2-tartibli yuzalar: misollar

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Talaba birinchi yilda 2-tartibdagi sirtlarga tez-tez duch keladi. Avvaliga ushbu mavzu bo'yicha topshiriqlar oddiy bo'lib tuyulishi mumkin, ammo siz oliy matematikani o'rganib, ilmiy tomonga chuqurroq kirib borsangiz, nihoyat sodir bo'layotgan voqealarga yo'n altirishni to'xtatishingiz mumkin. Buning oldini olish uchun nafaqat eslab qolish, balki u yoki bu sirt qanday olinganligini, koeffitsientlarning o'zgarishi unga qanday ta'sir qilishini va uning dastlabki koordinata tizimiga nisbatan joylashishini va yangi tizimni qanday topishni tushunish kerak. (uning markazi boshlang'ich koordinatalariga to'g'ri keladi va simmetriya o'qi koordinata o'qlaridan biriga parallel). Boshidan boshlaylik.

Tanrif

GMT 2-tartibli sirt deb ataladi, uning koordinatalari quyidagi shakldagi umumiy tenglamani qanoatlantiradi:

F(x, y, z)=0.

Yuzatga tegishli har bir nuqta ma'lum asosda uchta koordinataga ega bo'lishi aniq. Garchi ba'zi hollarda nuqtalarning joylashishi, masalan, tekislikka tushishi mumkin. Bu faqat koordinatalardan biri doimiy va qabul qilinadigan qiymatlar oralig‘ida nolga teng ekanligini bildiradi.

Yuqorida tilga olingan tenglikning toʻliq boʻyalgan shakli quyidagicha koʻrinadi:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm– ba'zi konstantalar, x, y, z - ba'zi nuqtaning afin koordinatalariga mos keladigan o'zgaruvchilar. Bunday holda, doimiy omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lmasligi kerak, ya'ni tenglamaga hech qanday nuqta mos kelmaydi.}

Misollarning koʻpchiligida koʻp sonli omillar hali ham bir xil darajada nolga teng va tenglama ancha soddalashtirilgan. Amalda nuqtaning sirtga tegishli ekanligini aniqlash qiyin emas (tenglamaga uning koordinatalarini qo'yish va o'ziga xoslik kuzatilganligini tekshirish kifoya). Bunday ishdagi asosiy nuqta ikkinchisini kanonik shaklga keltirishdir.

Yuqorida yozilgan tenglama 2-tartibdagi har qanday (quyida sanab o'tilgan) sirtlarni belgilaydi. Quyida misollarni ko'rib chiqamiz.

2-tartibdagi sirt turlari

2-tartibli sirtlarning tenglamalari faqat A_{nm koeffitsientlari qiymatlarida farqlanadi. Umumiy nuqtai nazardan, doimiylarning ma'lum qiymatlari uchun turli sirtlarni olish mumkin, ular quyidagicha tasniflanadi:}

1. Tsilindrlar.
2. Eliptik turi.
3. Giperbolik turi.
4. Konus turi.
5. Parabolik turi.
6. Samolyotlar.

Roʻyxatga olingan turlarning har biri tabiiy va xayoliy shaklga ega: xayoliy shaklda real nuqtalar joylashuvi oddiyroq shaklga aylanadi yoki umuman yoʻq.

Tsilindrlar

Bu eng oddiy tur, chunki nisbatan murakkab egri chiziq faqat asosda yotib, yoʻriqnoma vazifasini bajaradi. Generatorlar asos joylashgan tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziqlardir.

Grafikda dumaloq silindr, elliptik silindrning maxsus holati ko'rsatilgan. XY tekisligida uning proyeksiyasi ellips (bizning holimizda aylana) - yo'n altiruvchi, XZda esa to'rtburchak bo'ladi - chunki generatorlar Z o'qiga parallel bo'ladi. Uni umumiy tenglamadan olish uchun sizga kerak bo'ladi. koeffitsientlarga quyidagi qiymatlarni berish uchun:

Oddiy belgilar oʻrniga seriya raqami bilan x, y, z, x ishlatiladi - bu muhim emas.

Aslida, 1/a2va bu erda ko'rsatilgan boshqa konstantalar umumiy tenglamada ko'rsatilgan bir xil koeffitsientlardir, ammo ularni ushbu shaklda yozish odatiy holdir - bu kanonik vakillik. Bundan tashqari, faqat shunday belgi qo'llaniladi.

Giperbolik silindr shunday aniqlanadi. Sxema bir xil - giperbola yo'l-yo'riq bo'ladi.

y2=2px

Parabolik silindr biroz boshqacha ta'riflanadi: uning kanonik shakli parametr deb ataladigan p koeffitsientini o'z ichiga oladi. Aslida, koeffitsient q=2p ga teng, lekin uni taqdim etilgan ikkita omilga bo'lish odatiy holdir.

Tsilindrning yana bir turi mavjud: xayoliy. Bunday tsilindrga hech qanday haqiqiy nuqta tegishli emas. Bu tenglama bilan tavsiflanadielliptik silindr, lekin birlik o'rniga -1.

Eliptik turi

Elipsoidni o'qlardan biri bo'ylab cho'zish mumkin (bu yuqorida ko'rsatilgan a, b, c konstantalarining qiymatlariga bog'liq; kattaroq o'qga kattaroq koeffitsient mos kelishi aniq.).

Hayoliy ellipsoid ham mavjud - koordinatalarning koeffitsientlarga koʻpaytirilgan yigʻindisi -1 boʻlishi sharti bilan:

Giperboloidlar

Konstantalardan birida minus paydo bo`lganda ellipsoid tenglama bir varaqli giperboloid tenglamasiga aylanadi. Shuni tushunish kerakki, bu minus x₃ koordinatasidan oldin joylashishi shart emas! U faqat o'qlardan qaysi biri giperboloidning aylanish o'qi bo'lishini aniqlaydi (yoki unga parallel, chunki kvadratda qo'shimcha atamalar paydo bo'lganda (masalan, (x-2))^{2) shaklning markazi siljiydi, natijada sirt koordinata o'qlariga parallel ravishda harakat qiladi). Bu barcha 2-tartibli yuzalar uchun amal qiladi.}

Bundan tashqari, siz tenglamalar kanonik shaklda taqdim etilganligini va ularni doimiylarni o'zgartirish orqali o'zgartirish mumkinligini tushunishingiz kerak (belgi saqlangan!); ularning shakli (giperboloid, konus va boshqalar) o'zgarishsiz qoladi.

Bu tenglama allaqachon ikki varaqli giperboloid tomonidan berilgan.

Konussimon yuza

Konus tenglamasida birlik yo'q - nolga tenglik.

Faqat chegaralangan konussimon sirt konus deyiladi. Quyidagi rasmda diagrammada ikkita konus deb ataladigan narsa bo'lishini ko'rsatadi.

Muhim eslatma: barcha ko'rib chiqilgan kanonik tenglamalarda konstantalar sukut bo'yicha ijobiy qabul qilinadi. Aks holda, belgi yakuniy jadvalga ta'sir qilishi mumkin.

Koordinata tekisliklari konusning simmetriya tekisliklariga aylanadi, simmetriya markazi koordinata boshida joylashgan.

Hayoliy konus tenglamasida faqat ortiqcha tomonlar mavjud; u bitta haqiqiy nuqtaga ega.

Paraboloidlar

Kosmosdagi 2-tartibli sirtlar oʻxshash tenglamalarda ham turli shakllarni olishi mumkin. Masalan, paraboloidlarning ikki turi mavjud.

x²/a²+y²/b^2=2z

Eliptik paraboloid Z oʻqi chizmaga perpendikulyar boʻlsa, ellipsga proyeksiyalanadi.

x²/a²-y²/b^2=2z

Giperbolik paraboloid: tekisliklari ZY ga parallel boʻlgan kesmalar parabolalarni, XY ga parallel tekisliklari boʻlgan kesimlar esa giperbolalarni hosil qiladi.

Kesishuvchi tekisliklar

2-tartibdagi sirtlar tekislikka aylanib ketadigan holatlar mavjud. Bu samolyotlarni turli yo'llar bilan joylashtirish mumkin.

Avval kesishgan tekisliklarni hisobga oling:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Kanonik tenglamaning bu modifikatsiyasi natijasida faqat ikkita kesishuvchi tekislik (xayoliy!); barcha haqiqiy nuqtalar tenglamada etishmayotgan koordinata o'qida (kanonikda - Z o'qi).

Parallel samolyotlar

y²=a²

Faqat bitta koordinata mavjud bo'lganda, 2-tartibdagi sirtlar bir juft parallel tekisliklarga aylanadi. Esda tutingki, Y o'rnini har qanday boshqa o'zgaruvchi egallashi mumkin; keyin boshqa o'qlarga parallel tekisliklar olinadi.

y²=−a²

Bu holda ular xayoliy bo'lib qoladi.

Mos keladigan samolyotlar

y2=0

Bunday oddiy tenglama bilan bir juft tekislik bittaga aylanadi - ular mos tushadi.

Ush o'lchovli bazis holatida yuqoridagi tenglama y=0 to'g'ri chiziqni aniqlamasligini unutmang! Unda boshqa ikkita oʻzgaruvchi yoʻq, lekin bu ularning qiymati doimiy va nolga teng ekanligini bildiradi.

Bino

Talaba uchun eng qiyin vazifalardan biri bu 2-tartibdagi sirtlarni qurishdir. Egri chiziqning o'qlarga nisbatan burchaklari va markazning siljishi hisobga olingan holda, bir koordinata tizimidan ikkinchisiga o'tish yanada qiyinroq. Keling, analitik yordamida chizmaning kelajakdagi ko'rinishini qanday izchil aniqlashni takrorlaylikyo'l.

2-tartibli sirtni qurish uchun sizga kerak:

• tenglamani kanonik shaklga keltiring;
• oʻrganilayotgan sirt turini aniqlang;
• koeffitsient qiymatlari asosida tuzing.

Quyidagi barcha turlar koʻrib chiqiladi:

Birlashtirish uchun keling, ushbu turdagi topshiriqlarning bir misolini batafsil tasvirlab beraylik.

Misollar

Tenglama bor deylik:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60y+144=0}

Keling, uni kanonik shaklga keltiramiz. Keling, to'liq kvadratlarni ajratib ko'rsatamiz, ya'ni mavjud shartlarni yig'indi yoki ayirma kvadratining kengayishi bo'ladigan tarzda joylashtiramiz. Masalan: agar (a+1)²=a²+2a+1 u holda a²+2a +1=(a+1)^{2. Biz ikkinchi operatsiyani bajaramiz. Bunday holda, qavslarni ochish shart emas, chunki bu faqat hisob-kitoblarni murakkablashtiradi, lekin umumiy koeffitsient 6 ni (Y ning to'liq kvadratiga ega qavslarda) olib tashlash kerak:}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Z oʻzgaruvchisi bu holatda faqat bir marta uchraydi - hozircha uni yolgʻiz qoldirishingiz mumkin.

Biz ushbu bosqichda tenglamani tahlil qilamiz: barcha noma'lumlar oldiga ortiqcha belgisi qo'yiladi; oltiga bo'linganda bitta qoladi. Shunday qilib, bizda ellipsoidni aniqlaydigan tenglama mavjud.

E'tibor bering, 144 soni 150-6 ga koeffitsient qilingan, shundan so'ng -6 o'ngga ko'chirilgan. Nega buni bunday qilish kerak edi? Shubhasiz, bu misoldagi eng katta bo'luvchi -6 ga teng, shuning uchun unga bo'lingandan keyinbiri o'ngda chapda, 144 dan aniq 6 ni "kechiktirish" kerak (o'ngda bo'lishi kerakligi erkin atama mavjudligi bilan ko'rsatiladi - noma'lumga ko'paytirilmagan doimiy).

Hammasini oltiga bo'ling va ellipsoidning kanonik tenglamasini oling:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

2-tartibli sirtlarning ilgari qo'llanilgan tasnifida, rasmning markazi koordinatalarning boshida joylashganida alohida holat ko'rib chiqiladi. Bu misolda u ofset qilingan.

Biz har bir noma'lum qavs yangi o'zgaruvchi deb faraz qilamiz. Ya'ni: a=x-1, b=y+5, c=z. Yangi koordinatalarda ellipsoidning markazi (0, 0, 0) nuqtaga to'g'ri keladi, demak, a=b=c=0, bundan: x=1, y=-5, z=0. Dastlabki koordinatalarda figuraning markazi (1, -5, 0) nuqtada joylashgan.

Elipsoid ikkita ellipsdan olinadi: birinchisi XY tekisligida, ikkinchisi XZ tekisligida (yoki YZ - bu muhim emas). O'zgaruvchilar bo'linadigan koeffitsientlar kanonik tenglamada kvadratga olinadi. Shuning uchun yuqoridagi misolda ikki, bir va uchning ildiziga bo'lish to'g'riroq bo'ladi.

Y o'qiga parallel bo'lgan birinchi ellipsning kichik o'qi ikkitadir. X o'qiga parallel bo'lgan katta o'q ikkitadan ikkita ildizdir. Y o'qiga parallel bo'lgan ikkinchi ellipsning kichik o'qi bir xil bo'lib qoladi - u ikkiga teng. Z o'qiga parallel bo'lgan katta o'q esa uchtaning ikkita ildiziga teng.

Asl tenglamadan kanonik shaklga oʻtkazish orqali olingan maʼlumotlar yordamida biz ellipsoid chizishimiz mumkin.

Xulosa

Ushbu maqolada yoritilganmavzu juda keng, lekin, aslida, siz hozir ko'rib turganingizdek, unchalik murakkab emas. Uning rivojlanishi, aslida, siz yuzalarning nomlari va tenglamalarini (va, albatta, ularning ko'rinishini) eslab qolishingiz bilan tugaydi. Yuqoridagi misolda biz har bir qadamni batafsil muhokama qildik, lekin tenglamani kanonik shaklga keltirish uchun oliy matematikadan minimal bilim talab etiladi va talaba uchun hech qanday qiyinchilik tug‘dirmasligi kerak.

Mavjud tenglik bo'yicha kelajak jadvalini tahlil qilish allaqachon qiyinroq vazifadir. Ammo uni muvaffaqiyatli hal qilish uchun mos keladigan ikkinchi tartibli egri chiziqlar - ellips, parabola va boshqalar qanday qurilganligini tushunish kifoya.

Degeneratsiya holatlari - yanada oddiyroq bo'lim. Ba'zi o'zgaruvchilar yo'qligi sababli, yuqorida aytib o'tilganidek, nafaqat hisob-kitoblar, balki qurilishning o'zi ham soddalashtirilgan.

Barcha turdagi sirtlarni ishonch bilan nomlay olishingiz bilanoq, konstantalarni oʻzgartiring, grafikni u yoki bu shaklga aylantiring - mavzu oʻzlashtiriladi.

O'qishlaringizda muvaffaqiyat!