Matritsalar: Gauss usuli. Gauss matritsasi hisobi: misollar

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Universitetlarda turli mutaxassisliklar boʻyicha oʻqitiladigan chiziqli algebra koʻplab murakkab mavzularni oʻzida mujassam etgan. Ularning ba'zilari matritsalar bilan, shuningdek, chiziqli tenglamalar tizimini Gauss va Gauss-Jordan usullari bilan echish bilan bog'liq. Bu mavzularni, turli masalalarni yechish algoritmlarini hamma ham talabalar tushuna olmaydi. Keling, Gauss va Gauss-Jordaniya matritsalari va usullarini birgalikda tushunamiz.

Asosiy tushunchalar

Chiziqli algebrada matritsa elementlarning toʻrtburchaklar massividir (jadval). Quyida qavs ichiga olingan elementlar to‘plami keltirilgan. Bu matritsalar. Yuqoridagi misoldan ko'rinib turibdiki, to'rtburchaklar massivlardagi elementlar faqat sonlar emas. Matritsa matematik funktsiyalar, algebraik belgilardan iborat bo'lishi mumkin.

Ba'zi tushunchalarni tushunish uchun a_ij elementlaridan A matritsasini tuzamiz. Indekslar shunchaki harflar emas: i - jadvaldagi qatorning raqami, j - element joylashgan kesishgan sohadagi ustunning raqami.a_ij. Shunday qilib, bizda a₁₁, a₂₁, a₁₂, a kabi elementlar matritsasi borligini ko’ramiz. ₂₂ va hokazo.n harfi ustunlar sonini, m harfi esa qatorlar sonini bildiradi. m × n belgisi matritsaning o'lchamini bildiradi. Bu elementlar toʻrtburchaklar massividagi qatorlar va ustunlar sonini belgilaydigan tushunchadir.

Ixtiyoriy ravishda matritsada bir nechta ustun va qatorlar boʻlishi kerak. 1 × n o'lchamli elementlar massivi bir qatorli, o'lchami m × 1 bo'lsa, u bitta ustunli massivdir. Agar satrlar va ustunlar soni teng bo'lsa, matritsa kvadrat deb ataladi. Har bir kvadrat matritsa determinantga ega (det A). Bu atama A matritsasiga tayinlangan raqamga ishora qiladi.

Matritsalarni muvaffaqiyatli yechish uchun yana bir nechta muhim tushunchalar asosiy va ikkilamchi diagonallardir. Matritsaning asosiy diagonali yuqori chap burchakdan stolning o'ng burchagiga tushadigan diagonaldir. Yon diagonali pastdan chap burchakdan yuqoriga o'ng burchakka o'tadi.

Bosqichli matritsa koʻrinishi

Quyidagi rasmga qarang. Unda siz matritsa va diagrammani ko'rasiz. Keling, avval matritsa bilan shug'ullanamiz. Chiziqli algebrada bunday turdagi matritsa bosqichli matritsa deyiladi. U bitta xususiyatga ega: agar a_ij i-qatordagi nolga teng boʻlmagan birinchi element boʻlsa, a_{ij matritsasining pastdagi va chap tomonidagi barcha boshqa elementlar.} , null (ya'ni, a_kl harf belgisi berilishi mumkin bo'lgan barcha elementlar, bu erda k>i val<j).

Endi diagrammani ko'rib chiqing. U matritsaning bosqichli shaklini aks ettiradi. Sxema 3 turdagi hujayralarni ko'rsatadi. Har bir tur ma'lum elementlarni bildiradi:

• bo'sh katakchalar - matritsaning nol elementlari;
• soyali katakchalar ixtiyoriy elementlar boʻlib, ular nol va nolga teng boʻlishi mumkin;
• qora kvadratlar nolga teng bo'lmagan elementlar bo'lib, ular burchak elementlari, "qadamlar" deb ataladi (ular yonidagi matritsada bunday elementlar -1, 5, 3, 8 raqamlari).

Matritsalarni yechishda ba'zan natijada qadamning "uzunligi" 1 dan katta bo'ladi. Bunga ruxsat beriladi. Faqat qadamlarning "balandligi" muhim. Bosqichli matritsada bu parametr har doim bittaga teng bo'lishi kerak.

Matritsani bosqichli shaklga qisqartirish

Har qanday toʻrtburchaklar matritsani bosqichli shaklga oʻtkazish mumkin. Bu elementar transformatsiyalar orqali amalga oshiriladi. Ularga quyidagilar kiradi:

• satrlarni qayta tartiblash;
• Bir qatorga yana bir qator qoʻshish, agar kerak boʻlsa, bir necha raqamga koʻpaytiriladi (siz ayirish amalini ham bajarishingiz mumkin).

Muayyan masalani hal qilishda elementar oʻzgarishlarni koʻrib chiqamiz. Quyidagi rasmda bosqichli shaklga qisqartirilishi kerak bo'lgan A matritsasi ko'rsatilgan.

Muammoni hal qilish uchun biz algoritmga amal qilamiz:

• Matritsada oʻzgartirishlarni amalga oshirish qulayyuqori chap burchakdagi birinchi element (ya'ni, "etakchi" element) 1 yoki -1. Bizning holatda, yuqori qatordagi birinchi element 2 ga teng, shuning uchun birinchi va ikkinchi qatorlarni almashtiramiz.
• 2, 3 va 4-qatorlarga ta'sir qiluvchi ayirish amallarini bajaramiz. "Etakchi" element ostidagi birinchi ustunda nollarni olishimiz kerak. Ushbu natijaga erishish uchun: 2-qatorning elementlaridan biz 2-sonli ko'paytiriladigan 1-qatorning elementlarini ketma-ket olib tashlaymiz; 3-qatorning elementlaridan biz 1-qatorning elementlarini ketma-ket 4 ga ko'paytiramiz; 4-qatorning elementlaridan 1-qatorning elementlarini ketma-ket ayirib tashlaymiz.
• Keyin, biz kesilgan matritsa bilan ishlaymiz (1-ustunsiz va №1-qatorsiz). Ikkinchi ustun va ikkinchi qatorning kesishmasida joylashgan yangi "etakchi" element -1 ga teng. Chiziqlarni qayta tartibga solishning hojati yo'q, shuning uchun biz birinchi ustunni va birinchi va ikkinchi qatorlarni o'zgartirmasdan qayta yozamiz. “Etakchi” element ostidagi ikkinchi ustunda nollarni olish uchun ayirish amallarini bajaramiz: uchinchi qatorning elementlaridan ikkinchi qatorning elementlarini 3 ga ko‘paytirib ketma-ket ayiramiz; to'rtinchi qatorning elementlaridan ikkinchi qatorning 2 ga ko'paytirilgan elementlarini ayirish.
• Oxirgi qatorni oʻzgartirish qoladi. Uning elementlaridan uchinchi qatorning elementlarini ketma-ket ayirib tashlaymiz. Shunday qilib, biz bosqichli matritsaga ega bo'ldik.

Matritsalarni bosqichli ko’rinishga keltirish chiziqli tenglamalar tizimini (SLE) Gauss usuli bilan yechishda qo’llaniladi. Bu usulni ko‘rib chiqishdan oldin, keling, SLN bilan bog‘liq ayrim atamalarni tushunib olaylik.

Matritsalar va chiziqli tenglamalar tizimlari

Matritsalar turli fanlarda qoʻllaniladi. Raqamlar jadvalidan foydalanib, siz, masalan, Gauss usuli yordamida tizimga birlashtirilgan chiziqli tenglamalarni echishingiz mumkin. Birinchidan, bir nechta atamalar va ularning ta'riflari bilan tanishamiz, shuningdek, bir nechta chiziqli tenglamalarni birlashtirgan tizimdan matritsa qanday hosil bo'lishini ko'rib chiqamiz.

SLU – bir nechta kombinatsiyalangan algebraik tenglamalar birinchi quvvati noma'lum va mahsulot shartlarisiz.

SLE yechimi – tizimdagi tenglamalar identifikatsiyaga aylanadigan noma’lum qiymatlarni topdi.

Qoʻshma SLE - kamida bitta yechimga ega tenglamalar tizimi.

Mos kelmaydigan SLE - bu yechimi yo'q tenglamalar tizimi.

Chiziqli tenglamalarni birlashtiruvchi tizim asosida matritsa qanday tuziladi? Tizimning asosiy va kengaytirilgan matritsalari kabi tushunchalar mavjud. Tizimning asosiy matritsasini olish uchun noma'lumlar uchun barcha koeffitsientlarni jadvalga qo'yish kerak. Kengaytirilgan matritsa asosiy matritsaga bo'sh shartlar ustunini qo'shish orqali olinadi (u tizimdagi har bir tenglama tenglashtirilgan ma'lum elementlarni o'z ichiga oladi). Quyidagi rasmni o‘rganish orqali bu jarayonni tushunishingiz mumkin.

Rasmda biz koʻrgan birinchi narsa chiziqli tenglamalarni oʻz ichiga olgan tizimdir. Uning elementlari: a_ij – sonli koeffitsientlar, x_j – noma’lum qiymatlar, b_i – doimiy shartlar (bu yerda i=1, 2, …, m va j=1, 2, …, n). Rasmdagi ikkinchi element koeffitsientlarning asosiy matritsasi hisoblanadi. Har bir tenglamadan koeffitsientlar qatorga yoziladi. Natijada, tizimdagi tenglamalar qancha bo'lsa, matritsada shuncha qator mavjud. Ustunlar soni har qanday tenglamadagi eng ko'p koeffitsientlar soniga teng. Rasmdagi uchinchi element erkin shartlar ustuniga ega kengaytirilgan matritsadir.

Gauss usuli haqida umumiy ma'lumot

Chiziqli algebrada Gauss usuli SLEni yechishning klassik usuli hisoblanadi. U 18-19-asrlarda yashagan Karl Fridrix Gauss nomi bilan atalgan. Bu barcha davrlarning eng buyuk matematiklaridan biri. Gauss usulining mohiyati chiziqli algebraik tenglamalar tizimida elementar o'zgarishlarni amalga oshirishdan iborat. Transformatsiyalar yordamida SLE barcha o'zgaruvchilarni topish mumkin bo'lgan uchburchak (bosqichli) shakldagi ekvivalent tizimga tushiriladi.

Ta'kidlash joizki, Karl Fridrix Gauss chiziqli tenglamalar tizimini echishning klassik usulining kashfiyotchisi emas. Usul ancha oldin ixtiro qilingan. Uning birinchi ta'rifi qadimgi Xitoy matematiklarining "Matematika 9 kitobda" deb nomlangan bilimlari ensiklopediyasida topilgan.

SLEni Gauss usuli bilan yechish misoli

Tizimlarning Gauss usulida yechilishini aniq misolda ko’rib chiqamiz. Rasmda ko'rsatilgan SLU bilan ishlaymiz.

Echish algoritmi:

1. Tizimni Gauss usulining toʻgʻridan-toʻgʻri harakati orqali bosqichli shaklga tushiramiz, lekin birinchi navbatdaBiz raqamli koeffitsientlar va bo'sh a'zolarning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz.
2. Matritsani Gauss usulida yechish (ya'ni uni bosqichli shaklga keltirish) uchun ikkinchi va uchinchi qatorlar elementlaridan birinchi qator elementlarini ketma-ket ayirib tashlaymiz. Biz "etakchi" element ostidagi birinchi ustunda nollarni olamiz. Keyinchalik, qulaylik uchun joylarda ikkinchi va uchinchi qatorlarni o'zgartiramiz. Oxirgi qatorning elementlariga ikkinchi qatorning elementlarini ketma-ket 3 ga ko'paytiring.
3. Matritsani Gauss usulida hisoblash natijasida elementlarning bosqichli massiviga ega bo’ldik. Unga asoslanib, biz chiziqli tenglamalarning yangi tizimini tuzamiz. Gauss usulining teskari yo'nalishi bo'yicha biz noma'lum atamalarning qiymatlarini topamiz. Oxirgi chiziqli tenglamadan ko'rinib turibdiki, x₃ 1 ga teng. Biz bu qiymatni tizimning ikkinchi qatoriga almashtiramiz. Siz x₂ – 4=–4 tenglamasini olasiz. Bundan kelib chiqadiki, x₂ 0 ga teng. Tizimning birinchi tenglamasiga x₂ va x₃ ni almashtiring: x1 _{+ 0 +3=2. Nomaʼlum atama -1.}

Javob: matritsadan, Gauss usulidan foydalanib, biz noma'lumlarning qiymatlarini topdik; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-Jordan usuli

Chiziqli algebrada Gauss-Jordan usuli kabi narsa ham mavjud. U Gauss usulining modifikatsiyasi hisoblanadi va teskari matritsani topish, algebraik chiziqli tenglamalar kvadrat sistemalarining noma’lum shartlarini hisoblash uchun ishlatiladi. Gauss-Jordan usuli qulay, chunki u SLEni bir bosqichda (to'g'ridan-to'g'ri va teskari usullardan foydalanmasdan) hal qilishga imkon beradi.harakat qiladi).

Keling, “teskari matritsa” atamasidan boshlaylik. Faraz qilaylik, bizda A matritsasi bor. Uning teskarisi A^-1 matritsasi bo'ladi, shu bilan birga shart majburiy ravishda bajariladi: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, ya'ni bu matritsalarning mahsuloti identifikatsiya matritsasiga teng (identifikatsiya matritsasining bosh diagonalining elementlari bir, qolgan elementlari esa nolga teng).}

Muhim nuance: chiziqli algebrada teskari matritsa mavjudligi haqida teorema mavjud. A^-1 matritsaning mavjudligi uchun yetarli va zarur shart bu A matritsaning birlik boʻlmaganligidir.

Gauss-Jordan usuli asoslangan asosiy qadamlar:

1. Muayyan matritsaning birinchi qatoriga qarang. Agar birinchi qiymat nolga teng bo'lmasa, Gauss-Jordan usulini boshlash mumkin. Agar birinchi o'rin 0 bo'lsa, birinchi element nolga teng bo'lmagan qiymatga ega bo'lishi uchun qatorlarni almashtiring (raqam bittaga yaqinroq bo'lishi ma'qul).
2. Birinchi qatorning barcha elementlarini birinchi raqamga bo'ling. Siz bitta bilan boshlanadigan qatorga ega bo'lasiz.
3. Ikkinchi qatordan birinchi qatorni ikkinchi qatorning birinchi elementiga ko'paytiring, ya'ni oxirida siz noldan boshlanadigan chiziqni olasiz. Qolgan chiziqlar uchun ham xuddi shunday qiling. Diagonal bo‘yicha 1 ni olish uchun har bir qatorni nolga teng bo‘lmagan birinchi elementiga bo‘ling.
4. Natijada Gauss - Jordan usuli yordamida yuqori uchburchak matritsani olasiz. Unda asosiy diagonal birliklar bilan ifodalanadi. Pastki burchak nol bilan to'ldirilgan vayuqori burchak - turli qiymatlar.
5. Oxirgi satrdan oxirgi qatorni kerakli koeffitsientga ko'paytiring. Siz nol va bitta qatorni olishingiz kerak. Qolgan qatorlar uchun xuddi shu harakatni takrorlang. Barcha oʻzgartirishlardan soʻng identifikatsiya matritsasi olinadi.

Gauss-Jordan usuli yordamida teskari matritsani topishga misol

Teskari matritsani hisoblash uchun kengaytirilgan A|E matritsasini yozish va kerakli oʻzgartirishlarni bajarish kerak. Keling, oddiy misolni ko'rib chiqaylik. Quyidagi rasmda A matritsasi ko'rsatilgan.

Yechim:

1. Avval Gauss usuli (det A) yordamida matritsa determinantini topamiz. Agar bu parametr nolga teng bo'lmasa, u holda matritsa nosingular hisoblanadi. Bu A ning aniq A^-1 bor degan xulosaga kelishimizga imkon beradi. Determinantni hisoblash uchun matritsani elementar transformatsiyalar orqali bosqichma-bosqich shaklga aylantiramiz. Keling, K sonini qatorlarni almashtirishlar soniga teng deb hisoblaymiz. Biz chiziqlarni faqat 1 marta o'zgartirdik. Determinantni hisoblaylik. Uning qiymati (-1)^K ga ko'paytirilgan asosiy diagonal elementlarining mahsulotiga teng bo'ladi. Hisoblash natijasi: det A=2.
2. Identifikatsiya matritsasini asl matritsaga qoʻshish orqali kengaytirilgan matritsani tuzing. Olingan elementlar massivi Gauss-Jordan usulida teskari matritsani topish uchun ishlatiladi.
3. Birinchi qatordagi birinchi element bittaga teng. Bu bizga mos keladi, chunki chiziqlarni qayta tartibga solish va berilgan chiziqni biron bir raqamga bo'lishning hojati yo'q. Keling, ishni boshlaylikikkinchi va uchinchi qatorlar bilan. Ikkinchi qatordagi birinchi elementni 0 ga aylantirish uchun ikkinchi qatordan birinchi qatorni 3 ga ko‘paytirilganni ayiring. Uchinchi qatordan birinchi qatorni ayiring (ko‘paytirish shart emas).
4. Olingan matritsada ikkinchi qatorning ikkinchi elementi -4, uchinchi qatorning ikkinchi elementi esa -1 ga teng. Qulaylik uchun chiziqlarni almashtiramiz. Uchinchi qatordan ikkinchi qatorni 4 ga ko'paytiring. Ikkinchi qatorni -1 ga va uchinchi qatorni 2 ga bo'ling. Yuqori uchburchak matritsani olamiz.
5. Ikkinchi qatordan 4 ga koʻpaytirilgan oxirgi qatorni, birinchi qatordan esa oxirgi qatorni 5 ga koʻpaytirilgan qatorni ayiramiz. Keyin birinchi qatordan 2 ga koʻpaytirilgan ikkinchi qatorni ayiramiz. Chap tomonda biz oldik. identifikatsiya matritsasi. O'ng tomonda teskari matritsa.

SLEni Gauss-Jordan usulida yechish misoli

Rasmda chiziqli tenglamalar tizimi ko'rsatilgan. Noma'lum o'zgaruvchilarning qiymatlarini Gauss-Jordan usuli bo'yicha matritsa yordamida topish talab qilinadi.

Yechim:

1. Keling, kengaytirilgan matritsa yarataylik. Buning uchun jadvalga koeffitsientlar va bepul shartlarni qo'yamiz.
2. Matritsani Gauss-Jordan usuli yordamida yeching. 2-qatordan 1-qatorni ayiramiz. 3-qatordan avval 2 ga koʻpaytirilgan 1-satrni ayirib tashlaymiz.
3. 2 va 3-qatorlarni almashtiring.
4. 3-qatordan №2 qatorni 2 ga koʻpaytiring. Olingan uchinchi qatorni –1 ga boʻling.
5. 2-qatordan 3-qatorni ayirish.
6. 1-qatordan №1 qatorni ayirish2 marta -1. Yon tomonda biz 0, 1 va -1 raqamlaridan iborat ustunni oldik. Bundan biz x₁=0, x₂=1 va x₃ =-1 degan xulosaga keldik.

Agar xohlasangiz, hisoblangan qiymatlarni tenglamalarga almashtirish orqali yechimning toʻgʻriligini tekshirishingiz mumkin:

• 0 – 1=–1, tizimdagi birinchi identifikatsiya toʻgʻri;
• 0 + 1 + (–1)=0, tizimdagi ikkinchi identifikatsiya toʻgʻri;
• 0 – 1 + (–1)=–2, tizimdagi uchinchi identifikatsiya toʻgʻri.

Xulosa: Gauss-Jordan usulidan foydalanib, chiziqli algebraik tenglamalarni birlashtiruvchi kvadratik tizimning toʻgʻri yechimini topdik.

Onlayn kalkulyatorlar

Universitetlarda tahsil olayotgan va chiziqli algebrani oʻrganayotgan bugungi yoshlarning hayoti ancha soddalashtirildi. Bir necha yil oldin biz Gauss va Gauss-Jordan usulidan foydalangan holda tizimlarning echimlarini o'zimiz topishimiz kerak edi. Ba'zi talabalar topshiriqlarni muvaffaqiyatli hal qilishdi, boshqalari esa ularni hal qilishda adashib qolishdi, xato qilishdi, sinfdoshlaridan yordam so'rashdi. Bugungi kunda uy vazifasini bajarishda onlayn kalkulyatorlardan foydalanishingiz mumkin. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish, teskari matritsalarni izlash uchun nafaqat toʻgʻri javoblarni, balki muayyan masalani yechish jarayonini ham koʻrsatadigan dasturlar yozildi.

Internetda oʻrnatilgan onlayn kalkulyatorlari boʻlgan koʻplab manbalar mavjud. Gauss matritsalari, tenglamalar sistemalari bu dasturlar yordamida bir necha soniyalarda yechiladi. Talabalar faqat kerakli parametrlarni ko'rsatishlari kerak (masalan, tenglamalar soni,oʻzgaruvchilar soni).