Ushbu maqolada usul chiziqli tenglamalar tizimini (SLAE) echish usuli sifatida ko'rib chiqiladi. Usul analitikdir, ya'ni umumiy yechim algoritmini yozishga imkon beradi va keyin u erda aniq misollardagi qiymatlarni almashtirishga imkon beradi. Matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan farqli o'laroq, Gauss usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechishda siz cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lganlar bilan ham ishlashingiz mumkin. Yoki umuman yo‘q.
Gauss usuli bilan yechish nimani anglatadi?
Birinchidan, biz tenglamalar tizimini matritsa sifatida yozishimiz kerak. Bu shunday ko'rinadi. Tizim qabul qilindi:
Koeffitsientlar jadval shaklida, o'ng tomonda esa alohida ustunda - bepul a'zolar yoziladi. Bo'sh a'zolarga ega ustun qulaylik uchun vertikal chiziq bilan ajratilgan. Ushbu ustunni o'z ichiga olgan matritsa kengaytirilgan deb nomlanadi.
Keyin, koeffitsientli asosiy matritsa yuqori uchburchak shaklga keltirilishi kerak. Bu tizimni Gauss usuli bilan echishning asosiy nuqtasidir. Oddiy qilib aytganda, ma'lum manipulyatsiyalardan so'ng, matritsa shunday ko'rinishi kerak, shunda uning pastki chap qismida faqat nollar bo'lishi kerak:
Keyin, agar siz yangi matritsani yana tenglamalar tizimi sifatida yozsangiz, oxirgi satr allaqachon ildizlardan birining qiymatini o'z ichiga olganligini, keyin esa yuqoridagi tenglamaga almashtirilganligini sezasiz, boshqa ildiz topiladi. va hokazo.
Bu Gauss yechimining eng umumiy ma'noda tavsifi. Va agar to'satdan tizimda yechim topilmasa nima bo'ladi? Yoki ularning cheksiz soni bormi? Bu va boshqa koʻplab savollarga javob berish uchun Gauss usuli boʻyicha yechimda qoʻllaniladigan barcha elementlarni alohida koʻrib chiqish zarur.
Matritsalar, ularning xossalari
Matritsada yashirin ma'no yo'q. Bu keyingi operatsiyalar uchun ma'lumotlarni yozib olishning qulay usuli. Hatto maktab o'quvchilari ham ulardan qo'rqmasliklari kerak.
Matrisa har doim to'rtburchaklar shaklida bo'ladi, chunki u qulayroq. Hatto Gauss usulida ham, hamma narsa uchburchak matritsani qurishga to'g'ri keladi, yozuvda to'rtburchaklar paydo bo'ladi, faqat raqamlar bo'lmagan joyda nollar mavjud. Nollarni olib tashlash mumkin, lekin ular nazarda tutilgan.
Matrisa oʻlchamiga ega. Uning "kengligi" qatorlar soni (m), "uzunligi" - ustunlar soni (n). Keyin A matritsasining o'lchami (odatda ularni belgilash uchun katta lotin harflari ishlatiladi) Am×n sifatida belgilanadi. Agar m=n bo'lsa, bu matritsa kvadratdir vam=n - uning tartibi. Shunga ko'ra, A matritsaning istalgan elementini uning satri va ustuni soni bilan belgilash mumkin: axy; x - qator raqami, o'zgartirish [1, m], y - ustun raqami, o'zgartirish [1, n].
Gauss usulida matritsalar yechimning asosiy nuqtasi emas. Printsipial jihatdan barcha amallar tenglamalarning o‘zi bilan to‘g‘ridan-to‘g‘ri bajarilishi mumkin, ammo yozuv ancha og‘irroq bo‘ladi va undagi chalkashliklar ancha oson bo‘ladi.
Saralashchi
Matritsaning determinanti ham bor. Bu juda muhim xususiyatdir. Endi uning ma'nosini bilish bunga loyiq emas, siz shunchaki uning qanday hisoblanganligini ko'rsatishingiz mumkin, keyin esa matritsaning qaysi xususiyatlarini aniqlayotganini aytishingiz mumkin. Determinantni topishning eng oson yo'li diagonallardir. Matritsada xayoliy diagonallar chiziladi; ularning har birida joylashgan elementlar ko'paytiriladi, so'ngra hosil bo'lgan mahsulotlar qo'shiladi: o'ngga qiyalik bilan diagonallar - "ortiqcha" belgisi bilan, chap tomonda - "minus" belgisi bilan.
Determinantni faqat kvadrat matritsa uchun hisoblash mumkinligini ta'kidlash juda muhim. To'g'ri to'rtburchak matritsa uchun siz quyidagilarni qilishingiz mumkin: qatorlar soni va ustunlar sonidan eng kichigini tanlang (u k bo'lsin), so'ngra matritsada tasodifiy ravishda k ustun va k qatorni belgilang. Tanlangan ustunlar va qatorlar kesishmasida joylashgan elementlar yangi kvadrat matritsa hosil qiladi. Agar bunday matritsaning determinanti noldan boshqa raqam bo'lsa, u asl to'rtburchaklar matritsaning asosiy minori deb ataladi.
OldinGauss usuli bilan tenglamalar tizimini echishni qanday boshlash kerak, determinantni hisoblash zarar qilmaydi. Agar u nolga teng bo'lsa, biz darhol aytishimiz mumkinki, matritsada cheksiz ko'p echimlar mavjud yoki umuman yo'q. Bunday qayg'uli holatda, siz matritsaning darajasini bilib olishingiz kerak.
Tizimlar tasnifi
Matritsaning darajasi degan narsa bor. Bu uning nolga teng bo'lmagan determinantining maksimal tartibi (minor bazisni eslab, matritsaning darajasi bazis minorning tartibi deb aytishimiz mumkin).
Mazkur darajaga koʻra SLOWni quyidagilarga boʻlish mumkin:
- Birgalikda. Qo'shma tizimlar uchun asosiy matritsaning darajasi (faqat koeffitsientlardan iborat) kengaytirilgan (erkin shartlar ustuni bilan) darajasiga to'g'ri keladi. Bunday tizimlar yechimga ega, lekin bitta emas, shuning uchun qo'shma tizimlar qo'shimcha ravishda quyidagilarga bo'linadi:
- - aniq - yagona yechimga ega. Muayyan tizimlarda matritsaning darajasi va noma'lumlar soni teng (yoki ustunlar soni, bu bir xil);
- - noaniq - cheksiz sonli yechimlar bilan. Bunday tizimlardagi matritsalar darajasi noma'lumlar sonidan kamroq.
- Mos emas. Bunday tizimlar uchun asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari mos kelmaydi. Mos kelmaydigan tizimlarda hech qanday yechim yo'q.
Gauss usuli yaxshi, chunki u tizimning nomuvofiqligini aniq isbotini (katta matritsalar determinantlarini hisoblamasdan) yoki cheksiz sonli yechimga ega tizim uchun umumiy yechimni olishga imkon beradi.
Elementar transformatsiyalar
Oldinto'g'ridan-to'g'ri tizimning yechimiga qanday o'tish kerak, siz uni kamroq noqulay va hisob-kitoblar uchun qulayroq qilishingiz mumkin. Bunga elementar transformatsiyalar orqali erishiladi - ularni amalga oshirish yakuniy javobni hech qanday tarzda o'zgartirmaydi. Shuni ta'kidlash kerakki, yuqoridagi elementar o'zgarishlarning ba'zilari faqat manbasi aniq SLAE bo'lgan matritsalar uchun amal qiladi. Mana bu oʻzgarishlar roʻyxati:
- Satrlarni oʻzgartirish. Ko'rinib turibdiki, agar biz tizim yozuvidagi tenglamalar tartibini o'zgartirsak, bu yechimga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi. Shu sababli, ushbu tizim matritsasidagi satrlarni almashtirish ham mumkin, albatta, bepul a'zolar ustuni haqida unutmang.
- Satrning barcha elementlarini qaysidir faktorga koʻpaytirish. Juda foydali! Uning yordamida siz matritsadagi katta raqamlarni kamaytirishingiz yoki nollarni olib tashlashingiz mumkin. Yechimlar to'plami, odatdagidek, o'zgarmaydi va keyingi operatsiyalarni bajarish qulayroq bo'ladi. Asosiysi, koeffitsient nolga teng bo'lmasligi kerak.
- Proportsional koeffitsientli chiziqlarni oʻchirish. Bu qisman oldingi paragrafdan kelib chiqadi. Agar matritsadagi ikki yoki undan ortiq qatorlar proportsional koeffitsientlarga ega bo'lsa, u holda satrlardan birini mutanosiblik koeffitsientiga ko'paytirish / bo'lishda ikkita (yoki yana, ko'proq) mutlaqo bir xil qatorlar olinadi va siz qo'shimchalarini olib tashlashingiz mumkin, faqat qoldirib ketishingiz mumkin. bitta.
- Nol qatorni oʻchirish. Agar transformatsiyalar jarayonida barcha elementlar, shu jumladan erkin a'zo ham nolga teng bo'lgan satr olingan bo'lsa, unda bunday qatorni nol deb atash va matritsadan chiqarib tashlash mumkin.
- Bir qatorning elementlariga boshqasining elementlarini qo'shish (ko'ramos keladigan ustunlar) ba'zi bir koeffitsientga ko'paytiriladi. Eng noaniq va eng muhim transformatsiya. Bu haqda batafsil to'xtalib o'tishga arziydi.
Komitentga koʻpaytirilgan qator qoʻshish
Tushunish qulayligi uchun bu jarayonni bosqichma-bosqich qismlarga ajratishga arziydi. Matritsadan ikkita qator olingan:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Aytaylik, ikkinchisiga birinchisini "-2" koeffitsientiga ko'paytirish kerak.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Keyin matritsadagi ikkinchi qator yangisi bilan almashtiriladi, birinchisi esa oʻzgarishsiz qoladi.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Shuni ta'kidlash kerakki, ko'paytirish koeffitsientini shunday tanlash mumkinki, ikkita qatorni qo'shish natijasida yangi qatorning elementlaridan biri nolga teng bo'ladi. Shuning uchun tizimda tenglamani olish mumkin, bu erda kamroq noma'lum bo'ladi. Va agar siz ikkita shunday tenglamani olsangiz, unda operatsiya yana bajarilishi mumkin va ikkita kamroq noma'lumni o'z ichiga olgan tenglamani olishingiz mumkin. Va agar biz har safar asl satrdan past bo'lgan barcha qatorlar uchun bitta koeffitsientni nolga aylantirsak, biz qadamlar kabi matritsaning eng pastki qismiga tushib, bitta noma'lum tenglamani olishimiz mumkin. Bu deyiladitizimni Gauss usuli yordamida yechish.
Umumanda
Tizim boʻlsin. U m tenglama va n ta noma'lum ildizga ega. Buni shunday yozishingiz mumkin:
Asosiy matritsa tizim koeffitsientlaridan tuzilgan. Kengaytirilgan matritsaga bepul aʼzolar ustuni qoʻshiladi va qulaylik uchun chiziq bilan ajratiladi.
Keyingi:
- matritsaning birinchi qatori k=koeffitsientiga koʻpaytiriladi (-a21/a11);
- matritsaning birinchi oʻzgartirilgan qatori va ikkinchi qatori qoʻshildi;
- ikkinchi qator oʻrniga matritsaga oldingi paragrafdagi qoʻshilish natijasi kiritiladi;
- endi yangi ikkinchi qatordagi birinchi koeffitsient a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Endi bir xil transformatsiyalar seriyasi bajariladi, faqat birinchi va uchinchi qatorlar ishtirok etadi. Shunga ko'ra, algoritmning har bir bosqichida a21 elementi a31 bilan almashtiriladi. Keyin hamma narsa 41, … am1 uchun takrorlanadi. Natijada qatorlardagi birinchi element [2, m] nolga teng bo'lgan matritsa hosil bo'ladi. Endi siz birinchi qatorni unutishingiz va ikkinchi qatordan boshlab bir xil algoritmni bajarishingiz kerak:
- k koeffitsienti=(-a32/a22);
- ikkinchi oʻzgartirilgan qator “joriy” qatorga qoʻshildi;
- qoʻshish natijasi uchinchi, toʻrtinchi va hokazo qatorlarga almashtiriladi, birinchi va ikkinchi qatorlar esa oʻzgarishsiz qoladi;
- matritsaning [3, m] qatorlarida birinchi ikkita element allaqachon nolga teng.
Algoritmni k=koeffitsienti (-am, m-1/amm paydo bo'lguncha takrorlash kerak). Bu shuni anglatadiki, algoritm oxirgi marta faqat pastki tenglama uchun bajarilgan. Endi matritsa uchburchakka o'xshaydi yoki pog'onali shaklga ega. Pastki qatorda amn × x =bm tenglama mavjud. Koeffitsient va erkin atama ma'lum va ildiz ular orqali ifodalanadi: x =bm/amn. Olingan ildiz xn-1=(bm-1 - am-1, n topish uchun yuqori qatorga almashtiriladi.×(bm/amn))÷am-1, n-1. Va shunga o'xshash o'xshashlik bo'yicha: har bir keyingi qatorda yangi ildiz mavjud va tizimning "yuqori" ga erishgandan so'ng, siz bir qator echimlarni topishingiz mumkin [x1, … x ]. Bu yagona bo'ladi.
Hech qanday yechim topilmaganda
Agar matritsa qatorlaridan birida erkin haddan tashqari barcha elementlar nolga teng boʻlsa, bu qatorga mos keladigan tenglama 0=b koʻrinadi. Buning yechimi yo'q. Va bunday tenglama tizimga kiritilganligi sababli, butun tizimning echimlar to'plami bo'sh, ya'ni degenerativdir.
Cheksiz koʻp yechimlar mavjud boʻlganda
Ma'lum bo'lishicha, qisqartirilgan uchburchak matritsada bitta element - tenglama koeffitsienti va bitta - bo'sh a'zo bo'lgan qatorlar yo'q. Qayta yozilsa, ikki yoki undan ortiq o'zgaruvchiga ega tenglamaga o'xshab ketadigan faqat satrlar mavjud. Bu shuni anglatadiki, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Bunday holda, javob umumiy yechim shaklida berilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?
Hammasimatritsadagi o'zgaruvchilar asosiy va erkin bo'linadi. Asosiy - bu pog'onali matritsadagi qatorlarning "chekkasida" turganlar. Qolganlari bepul. Umumiy yechimda asosiy oʻzgaruvchilar boʻsh boʻlganlar koʻrinishida yoziladi.
Qulaylik uchun matritsa birinchi navbatda tenglamalar tizimiga qayta yoziladi. Keyin ularning oxirgisida, faqat bitta asosiy o'zgaruvchi qolgan joyda, u bir tomonda qoladi, qolganlari esa boshqasiga o'tkaziladi. Bu bitta asosiy o'zgaruvchiga ega bo'lgan har bir tenglama uchun amalga oshiriladi. Keyin, qolgan tenglamalarda, iloji bo'lsa, asosiy o'zgaruvchining o'rniga, uning uchun olingan ifoda almashtiriladi. Agar natija yana bitta asosiy o'zgaruvchini o'z ichiga olgan ifoda bo'lsa, u erdan yana ifodalanadi va har bir asosiy o'zgaruvchi erkin o'zgaruvchilarga ega ifoda sifatida yozilgunga qadar davom etadi. Bu SLAE umumiy yechimi.
Shuningdek, siz tizimning asosiy yechimini topishingiz mumkin - erkin o'zgaruvchilarga istalgan qiymatlarni bering, so'ngra ushbu aniq holat uchun asosiy o'zgaruvchilarning qiymatlarini hisoblang. Cheksiz ko'p maxsus yechimlar mavjud.
Muayyan misollar bilan yechim
Mana bu tenglamalar tizimi.
Qulaylik uchun uning matritsasini darhol tuzgan ma'qul
Ma'lumki, Gauss usuli bilan yechishda birinchi qatorga mos keladigan tenglama o'zgartirishlar oxirida o'zgarishsiz qoladi. Shuning uchun, agar matritsaning yuqori chap elementi eng kichik bo'lsa - keyin birinchi elementlar bo'lsa, foydaliroq bo'ladi.operatsiyalardan keyin qolgan qatorlar nolga aylanadi. Bu kompilyatsiya qilingan matritsada birinchi qatorning o'rniga ikkinchi qatorni qo'yish foydali bo'lishini anglatadi.
Keyin, birinchi elementlar nolga aylanishi uchun ikkinchi va uchinchi qatorlarni oʻzgartirishingiz kerak. Buning uchun ularni koeffitsientga ko'paytirilgan birinchisiga qo'shing:
ikkinchi qator: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
uchinchi qator: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Endi, chalkashmaslik uchun transformatsiyalarning oraliq natijalari bilan matritsa yozishingiz kerak.
Shubhasiz, bunday matritsani ba'zi operatsiyalar yordamida yanada o'qilishi mumkin. Masalan, har bir elementni "-1" ga ko'paytirish orqali ikkinchi qatordagi barcha "minuslar"ni olib tashlashingiz mumkin.
Shuningdek, uchinchi qatordagi barcha elementlar uchga karrali ekanligini ham ta'kidlash joiz. Keyin qila olasizsatrni shu raqamga kesib oling, har bir elementni "-1/3" ga ko'paytiring (minus - salbiy qiymatlarni olib tashlash uchun bir vaqtning o'zida).
Yaxshiroq koʻrinadi. Endi biz birinchi qatorni yolg'iz qoldirib, ikkinchi va uchinchi bilan ishlashimiz kerak. Vazifa a32 elementi nolga aylanadigan koeffitsientga ko'paytirilgan uchinchi qatorga ikkinchi qatorni qo'shishdir.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (agar ba'zi o'zgarishlar paytida bo'lsa javobda butun son bo'lmaganligi sababli, uni oddiy kasr shaklida qoldirish tavsiya etiladi va shundan keyingina javoblar olinganda, yaxlitlash va boshqa shaklga aylantirish to'g'risida qaror qabul qiling. notation)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matritsa yana yangi qiymatlar bilan yoziladi.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Koʻrib turganingizdek, natijada olingan matritsa allaqachon bosqichli shaklga ega. Shuning uchun tizimni Gauss usuli bo'yicha keyingi o'zgartirishlar talab qilinmaydi. Bu erda nima qilish mumkin, uchinchi qatordan umumiy "-1/7" koeffitsientini olib tashlashdir.
Endi hammayaxshi. Nuqta kichik - matritsani yana tenglamalar tizimi shaklida yozing va ildizlarni hisoblang
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Endi ildizlar topiladigan algoritm Gauss usulida teskari harakat deb ataladi. (3) tenglamada z qiymati mavjud:
z=61/9
Keyin, ikkinchi tenglamaga qayting:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Va birinchi tenglama x ni topishga imkon beradi:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Biz bunday tizimni qo'shma va hatto aniq, ya'ni yagona yechimga ega deb atashga haqlimiz. Javob quyidagi shaklda yozilgan:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Noaniq tizimga misol
Ma'lum bir tizimni Gauss usulida yechish varianti tahlil qilindi, endi sistema noaniq bo'lsa, ya'ni unga cheksiz ko'p yechim topish mumkin bo'lgan holatni ko'rib chiqish kerak.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Tizimning o'zi allaqachon xavotirga solmoqda, chunki noma'lumlar soni n=5 va tizim matritsasining darajasi allaqachon bu raqamdan kam, chunki qatorlar soni m=4, ya'ni kvadrat determinantning eng katta tartibi 4. Demak,Cheksiz ko'p echimlar mavjud va biz uning umumiy shaklini izlashimiz kerak. Chiziqli tenglamalar uchun Gauss usuli buni amalga oshirish imkonini beradi.
Birinchidan, odatdagidek, kengaytirilgan matritsa tuziladi.
Ikkinchi qator: koeffitsient k=(-a21/a11)=-3. Uchinchi qatorda birinchi element transformatsiyalardan oldin bo'ladi, shuning uchun hech narsaga tegmaslik kerak, uni avvalgidek qoldirish kerak. Toʻrtinchi qator: k=(-a41/a11)=-5
Birinchi qator elementlarini har bir koeffitsientiga navbatma-navbat koʻpaytirib, kerakli qatorlarga qoʻshib, quyidagi koʻrinishdagi matritsani olamiz:
Koʻrib turganingizdek, ikkinchi, uchinchi va toʻrtinchi qatorlar bir-biriga mutanosib elementlardan iborat. Ikkinchi va to'rtinchisi odatda bir xil, shuning uchun ulardan birini darhol olib tashlash mumkin, qolganlari esa "-1" koeffitsientiga ko'paytiriladi va 3-qatorni oladi. Va yana ikkita bir xil qatordan birini qoldiring.
Natija shunday matritsa. Tizim hali yozilmagan, bu erda asosiy o'zgaruvchilarni aniqlash kerak - a11=1 va a22=1 koeffitsientlarida turib., va qolganlari bepul.
Ikkinchi tenglamada faqat bitta asosiy oʻzgaruvchi bor - x2. Demak, uni x3, x4, x5 o’zgaruvchilari orqali yozish orqali ifodalash mumkin. bepul.
Olingan ifodani birinchi tenglamaga almashtiring.
Bu tenglama chiqdiyagona asosiy o'zgaruvchi - x1. Keling, x2 bilan xuddi shunday qilaylik.
Barcha asosiy oʻzgaruvchilar, ulardan ikkitasi bor, uchta boʻsh oʻzgaruvchida ifodalangan, endi javobni umumiy shaklda yozishingiz mumkin.
Shuningdek, siz tizimning maxsus yechimlaridan birini ham belgilashingiz mumkin. Bunday holatlar uchun, qoida tariqasida, erkin o'zgaruvchilar uchun qiymatlar sifatida nollar tanlanadi. Keyin javob quyidagicha bo'ladi:
-16, 23, 0, 0, 0.
Mos kelmaydigan tizimga misol
Mos kelmaydigan tenglamalar tizimini Gauss usulida yechish eng tezdir. Bosqichlardan birida yechimi bo'lmagan tenglama olinishi bilanoq u tugaydi. Ya'ni, ildizlarni hisoblash bilan, ancha uzoq va g'amgin bo'lgan bosqich yo'qoladi. Quyidagi tizim koʻrib chiqilmoqda:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Odatdagidek matritsa tuzilgan:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Va bosqichli shaklga qisqartirildi:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Birinchi oʻzgartirishdan soʻng uchinchi qatorda
koʻrinishdagi tenglama mavjud
0=7, echim yo'q. Shuning uchun, tizimmos kelmaydi va javob boʻsh toʻplamdir.
Usulning afzalliklari va kamchiliklari
Agar siz SLAE-ni qog'ozda qalam bilan hal qilishning qaysi usulini tanlasangiz, unda ushbu maqolada ko'rib chiqilgan usul eng jozibali ko'rinadi. Elementar o'zgarishlarda, agar siz determinantni yoki biron bir qiyin teskari matritsani qo'lda qidirishingiz kerak bo'lsa, chalkashib ketish ancha qiyin. Biroq, agar siz ushbu turdagi ma'lumotlar, masalan, elektron jadvallar bilan ishlash uchun dasturlardan foydalansangiz, ma'lum bo'lishicha, bunday dasturlarda matritsalarning asosiy parametrlarini - determinant, minorlar, teskari va transpozitsiyalangan matritsalar va boshqalarni hisoblash algoritmlari mavjud.. Va agar siz mashina bu qiymatlarni o'zi hisoblab chiqishiga va xato qilmasligiga ishonchingiz komil bo'lsa, matritsa usuli yoki Kramer formulalaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir, chunki ularni qo'llash determinantlar va teskari matritsalarni hisoblash bilan boshlanadi va tugaydi.
Ilova
Gauss yechimi algoritm boʻlgani uchun va matritsa aslida ikki oʻlchovli massiv boʻlgani uchun undan dasturlashda foydalanish mumkin. Ammo maqola o'zini "qo'g'irchoqlar uchun" qo'llanma sifatida ko'rsatganligi sababli, usulni joylashtirishning eng oson joyi elektron jadvallar, masalan, Excel ekanligini aytish kerak. Shunga qaramay, jadvalga matritsa shaklida kiritilgan har qanday SLAE Excel tomonidan ikki o'lchovli massiv sifatida ko'rib chiqiladi. Va ular bilan operatsiyalar uchun juda ko'p yoqimli buyruqlar mavjud: qo'shish (siz faqat bir xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shishingiz mumkin!), Songa ko'paytirish, matritsani ko'paytirish (shuningdek, bilanma'lum cheklovlar), teskari va transpozitsiyalangan matritsalarni topish va eng muhimi, determinantni hisoblash. Agar bu vaqt talab qiladigan vazifa bitta buyruq bilan almashtirilsa, matritsaning darajasini aniqlash va shuning uchun uning mosligini yoki nomuvofiqligini aniqlash ancha tezroq bo'ladi.
