Kimyo, fizika va hatto biologiya kabi fanlarda qoʻllanilishi mumkin boʻlgan eng muhim fanlardan biri bu matematikadir. Ushbu fanni o'rganish ba'zi aqliy fazilatlarni rivojlantirish, mavhum fikrlash va diqqatni jamlash qobiliyatini yaxshilash imkonini beradi. “Matematika” kursida alohida e’tiborga loyiq mavzulardan biri kasrlarni qo’shish va ayirishdir. Ko'pgina talabalar o'qishni qiyinlashtiradi. Ehtimol, bizning maqolamiz ushbu mavzuni yaxshiroq tushunishga yordam beradi.
Maxraji bir xil boʻlgan kasrlarni qanday ayirish mumkin
Kasrlar turli amallarni bajarishingiz mumkin boʻlgan bir xil raqamlardir. Ularning butun sonlardan farqi maxrajning mavjudligidadir. Shuning uchun kasrlar bilan amallarni bajarishda siz ularning ba'zi xususiyatlari va qoidalarini o'rganishingiz kerak. Eng oddiy holat - maxrajlari bir xil son sifatida ifodalangan oddiy kasrlarni ayirish. Agar oddiy qoidani bilsangiz, bu amalni bajarish qiyin bo'lmaydi:
Bir kasrdan ikkinchisini ayirish uchun kamaytirilgan kasrning payinidan ayirilgan kasrni ayirish kerak. Busonni ayirma soniga yozamiz va maxrajni bir xil qoldiramiz: k/m – b/m=(k-b)/m
Maxraji bir xil boʻlgan kasrlarni ayirish misollari
Keling, bu qanday koʻrinishini misolda koʻrib chiqamiz:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19.
Kemirilgan kasrning “7” sonidan ayirilgan “3” kasrning hisoblagichini ayirib, “4”ni olamiz. Biz bu raqamni javobning numeratoriga yozamiz va maxrajga birinchi va ikkinchi kasrlarning maxrajlarida bo'lgan raqamni qo'yamiz - “19”.
Quyidagi rasmda yana bir nechta shunga oʻxshash misollar koʻrsatilgan.
Maxrajlari bir xil boʻlgan kasrlar ayirilishiga murakkabroq misolni koʻrib chiqaylik:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47.
Kemirilgan kasrning “29” sonidan keyingi barcha kasrlarning soni – “3”, “8”, “2”, “7” navbat bilan ayiriladi. Natijada, biz javobning numeratoriga yozgan "9" natijasini olamiz va maxrajga biz ushbu barcha kasrlarning maxrajlarida bo'lgan sonni yozamiz - "47".
Bir xil maxrajli kasrlarni qoʻshish
Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish xuddi shu printsip bo'yicha amalga oshiriladi.
Maxraji bir xil boʻlgan kasrlarni qoʻshish uchun sonlarni qoʻshish kerak. Olingan son yig‘indining sanoqchisi bo‘lib, maxraj bir xil bo‘lib qoladi: k/m + b/m=(k + b)/m
Keling, bu qanday koʻrinishini misolda koʻrib chiqamiz:
1/4 + 2/4=3/4.
Kkasrning birinchi hadining ayiruvchisi - "1" - kasrning ikkinchi hadining hisoblagichi - "2" qo'shilsin. Natija - "3" - summaning numeratorida yoziladi va maxraj kasrlarda mavjud bo'lgan bilan bir xil - "4".
Har xil maxrajli kasrlar va ularni ayirish
Maxraji bir xil boʻlgan kasrlar bilan harakatni biz allaqachon koʻrib chiqdik. Ko'rib turganingizdek, oddiy qoidalarni bilish, bunday misollarni hal qilish juda oson. Ammo har xil maxrajlarga ega bo'lgan kasrlar bilan amalni bajarish kerak bo'lsa-chi? Ko'pgina o'rta maktab o'quvchilari bunday misollar bilan chalkashib ketishadi. Ammo bu erda ham, agar siz yechim tamoyilini bilsangiz, misollar endi siz uchun qiyin bo'lmaydi. Bu yerda ham shunday qoida borki, ularsiz bunday kasrlarni yechishning iloji yo'q.
-
Har xil maxrajli kasrlarni ayirish uchun ularni bir xil eng kichik maxrajga keltirish kerak.
har xil maxrajli kasrlarni ayirish
Buni qanday qilish haqida batafsilroq gaplashamiz.
Kasrning xossasi
Bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga keltirish uchun yechimda kasrning asosiy xususiyatidan foydalanish kerak: sanoq va maxrajni bir xil songa bo’lish yoki ko’paytirishdan so’ng, siz kasrga teng kasr olasiz. berilgan.
Demak, masalan, 2/3 kasr "6", "9", "12" va hokazo kabi maxrajlarga ega bo'lishi mumkin, ya'ni u " ga karrali har qanday songa o'xshab ko'rinishi mumkin. 3". Numerator va maxrajni ko'paytirgandan so'ng"2", siz 4/6 kasrni olasiz. Asl kasrning sonini va maxrajini "3" ga ko'paytirgandan so'ng, biz 6/9 ni olamiz va "4" raqami bilan shunga o'xshash harakatni bajarsak, biz 8/12 ni olamiz. Bitta tenglamada buni quyidagicha yozish mumkin:
2/3=4/6=6/9=8/12…
Bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday keltirish mumkin
Keling, bir nechta kasrlarni bir xil maxrajga qanday kamaytirishni ko'rib chiqamiz. Misol uchun, quyidagi rasmda ko'rsatilgan kasrlarni oling. Avval qaysi raqam ularning barchasi uchun maxraj bo'lishi mumkinligini aniqlashingiz kerak. Buni osonlashtirish uchun mavjud maxrajlarni faktorlarga ajratamiz.
1/2 kasr va 2/3 kasrning maxrajini faktorlarga ajratib bo’lmaydi. 7/9 ning maxraji ikkita omilga ega 7/9=7/(3 x 3), kasrning maxraji 5/6=5/(2 x 3). Endi siz ushbu to'rtta kasr uchun qaysi omillar eng kichik bo'lishini aniqlashingiz kerak. Birinchi kasr maxrajda “2” raqamiga ega bo‘lganligi sababli, u barcha maxrajlarda bo‘lishi shart, 7/9 kasrda ikkita uchlik bor, ya’ni ular maxrajda ham bo‘lishi kerak. Yuqoridagilarni hisobga olsak, maxraj uchta omildan iborat ekanligini aniqlaymiz: 3, 2, 3 va 3 x 2 x 3=18 ga teng.
Birinchi kasrni ko'rib chiqing - 1/2. Uning maxraji "2" ni o'z ichiga oladi, lekin bitta "3" yo'q, lekin ikkita bo'lishi kerak. Buning uchun biz maxrajni ikki uch marta ko'paytiramiz, lekin kasrning xususiyatiga ko'ra, hisobni ikki uchga ko'paytirishimiz kerak:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2) x 3 x 3)=9 /18.
Xuddi shunday, qolganlari bilan amallarni bajaramizkasrlar.
-
2/3 – maxrajda bitta uch va bitta ikkita etishmayapti:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 yoki 7/(3 x 3) - maxrajda maxraj yoʻq:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18.
-
5/6 yoki 5/(2 x 3) - maxrajda uchlik yoʻq:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
Hammasi birgalikda shunday ko'rinadi:
Har xil maxrajli kasrlarni qanday ayirish va qoʻshish kerak
Yuqorida aytib oʻtganimizdek, maxrajlari har xil boʻlgan kasrlarni qoʻshish yoki ayirish uchun ularni bir xil maxrajga keltirish kerak, soʻngra bir xil maxrajga ega boʻlgan kasrlarni ayirish qoidalari allaqachon tasvirlangan boʻlishi kerak.
Buni misol qilib olaylik: 18/4 – 3/15.
18 va 15 ning karralarini toping:
- 18 raqami 3 x 2 x 3.
- 15 raqami 5 x 3 dan iborat.
- Umumiy koʻpaytma quyidagi omillardan iborat boʻladi 5 x 3 x 3 x 2=90.
Maxraj topilgandan so'ng har bir kasr uchun har xil bo'ladigan ko'paytmani, ya'ni faqat maxrajni emas, balki sonni ham ko'paytirish kerak bo'ladigan sonni hisoblash kerak. Buning uchun biz topgan sonni (umumiy karrali) qoʻshimcha omillar aniqlanishi kerak boʻlgan kasrning maxrajiga ajratamiz.
- 90 15 ga boʻlingan. Olingan “6” soni 3/15 uchun koʻpaytiruvchi boʻladi.
- 90 18 ga boʻlingan. Natijada “5” soni 4/18 uchun koʻpaytiruvchi boʻladi.
Bizning qarorimizdagi keyingi qadamhar bir kasrni "90" maxrajiga keltirish.
Bu qanday amalga oshirilgan, biz allaqachon aytgan edik. Bu misolda qanday yozilganini ko'rib chiqing:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45.
Agar kichik sonli kasrlar boʻlsa, quyidagi rasmda koʻrsatilganidek, umumiy maxrajni aniqlashingiz mumkin.
Shunga oʻxshab, har xil maxrajli kasrlarni qoʻshish amalga oshiriladi.
Butun qismlarga ega kasrlarni ayirish va qoʻshish
Kasrlarni ayirish va ularni qo'shish, biz allaqachon batafsil tahlil qildik. Ammo kasrda butun son bo'lsa, qanday ayirish mumkin? Yana bir nechta qoidalardan foydalanamiz:
- Butun qismli barcha kasrlarni noto'g'ri kasrlarga tarjima qiling. Oddiy so'zlar bilan aytganda, butun qismini olib tashlang. Buning uchun butun qismning soni kasrning maxrajiga ko'paytiriladi, hosil bo'lgan mahsulot hisoblagichga qo'shiladi. Ushbu harakatlardan keyin olinadigan raqam noto'g'ri kasrning numeratoridir. Maxraj bir xil bo'lib qoladi.
- Agar kasrlarning maxrajlari turlicha boʻlsa, ularni bir xilga qisqartirish kerak.
- Bir xil maxrajlar bilan qoʻshish yoki ayirish.
- Noto'g'ri kasrni olayotganda butun son qismini tanlang.
Butun qismlarga ega kasrlarni qoʻshish va ayirishning yana bir usuli mavjud. Buning uchun amallar butun qismlar bilan alohida, kasrlar bilan alohida bajariladi va natijalar birgalikda qayd etiladi.
Yuqoridagi misol bir xil maxrajga ega boʻlgan kasrlardan iborat. Agar maxrajlar boshqacha bo'lsa, ularni bir xilga qisqartirish kerak va keyin misolda ko'rsatilgan amallarni bajaring.
Butun sonlardan kasrlarni ayirish
Kasrlar bilan bajariladigan amallarning yana bir turi natural sondan kasrni ayirish zaruratidir. Bir qarashda, bunday misolni hal qilish qiyin ko'rinadi. Biroq, bu erda hamma narsa juda oddiy. Uni yechish uchun butun sonni kasrga va ayiriladigan kasrda bo'lgan shunday maxrajga aylantirish kerak. Keyinchalik, bir xil maxrajlar bilan ayirishga o'xshash ayirishni bajaramiz. Misolda, u shunday ko'rinadi:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9.
Ushbu maqolada keltirilgan kasrlarni ayirish (6-sinf) keyingi sinflarda koʻrib chiqiladigan murakkabroq misollarni echish uchun asos boʻladi. Bu mavzu bo‘yicha bilimlar keyinchalik funksiyalar, hosilalar va hokazolarni yechishda qo‘llaniladi. Shuning uchun yuqorida muhokama qilingan kasrlar bilan amallarni tushunish va tushunish juda muhim.
