Universitet matematikasining eng qiyin va tushunarsiz mavzularidan biri bu integratsiya va differentsial hisoblashdir. Siz ushbu tushunchalarni bilishingiz va tushunishingiz, shuningdek ularni qo'llay olishingiz kerak. Universitetning koʻpgina texnik fanlari differensial va integrallarga bogʻlangan.
Tenglamalar haqida qisqacha ma'lumot
Bu tenglamalar ta'lim tizimidagi eng muhim matematik tushunchalardan biridir. Differensial tenglama - mustaqil o'zgaruvchilar, topiladigan funksiya va shu funktsiyaning hosilalarini mustaqil deb qabul qilingan o'zgaruvchilar bilan bog'laydigan tenglama. Bitta o'zgaruvchining funksiyasini topish uchun differentsial hisob oddiy deyiladi. Agar kerakli funktsiya bir nechta o'zgaruvchilarga bog'liq bo'lsa, u holda qisman differentsial tenglama haqida gapiriladi.
Aslida tenglamaning ma'lum javobini topish integratsiyadan kelib chiqadi va yechish usuli tenglama turiga qarab aniqlanadi.
Birinchi tartibli tenglamalar
Birinchi tartibli differensial tenglama oʻzgaruvchini, kerakli funksiyani va uning birinchi hosilasini tavsiflay oladigan tenglamadir. Bunday tenglamalar uchta shaklda berilishi mumkin: aniq, yashirin, differentsial.
Yechish uchun zarur tushunchalar
Dastlabki shart - mustaqil boʻlgan oʻzgaruvchining berilgan qiymati uchun kerakli funksiya qiymatini oʻrnatish.
Differensial tenglamani yechish - asl tenglamaga aynan almashtirilgan har qanday differentsiallanuvchi funksiya uni bir xil tengga aylantiradi. Olingan, aniq bo'lmagan yechim tenglamaning integralidir.
Differensial tenglamalarning umumiy yechimi y=y(x;C) funktsiya bo'lib, u quyidagi hukmlarni qondira oladi:
- Funksiya faqat bitta ixtiyoriy S doimiysiga ega boʻlishi mumkin.
- Olingan funksiya ixtiyoriy doimiyning har qanday ixtiyoriy qiymatlari uchun tenglamaning yechimi boʻlishi kerak.
- Ma'lum bir boshlang'ich shart bilan ixtiyoriy doimiyni o'ziga xos tarzda aniqlash mumkin, natijada olingan maxsus yechim berilgan dastlabki dastlabki shartga mos keladi.
Amalda koʻpincha Koshi muammosi qoʻllaniladi - oʻziga xos va boshida belgilangan shart bilan solishtirish mumkin boʻlgan yechim topish.
Koshi teoremasi differensial hisoblashda muayyan yechimning mavjudligi va yagonaligini ta'kidlaydigan teoremadir.
Geometrik ma'no:
- Umumiy yechim y=y(x;C)tenglama - integral egri chiziqlarning umumiy soni.
- Differentsial hisob XOY tekisligidagi nuqta koordinatalarini va integral egri chiziqqa chizilgan tangensni ulash imkonini beradi.
- Dastlabki holatni oʻrnatish samolyotda nuqta oʻrnatishni anglatadi.
- Koshi masalasini yechish uchun tenglamaning bir xil yechimini ifodalovchi butun integral egri chiziqlardan yagona mumkin boʻlgan nuqtadan oʻtuvchini tanlash zarurligini bildiradi.
- Bir nuqtada Koshi teoremasi shartlarining bajarilishi integral egri chiziq (bundan tashqari, faqat bitta) tekislikdagi tanlangan nuqtadan majburiy ravishda oʻtishini bildiradi.
Ajraladigan oʻzgaruvchan tenglama
Ta'rifiga ko'ra, differentsial tenglama bu tenglama bo'lib, uning o'ng tomoni ikkita funktsiyaning mahsuloti (ba'zan nisbat) sifatida tasvirlangan yoki aks ettirilgan, biri faqat "x" ga, ikkinchisi esa faqat "y" ga bog'liq. ". Bunga aniq misol: y'=f1(x)f2(y).
Muayyan ko'rinishdagi tenglamalarni yechish uchun, avvalo, y'=dy/dx hosilasini o'zgartirish kerak. Keyin, tenglamani manipulyatsiya qilish orqali siz uni tenglamaning ikki qismini birlashtira oladigan shaklga keltirishingiz kerak. Kerakli o'zgarishlardan so'ng biz ikkala qismni birlashtiramiz va natijani soddalashtiramiz.
Bir jinsli tenglamalar
Ta'rifga ko'ra, differentsial tenglama quyidagi ko'rinishga ega bo'lsa, uni bir jinsli deb atash mumkin: y'=g(y/x).
Bu holda y/x=oʻrnini almashtirish koʻpincha ishlatiladit(x).
Bunday tenglamalarni yechish uchun bir jinsli tenglamani ajratiladigan oʻzgaruvchilari boʻlgan koʻrinishga keltirish kerak. Buning uchun quyidagi amallarni bajarishingiz kerak:
- Istalgan asl funktsiyadan yangi tenglama sifatida asl funktsiyaning hosilasini ifodalovchi ko'rsatish.
- Keyingi qadam hosil boʻlgan funksiyani f(x;y)=g(y/x) koʻrinishga aylantirishdir. Oddiyroq qilib aytganda, tenglama faqat y/x nisbati va doimiylardan iborat bo'lsin.
- Quyidagi almashtirishni kiriting: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Amalga oshirilgan almashtirish tenglamadagi o'zgaruvchilarni bo'lishga yordam beradi va uni asta-sekin oddiyroq shaklga keltiradi.
Chiziqli tenglamalar
Bunday tenglamalarning ta'rifi quyidagicha: chiziqli differentsial tenglama - bu tenglama bo'lib, uning o'ng tomoni asl funktsiyaga nisbatan chiziqli ifoda sifatida ifodalanadi. Bu holda kerakli funksiya: y'=a(x)y + b(x).
Ta’rifni quyidagi tarzda o’zgartiramiz: 1-tartibdagi har qanday tenglama, agar asl funktsiya va uning hosilasi birinchi darajali tenglamaga kiritilsa va bir-biriga ko’paytirilmasa, o’z ko’rinishida chiziqli bo’ladi. Chiziqli differentsial tenglamaning "klassik shakli" quyidagi tuzilishga ega: y' + P(x)y=Q(x).
Bunday tenglamani yechishdan oldin uni "klassik shakl" ga aylantirish kerak. Keyingi qadam yechim usulini tanlash bo'ladi: Bernulli usuli yoki Lagrange usuli.
Tenglamani yechishBernulli tomonidan kiritilgan usuldan foydalanib, chiziqli differensial tenglamani asl ko'rinishida berilgan U(x) va V(x) funktsiyalariga nisbatan alohida o'zgaruvchilarga ega bo'lgan ikkita tenglamaga almashtirish va kamaytirishni nazarda tutadi.
Lagrange usuli dastlabki tenglamaning umumiy yechimini topishdir.
- Bir jinsli tenglamaning bir xil yechimini topish kerak. Qidiruvdan so'ng biz y=y(x, C) funksiyasiga ega bo'lamiz, bu erda C ixtiyoriy doimiydir.
- Biz bir xil shakldagi dastlabki tenglamaning yechimini izlayapmiz, lekin biz C=C(x) ni hisoblaymiz. Dastlabki tenglamaga y=y(x, C(x)) funksiyani almashtiramiz, C(x) funksiyani topamiz va umumiy asl tenglamaning yechimini yozamiz.
Bernulli tenglamasi
Bernulli tenglamasi - agar hisobning o'ng tomoni f(x;y)=a(x)y + b(x)yk ko'rinishini olsa, bu erda k har qanday mumkin bo'lgan ratsional son qiymatdir, misol holatlari k=0 va k=1.
Agar k=1 bo'lsa, hisob ajraladigan bo'ladi va k=0 bo'lganda, tenglama chiziqli bo'lib qoladi.
Bu turdagi tenglamalarni yechishning umumiy holatini ko'rib chiqamiz. Bizda standart Bernoulli tenglamasi mavjud. Uni chiziqli holatga keltirish kerak, buning uchun tenglamani yk ga bo'lish kerak. Ushbu amaldan keyin z(x)=y1-k o'rniga qo'ying. Bir qator o'zgarishlardan so'ng, tenglama chiziqli tenglamaga qisqartiriladi, ko'pincha almashtirish usuli z=UV.
Jami differentsiallardagi tenglamalar
Tanrif. P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 strukturali tenglama toʻliq tenglama deyiladi.differensiallar, agar quyidagi shart bajarilsa (bu shartda "d" qisman differentsial hisoblanadi): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Avval koʻrib chiqilgan barcha birinchi tartibli differentsial tenglamalar differentsial sifatida koʻrsatilishi mumkin.
Bunday hisoblar bir necha usul bilan hal qilinadi. Biroq, ularning barchasi shartni tekshirish bilan boshlanadi. Agar shart bajarilsa, tenglamaning eng chap viloyati hali noma'lum U(x;y) funksiyaning to'liq differentsialidir. Keyin, tenglamaga muvofiq, dU (x; y) nolga teng bo'ladi va shuning uchun umumiy differentsiallardagi tenglamaning bir xil integrali U (x; y) u003d C ko'rinishida ko'rsatiladi. Shuning uchun, tenglamaning yechimi U (x; y) funksiyasini topishga keltiriladi.
Integratsiya omili
Agar tenglamada dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx sharti bajarilmasa, tenglama yuqorida biz ko’rib chiqqan ko’rinishga ega emas. Lekin ba'zida M(x;y) funktsiyani tanlash mumkin bo'ladi, uni ko'paytirganda tenglama to'liq "diffurs" da tenglama shaklini oladi. M (x;y) funksiyasi integrallashtiruvchi omil deb ataladi.
Integrator faqat bitta oʻzgaruvchining funksiyasiga aylangandagina topiladi.
