Raqam tizimlari - bu nima? Bu savolga javobni bilmagan holda ham, har birimiz hayotimizda beixtiyor sanoq tizimlaridan foydalanamiz va bundan shubhalanmaymiz. To'g'ri, ko'plik! Ya'ni, bitta emas, balki bir nechta. Nopozitsion sanoq sistemalariga misollar keltirishdan oldin, keling, bu masalani tushunib olaylik, keling, pozitsion tizimlar haqida ham gapiraylik.
Hisob-faktura kerak
Qadim zamonlardan beri odamlar hisoblashga muhtoj bo'lgan, ya'ni ular narsa va hodisalarning miqdoriy tasavvurini qandaydir tarzda ifodalash kerakligini intuitiv ravishda tushungan. Miya hisoblash uchun ob'ektlardan foydalanish kerakligini taklif qildi. Barmoqlar har doim eng qulay bo'lgan va bu tushunarli, chunki ular har doim mavjud (kamdan-kam holatlardan tashqari).
Shunday qilib, insoniyatning qadimgi vakillari barmoqlarini tom ma'noda egishlari kerak edi - masalan, o'ldirilgan mamontlar sonini ko'rsatish uchun. Hisobning bunday elementlari hali nomlarga ega emas edi, faqat vizual rasm, taqqoslash.
Zamonaviy pozitsion sanoq tizimlari
Raqam tizimi ma'lum belgilar (ramzlar yoki harflar) yordamida miqdoriy qiymatlar va miqdorlarni ifodalash usuli (yo'li).
Pozitsiyali bo’lmagan sanoq sistemalariga misollar keltirishdan oldin sanashda pozitsion va nopozitsion nima ekanligini tushunish kerak. Ko'pgina pozitsion sanoq tizimlari mavjud. Hozirgi vaqtda bilimning turli sohalarida quyidagilar qo'llaniladi: ikkilik (faqat ikkita muhim elementni o'z ichiga oladi: 0 va 1), o'n oltilik (belgilar soni - 6), sakkizlik (belgilar - 8), o'n ikkilik (o'n ikki belgi), o'n oltilik (o'n oltitani o'z ichiga oladi). belgilar). Bundan tashqari, tizimdagi belgilarning har bir qatori noldan boshlanadi. Zamonaviy kompyuter texnologiyalari ikkilik kodlar - ikkilik pozitsion sanoq tizimidan foydalanishga asoslangan.
Onlik sanoq tizimi
Pozitivlik - bu sonning belgilari joylashgan turli darajadagi muhim pozitsiyalarning mavjudligi. Buni o'nlik sanoq sistemasi misolida ko'rsatish mumkin. Axir biz bolalikdan foydalanishga odatlanganmiz. Bu tizimda o'nta belgi mavjud: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 327 raqamini oling. Uning uchta belgisi bor: 3, 2, 7. Ularning har biri quyidagi manzilda joylashgan. o'z pozitsiyasi (joyi). Yettita bitta qiymat (birliklar), ikkitasi o'nlab, uchtasi esa yuzlablik uchun ajratilgan pozitsiyani egallaydi. Raqam uch xonali bo'lgani uchun, unda faqat uchta pozitsiya mavjud.
Yuqoridagilarga asoslanib, buuch xonali o'nlik sonni quyidagicha ta'riflash mumkin: uch yuzlik, ikki o'nlik va etti birlik. Bundan tashqari, pozitsiyalarning ahamiyati (ahamiyati) chapdan o'ngga, zaif pozitsiyadan (bir) kuchliroq (yuzlab)gacha hisoblanadi.
Oʻnlik pozitsion sanoq tizimida oʻzimizni juda qulay his qilamiz. Bizning qo'limizda o'nta barmoq bor, oyoqlarimizda esa xuddi shunday. Besh plyus besh - shuning uchun barmoqlar tufayli biz bolalikdan o'nlab narsalarni osongina tasavvur qilamiz. Shuning uchun bolalar besh va o'nga ko'paytirish jadvallarini o'rganishlari oson. Ko‘pincha besh va o‘nga karrali (ya’ni qoldiqsiz bo‘lingan) banknotlarni hisoblashni o‘rganish ham juda oson.
Boshqa pozitsion sanoq tizimlari
Ko'pchilikni hayratda qoldiradigan bo'lsak, shuni aytish kerakki, bizning miyamiz nafaqat o'nlik sanoq tizimida, balki ba'zi hisob-kitoblarni bajarishga odatlangan. Shu paytgacha insoniyat olti va o‘n ikkilik sanoq sistemalaridan foydalanib kelgan. Ya'ni, bunday tizimda bor-yo'g'i oltita belgi mavjud (o'n oltilik tizimda): 0, 1, 2, 3, 4, 5. O'n ikkilik tizimda ularning o'n ikkitasi bor: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, bu erda A - 10 raqamini, B - 11 raqamini bildiradi (chunki belgi bitta bo'lishi kerak).
O'zingiz baho bering. Biz vaqtni oltitaga hisoblaymiz, shunday emasmi? Bir soat oltmish daqiqa (olti o'nlik), bir kun yigirma to'rt soat (ikki marta o'n ikki), bir yil o'n ikki oy va hokazo… Barcha vaqt oraliqlari olti va o'n ikkilik qatorlarga osongina mos keladi. Ammo biz bunga shunchalik ko'nikib qolganmizki, vaqtni hisoblaganda bu haqda o'ylamaymiz ham.
Pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimlari. Birlik
Bu nima ekanligini aniqlash kerak - nopozitsion sanoq sistemasi. Bu shunday belgilar tizimiki, unda raqam belgilari uchun pozitsiyalar mavjud emas yoki raqamni "o'qish" printsipi pozitsiyaga bog'liq emas. Shuningdek, u yozish yoki hisoblash uchun oʻz qoidalariga ega.
Pozitsiyasiz sanoq sistemalariga misollar keltiramiz. Keling, antik davrga qaytaylik. Odamlarga hisob kerak edi va eng oddiy ixtiro - tugunlar bilan chiqdi. Nopozitsion sanoq sistemasi tugunli hisoblanadi. Bitta buyum (bir qop guruch, ho‘kiz, pichan va h.k.), masalan, oldi-sotdida hisoblanib, ipga tugun bog‘langan.
Natijada shuncha qop guruch sotib olinsa, arqonda shuncha tugun yasaldi (misol sifatida). Ammo bu yog'och tayoqdagi, tosh plitadagi va hokazolardagi teshiklar ham bo'lishi mumkin. Bunday sanoq sistemasi nodulyar deb nomlana boshladi. Uning ikkinchi ismi bor - birlik yoki bitta ("uno" lotincha "bir" degan ma'noni anglatadi).
Bu sanoq sistemasi pozitsiyali emasligi ayon boʻladi. Axir, u (lavozim) faqat bitta bo'lsa, qanday lavozimlar haqida gapirish mumkin! Ajabo, Yerning ba'zi qismlarida unar pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimi hali ham qo'llanilayapti.
Shuningdek, nopozitsion sanoq tizimlariga quyidagilar kiradi:
- Rim (harflar raqamlarni yozish uchun ishlatiladi - lotin belgilar);
- qadimgi misrlik (rim tiliga oʻxshash belgilar ham ishlatilgan);
- alifbo (alifbo harflari ishlatilgan);
- Bobil tili (chix yozuvi - to'g'ridan-to'g'ri ishlatiladi vateskari "xanjar");
- yunoncha (alfavit deb ham yuritiladi).
Rim raqamlar tizimi
Qadimgi Rim imperiyasi ham, uning ilmi ham juda ilg’or edi. Rimliklar dunyoga ilm-fan va san'atning ko'plab foydali ixtirolarini, jumladan, ularni hisoblash tizimini berdilar. Ikki yuz yil muqaddam rim raqamlari biznes hujjatlaridagi summalarni belgilash uchun ishlatilgan (shunday qilib qalbakilashtirishning oldi olingan).
Rim raqamlari pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemasiga misol bo'ladi, biz buni hozir bilamiz. Shuningdek, Rim tizimi faol qo'llaniladi, lekin matematik hisoblar uchun emas, balki tor yo'n altirilgan harakatlar uchun. Masalan, Rim raqamlari yordamida kitob nashrlarida tarixiy sanalar, asrlar, jildlar, bo'limlar va boblar sonini belgilash odatiy holdir. Rim belgilari ko'pincha soat terishlarini bezash uchun ishlatiladi. Shuningdek, rim raqamlari pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemasiga misol bo'la oladi.
Rimliklar raqamlarni lotin harflari bilan belgilashgan. Bundan tashqari, ular ma'lum qoidalarga muvofiq raqamlarni yozishdi. Rim raqamlar tizimida asosiy belgilar ro'yxati mavjud bo'lib, ular yordamida barcha raqamlar istisnosiz yozilgan.
| Raqam (o'nlik) | Rim raqami (lotin alifbosining harfi) |
| 1 | men |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Raqamlarni yozish qoidalari
Kerakli raqam belgilarni (lotin harflari) qoʻshish va ularning yigʻindisini hisoblash yoʻli bilan olingan. Keling, Rim tizimida belgilar qanday qilib ramziy ravishda yozilganligini va ularni qanday "o'qish" kerakligini ko'rib chiqaylik. Rim nopozitsion sanoq sistemasida son hosil bo‘lishining asosiy qonunlarini sanab o‘tamiz.
- To'rt - IV raqami ikkita belgidan iborat (I, V - bir va besh). Agar chap tomonda bo'lsa, kattaroq belgidan kichikroq belgini ayirish yo'li bilan olinadi. Kichikroq belgi o'ng tomonda joylashganida, siz qo'shishingiz kerak, keyin siz olti raqamni olasiz - VI.
- Bir-birining yoniga ikkita bir xil belgi qoʻshish kerak. Masalan: SS 200 (C 100) yoki XX 20.
- Agar raqamning birinchi belgisi ikkinchisidan kichik boʻlsa, bu qatordagi uchinchi belgi qiymati hatto birinchisidan ham kichik boʻlgan belgi boʻlishi mumkin. Chalkashmaslik uchun misol keltiramiz: CDX - 410 (o'nlik).
- Ba'zi katta sonlarni turli yo'llar bilan ifodalash mumkin, bu Rim sanoq tizimining kamchiliklaridan biridir. Mana bir nechta misollar: MVM (Rim)=1000 + (1000 - 5)=1995 (o'nlik) yoki MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Bu hammasi emas.
Arifmetik fokuslar
Pozitsiyali boʻlmagan sanoq sistemasi baʼzan sonlarni shakllantirish, ularni qayta ishlash (ular boʻyicha harakatlar) uchun murakkab qoidalar toʻplamidir. Nopozitsion sanoq sistemalarida arifmetik amallar oson emaszamonaviy odamlar uchun. Biz qadimgi Rim matematiklariga hasad qilmaymiz!
Qoʻshishga misol. Keling, ikkita raqamni qo'shishga harakat qilaylik: XIX + XXVI=XXXV, bu vazifa ikki bosqichda amalga oshiriladi:
- Birinchi - raqamlarning kichik kasrlarini oling va qo'shing: IX + VI=XV (V dan keyin I va X dan oldin I bir-birini "yo'q qiladi").
- Ikkinchi - ikkita sonning katta kasrlarini qo'shing: X + XX=XXX.
Ayirish biroz murakkabroq. Kamaytirilishi kerak bo'lgan sonni uning tarkibiy elementlariga bo'lish kerak, keyin esa kamaytiriladigan va ayirilishi kerak bo'lgan sonda takrorlanadigan belgilar. 500 dan 263 ni ayirish:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXXVIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Rim raqamlarini ko'paytirish. Aytgancha, rimliklarda arifmetik amallar belgilari bo‘lmagan, ularni oddiygina so‘zlar bilan belgilaganini ta’kidlash lozim.
Koʻp sonni multiplikatorning har bir alohida belgisiga koʻpaytirish kerak edi, natijada bir nechta mahsulot qoʻshilishi kerak edi. Polinomlar shunday ko'paytiriladi.
Boʻlinishga kelsak, Rim raqamlar tizimidagi bu jarayon eng qiyin boʻlgan va shunday boʻlib qoladi. Bu yerda qadimgi Rim abakidan foydalanilgan. U bilan ishlash uchun odamlar maxsus o'qitilgan (va hamma ham bunday fanni o'zlashtira olmadi).
Pozitsiyali bo'lmagan tizimlarning kamchiliklari haqida
Yuqorida ta'kidlanganidek, nopozitsion sanoq sistemalarining kamchiliklari, foydalanishdagi noqulayliklari bor. Unary oddiy hisoblash uchun etarlicha sodda, ammo arifmetik va murakkab hisoblar uchun u emas.yetarlicha yaxshi.
Rim tilida katta sonlarni shakllantirish uchun yagona qoidalar yo'q va chalkashliklar yuzaga keladi va unda hisob-kitoblarni amalga oshirish ham juda qiyin. Bundan tashqari, qadimgi rimliklar o'z usuli bilan yozishlari mumkin bo'lgan eng katta raqam 100 000 edi.
