Oddiy kasrlar qismning butunga nisbatini bildirish uchun ishlatiladi. Masalan, tort beshta bolaga bo‘lingan, shuning uchun har biriga tortning beshdan bir qismi (1/5) berildi.
Oddiy kasrlar a/b ko'rinishdagi yozuvlar bo'lib, bu erda a va b har qanday natural sonlardir. Numerator birinchi yoki yuqori son, maxraj esa ikkinchi yoki pastki sondir. Maxraj butun boʻlingan qismlar sonini, hisoblagich esa olingan qismlar sonini koʻrsatadi.
Oddiy kasrlar tarixi
Kasrlar birinchi marta 8-asr qoʻlyozmalarida qayd etilgan, ancha keyinroq - 17-asrda ular "singan sonlar" deb ataladi. Bu raqamlar bizga Qadimgi Hindistondan kelgan, keyin arablar tomonidan ishlatilgan va 12-asrga kelib ular evropaliklar orasida paydo bo'lgan.
Dastlab oddiy kasrlar quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan: 1/2, 1/3, 1/4 va hokazo. Numeratorda birlik bo’lgan va butunning kasrlarini ko’rsatadigan bunday kasrlar asosiy deyilgan. Ko'p asrlar o'tibyunonlar va ulardan keyin hindlar boshqa kasrlardan foydalana boshladilar, ularning qismlari istalgan natural sonlardan iborat bo'lishi mumkin.
Oddiy kasrlar tasnifi
Toʻgʻri va notoʻgʻri kasrlar mavjud. To'g'rilari maxraji hisobdan katta bo'lganlar, noto'g'rilari esa aksincha.
Har bir kasr qismning natijasidir, shuning uchun kasr chizig'ini bo'linish belgisi bilan xavfsiz almashtirish mumkin. Ushbu turdagi yozuvlar bo'linishni to'liq amalga oshirish mumkin bo'lmaganda qo'llaniladi. Maqolaning boshidagi misolga murojaat qilib, deylik, bola tortning bir qismini oladi, to'liq taomni emas.
Agar son 2 3/5 (ikkita butun va beshdan uch) kabi murakkab yozuvga ega boʻlsa, u aralashtiriladi, chunki natural son ham kasr qismiga ega. Barcha noto'g'ri kasrlar payni to'liq maxrajga bo'lish yo'li bilan aralash sonlarga erkin aylantirilishi mumkin (shunday qilib, butun qism ajratiladi), qolgan qismi shartli maxraj bilan hisoblagich o'rniga yoziladi. Misol tariqasida 77/15 kasrni olaylik. 77 ni 15 ga bo'lamiz, biz butun sonning 5 qismini va qolgan qismini olamiz 2. Shunday qilib, biz aralash 5 2/15 raqamini olamiz (beshta butun va ikki o'n besh).
Siz teskari amalni ham bajarishingiz mumkin - barcha aralash raqamlar osongina noto'g'ri raqamlarga aylantiriladi. Biz natural sonni (butun qismni) maxraj bilan ko'paytiramiz va kasr qismining soni bilan qo'shamiz. Yuqoridagi amalni 5 2/15 kasr bilan bajaramiz. Biz 5 ni 15 ga ko'paytiramiz, biz 75 ni olamiz. Keyin olingan songa 2 qo'shamiz, biz 77 ni olamiz. Biz maxrajni bir xil qoldiramiz va bu erda kerakli turdagi kasr - 77/15.
Oddiy qisqartirishkasrlar
Kasrlarni kamaytirish operatsiyasi nimani anglatadi? Numerator va maxrajni nolga teng bo'lmagan bitta raqamga bo'lish, bu umumiy bo'luvchi bo'ladi. Misolda, u quyidagicha ko'rinadi: 5/10 ni 5 ga kamaytirish mumkin. Numerator va maxraj 5 raqamiga to'liq bo'linadi va 1/2 kasr olinadi. Agar kasrni kamaytirishning iloji bo'lmasa, u kamaytirilmas deyiladi.
m/n va p/q ko’rinishdagi kasrlar teng bo’lishi uchun quyidagi tenglik bo’lishi kerak: mq=np. Shunga ko'ra, agar tenglik bajarilmasa, kasrlar teng bo'lmaydi. Kasrlar ham solishtiriladi. Maxrajlari teng bo‘lgan kasrlardan hisoblagichi kattaroq bo‘ladi. Aksincha, soni teng bo'lgan kasrlar orasida maxraji kattaroq bo'lgan kasr kichikroq bo'ladi. Afsuski, barcha kasrlarni bu tarzda taqqoslab bo'lmaydi. Ko'pincha kasrlarni solishtirish uchun ularni eng kichik umumiy maxrajga (LCD) keltirish kerak.
NOZ
Buni misol bilan ko'rib chiqamiz: 1/3 va 5/12 kasrlarni solishtirishimiz kerak. Biz maxrajlar bilan ishlaymiz, 3 va 12 raqamlari uchun eng kichik umumiy karrali (LCM) - 12. Keyin, hisoblagichlarga murojaat qilaylik. Biz LCMni birinchi maxrajga ajratamiz, biz 4 raqamini olamiz (bu qo'shimcha omil). Keyin biz 4 raqamini birinchi kasrning numeratoriga ko'paytiramiz, shuning uchun yangi kasr 4/12 paydo bo'ldi. Bundan tashqari, oddiy oddiy qoidalarga amal qilgan holda, kasrlarni osongina solishtirishimiz mumkin: 4/12 < 5/12, ya'ni 1/3 < 5/12.
Esda tuting: agar raqam nolga teng bo'lsa, butun kasr nolga teng bo'ladi. Ammo maxraj hech qachon nolga teng bo'lishi mumkin emas, chunki siz nolga bo'linmaysiz. Qachonmaxraj birga teng bo'lsa, butun kasrning qiymati hisoblagichga teng bo'ladi. Ma’lum bo‘lishicha, har qanday son birlikning pay va maxraji sifatida erkin ifodalanadi: 5/1, 4/1 va hokazo.
Kasrlar bilan arifmetik amallar
Kasrlarni solishtirish yuqorida muhokama qilingan. Keling, yig'indi, ayirma, mahsulot va qisman kasrlarni olishga o'taylik:
Qoʻshish yoki ayirish faqat kasrlar NOZ ga qisqartirilgandan keyin amalga oshiriladi. Shundan so'ng sanoqlar qo'shiladi yoki ayiriladi va maxraj o'zgarmagan holda yoziladi: 5/7 + 1/7=6/7, 5/7 - 1/7=4/7
- Kasrlarni ko'paytirish biroz boshqacha: ular sanoqchilar bilan alohida ishlaydi, keyin esa maxrajlar bilan ishlaydi: 5/71/7=(51) / (77)=5/49.
- Kasrlarni bo'lish uchun birinchisini ikkinchisining o'zaro nisbatiga ko'paytirish kerak (o'zaro 5/7 va 7/5). Shunday qilib: 5/7: 1/7=5/77/1=35/7=5.
Bilish kerakki, aralash sonlar bilan ishlashda operatsiyalar butun sonlar bilan alohida va kasrlar bilan alohida amalga oshiriladi: 5 5/7 + 3 1/7=8 6/7 (sakkizta butun va olti ettinchi qism)). Bunday holda, biz 5 va 3, keyin 1/7 bilan 5/7 qo'shdik. Ko'paytirish yoki bo'lish uchun aralash raqamlarni tarjima qilish va noto'g'ri kasrlar bilan ishlash kerak.
Ehtimol, ushbu maqolani oʻqib chiqib, siz oddiy kasrlar haqida ularning paydo boʻlish tarixidan tortib arifmetik amallargacha boʻlgan hamma narsani bilib oldingiz. Umid qilamizki, barcha savollaringiz hal qilindi.
