cheksiz kichik miqdorlar nisbati ekanligini tushunishingiz kerak.
Koʻpchilik birinchi tartibli differensial tenglamalar yechimi koʻpincha qabul qilib boʻlmaydigan funksiya yoki integral ekanligini darhol anglab yetmaydi va bu aldanish ularga koʻp muammo tugʻdiradi.
Yaxshiroq tushunish uchun yana nimani oʻrganish mumkin?
Ixtisoslashtirilgan darsliklar bilan differensial hisoblash dunyosiga yanada chuqurroq kirishni boshlash yaxshidir, masalan, matematika bo'lmagan mutaxassisliklar talabalari uchun hisob-kitoblar. Keyin koʻproq maxsus adabiyotlarga oʻtishingiz mumkin.
Aytish kerakki, differensial tenglamalardan tashqari integral tenglamalar ham mavjud, shuning uchun sizda doimo intilish va oʻrganish uchun nimadir boʻladi.
Xulosa
Umid qilamizki, o'qib chiqqandan keyinUshbu maqola sizga differensial tenglamalar nima ekanligi va ularni qanday qilib to‘g‘ri yechish haqida tushuncha berdi.
Har qanday holatda ham, matematika hayotda bizga qandaydir foydali bo'ladi. U mantiq va e'tiborni rivojlantiradi, ularsiz hamma odam qo'lsiz kabi bo'ladi.
