Hatto maktabda ham har birimiz tenglamalarni va, albatta, tenglamalar tizimini o'rganganmiz. Ammo ularni hal qilishning bir necha yo'li borligini ko'pchilik bilmaydi. Bugun biz ikkitadan ortiq tenglikdan iborat chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning barcha usullarini batafsil tahlil qilamiz.
Tarix
Hozirgi kunda ma'lumki, tenglamalar va ularning sistemalarini yechish san'ati qadimgi Bobil va Misrda paydo bo'lgan. Biroq, odatiy ko'rinishdagi tengliklar 1556 yilda ingliz matematigi Rekord tomonidan kiritilgan "=" teng belgisi paydo bo'lgandan keyin paydo bo'ldi. Aytgancha, bu belgi bir sababga ko'ra tanlangan: bu ikkita parallel teng segmentni bildiradi. Haqiqatan ham, tenglikning bundan yaxshi namunasi yo'q.
Noma'lumlar va daraja belgilarining zamonaviy harf belgilarining asoschisi fransuz matematigi Fransua Vyetdir. Biroq, uning nomlari bugungi kundan sezilarli darajada farq qilar edi. Masalan, u noma'lum sonning kvadratini Q (lot. "quadratus") harfi bilan, kubni esa C (lat. "cubus") harfi bilan belgilagan. Bu belgilashlar endi noqulay ko'rinadi, lekin keyinBu chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yozishning eng tushunarli usuli edi.
Ammo, oʻsha paytdagi yechish usullarining kamchiligi shundaki, matematiklar faqat ijobiy ildizlarni hisobga olishgan. Ehtimol, bu salbiy qadriyatlarning amaliy qo'llanilishi yo'qligi bilan bog'liq. Qanday bo'lmasin, 16-asrda manfiy ildizlarni birinchi bo'lib ko'rib chiqqan italiyalik matematiklar Nikolo Tartalya, Gerolamo Kardano va Rafael Bombelli edi. Va zamonaviy ko'rinish, kvadrat tenglamalarni (diskriminant orqali) yechishning asosiy usuli faqat 17-asrda Dekart va Nyutonning ishi tufayli yaratilgan.
18-asr oʻrtalarida shveytsariyalik matematik Gabriel Kramer chiziqli tenglamalar tizimini yechish oson boʻlishining yangi usulini topdi. Bu usul keyinchalik uning nomi bilan atalgan va biz hozirgacha undan foydalanamiz. Ammo biz Kramer usuli haqida biroz keyinroq gaplashamiz, lekin hozircha chiziqli tenglamalar va ularni tizimdan alohida yechish usullarini muhokama qilamiz.
Chiziqli tenglamalar
Chiziqli tenglamalar oʻzgaruvchi(lar) bilan eng oddiy tenglamalardir. Ular algebraik deb tasniflanadi. Chiziqli tenglamalar umumiy shaklda quyidagicha yoziladi: 2+…a x =b. Keyinchalik tizimlar va matritsalarni kompilyatsiya qilishda bizga ularning ushbu shaklda taqdim etilishi kerak bo'ladi.
Chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari
Bu atamaning ta'rifi quyidagicha: bu umumiy noma'lum va umumiy yechimga ega bo'lgan tenglamalar to'plami. Qoida tariqasida, maktabda hamma narsa tizimlar tomonidan hal qilindiikki yoki hatto uchta tenglama bilan. Ammo to'rt yoki undan ortiq komponentli tizimlar mavjud. Keling, ularni keyinroq hal qilish uchun qulay bo'lishi uchun ularni qanday yozishni aniqlaylik. Birinchidan, agar barcha o'zgaruvchilar tegishli indeks bilan x sifatida yozilsa, chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari yaxshiroq ko'rinadi: 1, 2, 3 va hokazo. Ikkinchidan, barcha tenglamalar kanonik shaklga keltirilishi kerak: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Ushbu qadamlarning barchasidan so'ng, chiziqli tenglamalar tizimlarining yechimini qanday topish haqida gapirishni boshlashimiz mumkin. Buning uchun matritsalar juda foydali bo'ladi.
Matritsalar
Matritsa - bu qator va ustunlardan tashkil topgan va uning elementlari ularning kesishgan joyida joylashgan jadval. Bu aniq qiymatlar yoki o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin. Ko'pincha elementlarni belgilash uchun ularning ostiga pastki yozuvlar qo'yiladi (masalan, a11 yoki a23). Birinchi indeks satr raqamini, ikkinchisi esa ustun raqamini bildiradi. Matritsalarda, shuningdek, har qanday boshqa matematik elementda siz turli xil operatsiyalarni bajarishingiz mumkin. Shunday qilib, siz:
1) Bir xil oʻlchamdagi jadvallarni ayirish va qoʻshish.
2) Matritsani qandaydir son yoki vektorga koʻpaytirish.
3) Transpozitsiya: Matritsa qatorlarini ustunlarga, ustunlarni qatorlarga aylantiring.
4) Agar matritsalardan birining qatorlari soni ikkinchisining ustunlari soniga teng boʻlsa, matritsalarni koʻpaytiring.
Bu usullarning barchasini batafsilroq muhokama qilamiz, chunki ular kelajakda biz uchun foydali boʻladi. Matritsalarni ayirish va qo'shish juda oson. Shunday qilibbiz bir xil o'lchamdagi matritsalarni oladigan bo'lsak, u holda bir jadvalning har bir elementi boshqasining har bir elementiga mos keladi. Shunday qilib, biz bu ikki elementni qo'shamiz (ayitamiz) (ularning matritsalarida bir xil joylarda bo'lishi muhim). Matritsani raqam yoki vektorga ko'paytirishda matritsaning har bir elementini shu raqamga (yoki vektorga) ko'paytirish kifoya. Transpozitsiya juda qiziqarli jarayon. Ba'zida buni haqiqiy hayotda ko'rish juda qiziq, masalan, planshet yoki telefonning yo'nalishini o'zgartirganda. Ish stolidagi piktogrammalar matritsa bo‘lib, siz joylashuvni o‘zgartirganingizda, u joylashadi va kengayadi, lekin balandligi pasayadi.
Matritsani ko'paytirish kabi jarayonni yana bir bor ko'rib chiqamiz. Garchi bu biz uchun foydali bo'lmasa ham, buni bilish foydali bo'ladi. Agar bitta jadvaldagi ustunlar soni boshqasidagi satrlar soniga teng bo'lsa, ikkita matritsani ko'paytirishingiz mumkin. Endi bir matritsa qatori elementlarini va boshqa matritsaning tegishli ustunining elementlarini olaylik. Biz ularni bir-biriga ko'paytiramiz va keyin qo'shamiz (masalan, a11 va a12 ga b 12va b22 quyidagilarga teng boʻladi: a11b12 + a 12 b22). Shunday qilib, jadvalning bitta elementi olinadi va u shunga o'xshash usul bilan to'ldiriladi.
Endi chiziqli tenglamalar tizimi qanday yechilishini koʻrib chiqishni boshlashimiz mumkin.
Gauss usuli
Bu mavzu maktabda ham oʻta boshlaydi. Biz “ikki chiziqli tenglamalar tizimi” tushunchasini yaxshi bilamiz va ularni yechish usullarini bilamiz. Ammo tenglamalar soni ikkitadan ko'p bo'lsa-chi? Gauss usuli bunda bizga yordam beradi.
Albatta, agar siz tizimdan matritsa yasasangiz, bu usuldan foydalanish qulay. Lekin siz uni o'zgartirib, sof shaklda hal qila olmaysiz.
Xo'sh, bu usul chiziqli Gauss tenglamalari tizimini qanday hal qiladi? Aytgancha, bu usul uning nomi bilan atalgan bo'lsa-da, u qadimgi davrlarda kashf etilgan. Gauss quyidagilarni taklif qiladi: oxir-oqibat butun to'plamni bosqichli shaklga qisqartirish uchun tenglamalar bilan amallarni bajarish. Ya'ni, yuqoridan pastgacha (to'g'ri joylashtirilgan bo'lsa) birinchi tenglamadan oxirgisigacha bitta noma'lum kamayishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz uchta tenglamani olishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak: birinchisida - uchta noma'lum, ikkinchisida - ikkita, uchinchisida - bitta. Keyin oxirgi tenglamadan biz birinchi noma'lumni topamiz, uning qiymatini ikkinchi yoki birinchi tenglamaga almashtiramiz va keyin qolgan ikkita o'zgaruvchini topamiz.
Kramer usuli
Ushbu usulni oʻzlashtirish uchun matritsalarni qoʻshish, ayirish koʻnikmalarini egallash juda muhim, shuningdek, determinantlarni topa bilish kerak. Shuning uchun, agar siz bularning barchasini yomon qilsangiz yoki qanday qilishni umuman bilmasangiz, o'rganishingiz va mashq qilishingiz kerak bo'ladi.
Ushbu usulning mohiyati nimada va uni chiziqli Kramer tenglamalari sistemasi olinadigan qilib yasash kerak? Hammasi juda oddiy. Biz chiziqli algebraik tenglamalar tizimining raqamli (deyarli har doim) koeffitsientlaridan matritsa qurishimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun noma'lumlar oldidagi raqamlarni oling va ularni tartibga solingjadval ular tizimda qayd etilgan tartibda. Agar raqam oldida "-" belgisi bo'lsa, biz salbiy koeffitsientni yozamiz. Shunday qilib, biz birinchi matritsani teng belgilardan keyingi raqamlarni hisobga olmaganda, noma'lumlar koeffitsientlaridan tuzdik (tabiiyki, tenglama faqat o'ng tomonda bo'lganda va barcha noma'lumlar bilan kanonik shaklga keltirilishi kerak. chapdagi koeffitsientlar). Keyin yana bir nechta matritsalar yaratishingiz kerak - har bir o'zgaruvchi uchun bittadan. Buning uchun biz navbatma-navbat har bir ustunni birinchi matritsadagi koeffitsientlar bilan tenglik belgisidan keyin raqamlar ustuniga almashtiramiz. Shunday qilib, biz bir nechta matritsalarni olamiz va keyin ularning determinantlarini topamiz.
Biz aniqlovchilarni topganimizdan so'ng, masala kichik. Bizda boshlang'ich matritsa bor va turli o'zgaruvchilarga mos keladigan bir nechta natija matritsalari mavjud. Sistemaning yechimlarini olish uchun natijaviy jadvalning determinantini dastlabki jadvalning determinantiga ajratamiz. Olingan raqam o'zgaruvchilardan birining qiymatidir. Xuddi shunday, biz barcha nomaʼlumlarni topamiz.
Boshqa usullar
Chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimini olishning yana bir qancha usullari mavjud. Masalan, Gauss-Jordan usuli deb ataladigan, kvadrat tenglamalar tizimining yechimlarini topishda qo'llaniladi va matritsalardan foydalanish bilan ham bog'liq. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun Yakobi usuli ham mavjud. Bu kompyuterga moslashishning eng oson usuli va hisoblashda ishlatiladi.
Qiyin holatlar
Murakkablik odatda tenglamalar soni oʻzgaruvchilar sonidan kam boʻlganda yuzaga keladi. Shunda biz aniq aytishimiz mumkinki, yo tizim nomuvofiq (ya'ni uning ildizlari yo'q) yoki uning yechimlari soni cheksizlikka intiladi. Agar bizda ikkinchi holat bo'lsa, unda chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimini yozishimiz kerak. Unda kamida bitta oʻzgaruvchi boʻladi.
Xulosa
Mana, biz oxiriga yetdik. Xulosa qilib aytadigan bo'lsak: biz tizim va matritsa nima ekanligini tahlil qildik, chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimini topishni o'rgandik. Bundan tashqari, boshqa variantlar ham ko'rib chiqildi. Biz chiziqli tenglamalar tizimi qanday yechilishini bilib oldik: Gauss usuli va Kramer usuli. Biz qiyin vaziyatlar va yechim topishning boshqa usullari haqida gaplashdik.
Aslida bu mavzu ancha kengroq va agar uni yaxshiroq tushunishni istasangiz, koʻproq maxsus adabiyotlarni oʻqishni maslahat beramiz.
