O'rta va yuqori sinf o'quvchilari "Kasrlar" mavzusini o'rgandilar. Biroq, bu tushuncha o'quv jarayonida berilganidan ancha kengroqdir. Bugungi kunda kasr tushunchasi juda tez-tez uchraydi va hamma ham biron bir ifodani hisoblay olmaydi, masalan, kasrlarni ko'paytirish.
Kasr nima?
Tarixda shunday boʻlganki, kasr sonlar oʻlchash zarurati tufayli paydo boʻlgan. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, ko'pincha segment uzunligini, to'rtburchaklar parallelepipedning hajmini, to'rtburchakning maydonini aniqlash uchun misollar mavjud.
Dastlab, talabalar ulush tushunchasi bilan tanishadilar. Misol uchun, agar siz tarvuzni 8 qismga ajratsangiz, unda har biri tarvuzning sakkizdan bir qismini oladi. Sakkizlikning bir qismi ulush deb ataladi.
Har qanday qiymatning ½ qismiga teng ulush yarim deb ataladi; ⅓ - uchinchi; ¼ - chorak. 5/8, 4/5, kabi yozuvlar 2/4 oddiy kasrlar deyiladi. Oddiy kasr ga bo'linadisanoqchi va maxraj. Ularning o'rtasida kasr chizig'i yoki kasr chizig'i mavjud. Kasr satrini gorizontal yoki qiya chiziq shaklida chizish mumkin. Bu holda u boʻlinish belgisini bildiradi.
Maxraj qiymati, ob'ekt qancha teng ulushlarga bo'linganligini ko'rsatadi; hisoblagich esa qancha teng ulushlar olinganligini bildiradi. Numerator kasr satrining tepasida, maxraj esa uning ostida yoziladi.
Koordinata nurida oddiy kasrlarni ko'rsatish eng qulaydir. Agar bitta segment 4 ta teng qismga bo'lingan bo'lsa, har bir qism lotin harfi bilan belgilanadi, natijada siz ajoyib vizual yordam olishingiz mumkin. Shunday qilib, A nuqta butun birlik segmentining 1/4 ga teng ulushini ko’rsatadi va B nuqtasi 2/8 ushbu segmentdan.
Kasr turlari
Kasrlar oddiy, oʻnli va aralash sonlardir. Bundan tashqari, kasrlarni to'g'ri va noto'g'ri bo'lish mumkin. Bu tasnif oddiy kasrlar uchun mosroq.
Toʻgʻri kasr deb hisoblagichi maxrajdan kichik boʻlgan songa aytiladi. Shunga ko'ra, noto'g'ri kasr - bu raqamning soni maxrajdan katta bo'lgan sondir. Ikkinchi tur odatda aralash son sifatida yoziladi. Bunday ifoda butun va kasr qismdan iborat. Masalan, 1½. 1 - butun qism, ½ - kasr. Biroq, agar siz ifoda bilan ba'zi manipulyatsiyalarni bajarishingiz kerak bo'lsa (kasrlarni bo'lish yoki ko'paytirish, ularni kamaytirish yoki aylantirish), aralash raqam tarjima qilinadinoto'g'ri kasr.
To'g'ri kasr ifodasi har doim birdan kichik, noto'g'ri esa har doim 1 dan katta yoki teng.
O'nli kasrlarga kelsak, bu ifoda har qanday raqam ifodalangan yozuv sifatida tushuniladi, kasr ifodasining maxraji bir nechta nol bilan ifodalanishi mumkin. Agar kasr to'g'ri bo'lsa, o'nli kasr yozuvidagi butun qism nolga teng bo'ladi.
Oʻnli kasrni yozish uchun avval butun sonni yozish, uni kasrdan vergul bilan ajratish, keyin esa kasr ifodasini yozish kerak. Shuni esda tutish kerakki, verguldan keyin raqam maxrajda qancha nol bo'lsa, shuncha sonli belgilarni o'z ichiga olishi kerak.
Misol. 721/1000 kasrni kasrli kasrda ifodalang.
Noto'g'ri kasrni aralash songa va aksincha o'tkazish algoritmi
Masala javobida notoʻgʻri kasrni yozish notoʻgʻri, shuning uchun uni aralash raqamga aylantirish kerak:
- hisobni mavjud boʻlgan maxrajga boʻling;
- aniq misolda toʻliq boʻlmagan qism butun son;
- va qolgan qismi kasr qismining payidir, maxraj esa oʻzgarishsiz qoladi.
Misol. Noto'g'ri kasrni aralash songa aylantiring: 47/5.
Qaror. 47: 5. Qisman qism 9, qoldiq=2. Demak 47/5 =92/5.
Ba'zan aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ko'rsatishingiz kerak. Keyin foydalanishingiz kerakquyidagi algoritm:
- butun qism kasr ifodasining maxrajiga koʻpaytiriladi;
- natijadagi mahsulot hisoblagichga qo'shiladi;
- natija sanoqda yoziladi, maxraj o'zgarishsiz qoladi.
Misol. Aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ifodalang: 98/10.
Qaror. 9 x 10 + 8=90 + 8=98 - bu raqam.
Javob: 98/10.
Oddiy kasrlarni ko'paytirish
Oddiy kasrlar ustida turli algebraik amallarni bajarish mumkin. Ikki raqamni ko'paytirish uchun siz hisoblagichni hisoblagichga, maxrajni esa maxrajga ko'paytirishingiz kerak. Bundan tashqari, har xil maxrajli kasrlarni ko'paytirish bir xil maxrajli kasr sonlarning ko'paytmasidan farq qilmaydi.
Natijani topgandan so'ng, kasrni kamaytirish kerak bo'ladi. Olingan ifodani iloji boricha soddalashtirish zarur. Albatta, javobdagi noto‘g‘ri kasrni xato deb bo‘lmaydi, lekin uni to‘g‘ri javob deyish ham qiyin.
Misol. Ikki oddiy kasrning koʻpaytmasini toping: ½ va 20/18.
Misoldan koʻrinib turibdiki, mahsulot topilgach, biz qisqartirilgan kasr belgisini olamiz. Bu holatda ayiruvchi ham, maxraj ham 4 ga boʻlinadi va natijada 5/9 javobi olinadi.
O'nli kasrlarni ko'paytirish
San'at asario'nli kasrlar o'z printsipiga ko'ra oddiy kasrlar ko'paytmasidan ancha farq qiladi. Shunday qilib, kasrlarni ko'paytirish quyidagicha bo'ladi:
- ikkita kasr bir-birining ostiga yozilishi kerak, shunda eng oʻngdagi raqamlar bir-birining ostida boʻlsin;
- siz yozma raqamlarni vergullarga qaramay, ya'ni natural sonlar sifatida ko'paytirishingiz kerak;
- har bir raqamdagi verguldan keyingi raqamlar sonini hisoblang;
- ko'paytirishdan keyin olingan natijada siz o'nli kasrdan keyin ikkala omilda yig'indida mavjud bo'lgan sonli belgilarni o'ng tomonda hisoblashingiz va ajratish belgisini qo'yishingiz kerak;
- agar mahsulotda raqamlar kamroq boʻlsa, bu raqamni qoplash uchun ularning oldiga shuncha nol yozish, vergul qoʻyish va nolga teng butun sonni belgilash kerak.
Misol. Ikki oʻnli kasr koʻpaytmasini hisoblang: 2, 25 va 3, 6.
Qaror.
Aralashgan kasrlarni koʻpaytirish
Ikki aralash kasrning koʻpaytmasini hisoblash uchun kasrlarni koʻpaytirish qoidasidan foydalanish kerak:
- aralash sonlarni noto'g'ri kasrlarga aylantirish;
- hisoblar koʻpaytmasini toping;
- maxrajlarning ko’paytmasini toping;
- natijani yozing;
- ifodani iloji boricha soddalashtiring.
Misol. 4½ va 62/5 mahsulotini toping.
Raqamni kasrga ko'paytirish(har bir raqam uchun kasrlar)
Ikki kasr, aralash sonlarning koʻpaytmasini topishdan tashqari, natural sonni kasrga koʻpaytirish kerak boʻlgan vazifalar ham bor.
Demak, oʻnli kasr va natural sonning koʻpaytmasini topish uchun sizga kerak boʻladi:
- eng oʻngdagi raqamlar bir-birining ustiga turishi uchun kasr ostiga raqamni yozing;
- vergulga qaramay mahsulotni toping;
- natijada, kasrdagi kasrdan keyingi belgilar sonini oʻngga sanab, vergul yordamida butun sonni kasr qismidan ajrating.
Oddiy kasrni songa koʻpaytirish uchun hisoblagich va natural koʻpaytmani topish kerak. Agar javob qisqartirilgan kasr bo'lsa, uni o'zgartirish kerak.
Misol. 5/8 va 12. koʻpaytmasini hisoblang.
Qaror. 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
Javob: 71/2.
Avvalgi misoldan koʻrinib turibdiki, natijada olingan natijani kamaytirish va notoʻgʻri kasr ifodasini aralash raqamga aylantirish zarur edi.
Shuningdek, kasrlarni ko'paytirish aralash shakldagi sonning ko'paytmasini va natural ko'paytmani topishga ham tegishli. Ushbu ikki raqamni ko'paytirish uchun siz aralash omilning butun qismini raqamga ko'paytirishingiz kerak, hisoblagichni bir xil qiymatga ko'paytiring va denominatorni o'zgarishsiz qoldiring. Agar kerak bo'lsa, natijani iloji boricha soddalashtiring.
Misol. Topmoq95/6 va 9. mahsuloti
Qaror. 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
Javob: 881/2.
10, 100, 1000 yoki 0, 1 koeffitsientlariga ko'paytirish; 0,01; 0, 001
Quyidagi qoida oldingi paragrafdan kelib chiqadi. O'nli kasrni 10, 100, 1000, 10000 va hokazolarga ko'paytirish uchun vergulni birdan keyin multiplikatorda qancha nol bo'lsa, shuncha raqam belgisiga o'ngga siljitish kerak.
1-misol. 0, 065 va 1000 ko‘paytmasini toping.
Qaror. 0,065 x 1000=0065=65.
Javob: 65.
2-misol. 3, 9 va 1000 ko‘paytmasini toping.
Qaror. 3,9 x 1000=3,900 x 1000=3900.
Javob: 3900.
Agar natural sonni va 0, 1 ni ko’paytirish kerak bo’lsa; 0,01; 0,001; 0, 0001 va hokazo bo'lsa, natijada hosil bo'lgan vergulni chapga, birdan oldin qancha nol bo'lsa, shuncha raqamga o'tkazishingiz kerak. Agar kerak bo'lsa, natural sondan oldin yetarli miqdorda nol yoziladi.
1-misol. 56 va 0, 01 ko‘paytmasini toping.
Qaror. 56 x 0,01=0056=0,56.
Javob: 0, 56.
2-misol. 4 va 0 ko‘paytmasini toping, 001.
Qaror. 4 x 0,001=0004=0,004.
Javob: 0, 004.
Shunday qilib, turli kasrlar mahsulotini topish qiyin bo'lmasligi kerak, ehtimol natijani hisoblashdan tashqari; bu holda siz kalkulyatorsiz ishlay olmaysiz.
