Matematikaning bugungi kungacha eng qiyin boʻlimlaridan biri bu kasrlardir. Kasrlar tarixi bir ming yillikdan ko'proq vaqtga ega. Butunni qismlarga bo'lish qobiliyati qadimgi Misr va Bobil hududida paydo bo'lgan. Yillar davomida kasrlar bilan bajariladigan operatsiyalar murakkablashdi, ularni yozish shakli o'zgardi. Qadimgi dunyoning har bir davlati matematikaning ushbu bo'limi bilan "munosabat"ida o'ziga xos xususiyatlarga ega edi.
Kasr nima?
Qoʻshimcha kuch sarflamasdan butunni qismlarga boʻlish zarurati tugʻilganda kasrlar paydo boʻldi. Kasrlar tarixi utilitar muammolarni hal qilish bilan uzviy bog'liqdir. “Kisr” atamasining o‘zi arabcha ildizlarga ega bo‘lib, “buzmoq, bo‘lmoq” ma’nosini bildiruvchi so‘zdan kelib chiqqan. Qadim zamonlardan beri bu ma'noda juda oz narsa o'zgargan. Zamonaviy ta'rif quyidagicha: kasr - bu birlikning bir qismi yoki qismlari yig'indisi. Shunga ko'ra, kasrli misollar sonlarning kasrlari bilan matematik amallarning ketma-ket bajarilishini ifodalaydi.
Bugun ikkitasi borularni qayd etish usuli. Oddiy va o'nli kasrlar turli vaqtlarda paydo bo'lgan: birinchisi qadimiyroqdir.
Qadimdan kelgan
Birinchi marta ular Misr va Bobil hududida fraksiyalar bilan ishlay boshladilar. Ikki davlat matematiklarining yondashuvi sezilarli farqlarga ega edi. Biroq, boshlanish u erda va u erda bir xil edi. Birinchi kasr yarim yoki 1/2 edi. Keyin chorak, uchinchi va boshqalar keldi. Arxeologik qazishmalarga ko'ra, fraksiyalarning paydo bo'lish tarixi taxminan 5 ming yilni tashkil etadi. Birinchi marta sonning kasrlari Misr papiruslarida va Bobil loy lavhalarida topilgan.
Qadimgi Misr
Bugungi kunda oddiy kasr turlariga misrlik kasrlar kiradi. Ular 1/n ko'rinishdagi bir nechta hadlar yig'indisidir. Numerator har doim bitta, maxraj esa natural sondir. Bunday kasrlar, taxmin qilish qanchalik qiyin bo'lmasin, qadimgi Misrda paydo bo'lgan. Barcha aktsiyalarni hisoblashda ularni shunday summalar (masalan, 1/2 + 1/4 + 1/8) shaklida yozishga harakat qilishdi. Faqat 2/3 va 3/4 fraktsiyalari alohida belgilarga ega edi, qolganlari atamalarga bo'lingan. Raqamning kasrlari yig'indi sifatida berilgan maxsus jadvallar mavjud edi.
Bunday tizim haqidagi eng qadimgi ma'lumot miloddan avvalgi II ming yillik boshlariga oid Reyn matematik papirusida uchraydi. U kasrlar yig'indisi sifatida taqdim etilgan yechimlari va javoblari bilan kasrlar jadvali va matematik muammolarni o'z ichiga oladi. Misrliklar sonning kasrlarini qo'shish, bo'lish va ko'paytirishni bilishgan. Nil vodiysida kadrlarierogliflar yordamida yozilgan.
Qadimgi Misrga xos boʻlgan 1/n koʻrinishdagi sonning bir qismini hadlar yigʻindisi sifatida ifodalash nafaqat bu mamlakatda matematiklar tomonidan qoʻllanilgan. O'rta asrlargacha Misr fraksiyalari Gretsiya va boshqa shtatlarda ishlatilgan.
Bobilda matematikaning rivojlanishi
Matematika Bobil shohligida boshqacha ko'rinishga ega edi. Bu erda kasrlarning paydo bo'lish tarixi qadimgi davlat tomonidan o'zidan oldingi Shumer-Akkad sivilizatsiyasidan meros bo'lib qolgan sanoq tizimining o'ziga xos xususiyatlari bilan bevosita bog'liq. Bobildagi hisoblash texnikasi Misrga qaraganda qulayroq va mukammalroq edi. Bu mamlakatda matematika yanada kengroq muammolarni hal qilgan.
Bugungi kunda bobilliklarning yutuqlari haqida mixxat yozuvi bilan toʻldirilgan omon qolgan loy lavhalar orqali baho berishingiz mumkin. Materialning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, ular bizga ko'p miqdorda etib kelgan. Ba'zi olimlarning fikriga ko'ra, Bobil matematiklari Pifagordan oldin ham ma'lum bo'lgan teoremani kashf etganlar, bu, shubhasiz, ushbu qadimgi davlatda fanning rivojlanishidan dalolat beradi.
Kasrlar: Bobildagi kasrlar tarixi
Bobildagi sanoq tizimi kichik jinsli edi. Har bir yangi toifa oldingisidan 60 ga farq qildi. Bunday tizim zamonaviy dunyoda vaqt va burchaklarni ko'rsatish uchun saqlanib qolgan. Kasrlar ham kichik jinsli bo'lgan. Yozib olish uchun maxsus piktogrammalardan foydalanilgan. Misrdagi kabi kasr misollarida 1/2, 1/3 va 2/3 uchun alohida belgilar mavjud.
Bobiltizim davlat bilan birga yo'qolmadi. 60-tizimda yozilgan kasrlar qadimgi va arab astronomlari va matematiklari tomonidan ishlatilgan.
Qadimgi Yunoniston
Oddiy kasrlar tarixi qadimgi Yunonistonda unchalik boyilmagan. Hellas aholisi matematika faqat butun sonlar bilan ishlashi kerak, deb ishonishgan. Shuning uchun qadimgi yunon risolalari sahifalarida kasrli iboralar deyarli uchramagan. Biroq, pifagorchilar matematikaning ushbu sohasiga ma'lum hissa qo'shdilar. Ular kasrlarni nisbatlar yoki nisbatlar deb tushunishgan, shuningdek, birlikni bo'linmas deb hisoblashgan. Pifagor va uning shogirdlari kasrlarning umumiy nazariyasini qurdilar, to‘rtta arifmetik amalni bajarishni, shuningdek, kasrlarni umumiy maxrajga keltirish orqali solishtirishni o‘rgandilar.
Muqaddas Rim imperiyasi
Rim kasrlar tizimi "eshak" deb nomlangan og'irlik o'lchovi bilan bog'liq edi. U 12 ta aktsiyaga bo'lingan. 1/12 assa untsiya deb ataldi. Kasrlar uchun 18 ta nom mavjud edi. Mana ulardan ba'zilari:
- yarim - yarim eshak;
- sekstante - akning oltinchisi;
- yarim untsiya - yarim untsiya yoki 1/24 eys.
Bunday tizimning noqulayligi sonni maxraji 10 yoki 100 boʻlgan kasr shaklida ifodalashning mumkin emasligi edi. Rim matematiklari bu qiyinchilikni foizlar yordamida yengib oʻtishgan.
Oddiy kasrlarni yozish
Antik davrda kasrlar allaqachon tanish usulda yozilgan: bir raqam ikkinchisining ustiga. Biroq, bitta muhim farq bor edi. Numerator joylashgan edimaxraj ostida. Qadimgi Hindistonda birinchi marta kasrlar shunday yozila boshlandi. Arablar biz uchun zamonaviy usuldan foydalana boshladilar. Ammo bu xalqlarning hech biri sanoqchi va maxrajni ajratish uchun gorizontal chiziqdan foydalanmagan. Bu birinchi marta Fibonachchi nomi bilan mashhur bo'lgan Pizalik Leonardoning 1202 yilda yozilgan asarlarida uchraydi.
Xitoy
Agar oddiy kasrlar tarixi Misrda boshlangan boʻlsa, oʻnli kasrlar dastlab Xitoyda paydo boʻlgan. Osmon imperiyasida ular miloddan avvalgi 3-asrdan qo'llanila boshlandi. O'nli kasrlar tarixi xitoylik matematik Lyu Xuydan boshlangan, u kvadrat ildizlarni olish uchun ulardan foydalanishni taklif qilgan.
Eramizning III asrida Xitoyda og'irlik va hajmni hisoblash uchun o'nli kasrlardan foydalanila boshlandi. Asta-sekin ular matematikaga chuqurroq va chuqurroq kira boshladilar. Yevropada esa oʻnli kasrlar ancha keyinroq qoʻllanila boshlandi.
Samarqandlik Al-Kashi
Xitoyning oʻtmishdoshlaridan qatʼi nazar, oʻnli kasrlarni qadimiy Samarqand shahridan astronom al-Koshiy kashf etgan. U 15-asrda yashab ijod qilgan. Olim o'z nazariyasini 1427 yilda nashr etilgan "Arifmetika kaliti" risolasida bayon qilgan. Al-Kashi kasrlar uchun yozuvning yangi shaklini qo'llashni taklif qildi. Endi butun va kasr qismlari bir qatorda yozilar edi. Samarqand astronomi ularni bir-biridan ajratish uchun vergul qo‘ymagan. U qora va qizil siyoh yordamida butun son va kasr qismini turli ranglarda yozgan. Al-Kashi ham ularni ajratish uchun vertikal chiziqdan ham foydalangan.
Yevropadagi oʻnlik sanoqlar
XIII asrdan yevropalik matematiklarning asarlarida kasrlarning yangi turi paydo bo’la boshladi. Shuni ta'kidlash kerakki, ular al-Koshiyning asarlari, shuningdek, xitoyliklarning ixtirosi bilan yaxshi tanish emas edilar. O'nlik kasrlar Iordaniya Nemorariusning asarlarida paydo bo'lgan. Keyin ular 16-asrda Fransua Viet tomonidan ishlatilgan. Fransuz olimi trigonometrik jadvallarni o'z ichiga olgan "Matematik kanon" ni yozgan. Ularda Vyet o'nli kasrlardan foydalangan. Butun va kasr qismlarini ajratish uchun olim vertikal chiziqdan hamda boshqa shrift o‘lchamidan foydalangan.
Ammo bular faqat ilmiy foydalanishning maxsus holatlari edi. Kundalik muammolarni hal qilish uchun Evropada o'nli kasrlar biroz keyinroq qo'llanila boshlandi. Bu 16-asr oxirida golland olimi Simon Stevin tufayli sodir bo'ldi. U 1585 yilda "O'ninchi" matematik asarini nashr etdi. Unda olim o‘nli kasrlarni arifmetikada, pul tizimida qo‘llash hamda o‘lchov va og‘irliklarni aniqlash nazariyasini bayon qilgan.
Nuqta, nuqta, vergul
Stevin ham vergul ishlatmadi. U kasrning ikki qismini aylana chizilgan nol bilan ajratdi.
Birinchi marta vergul oʻnli kasrning ikki qismini ajratgan, faqat 1592-yilda boʻlgan. Angliyada esa uning o'rniga nuqta ishlatilgan. Qo'shma Shtatlarda o'nli kasrlar hali ham shunday yoziladi.
Butun va kasr qismlarni ajratish uchun ikkala tinish belgilaridan foydalanish tashabbuskorlaridan biri Shotlandiya matematigi Jon Nepier edi. U o'z taklifini 1616-1617 yillarda qilgan. vergul ishlatiladiva nemis olimi Iogannes Kepler.
Rossiyadagi kasrlar
Rossiya zaminida butunning qismlarga boʻlinishini taʼkidlagan birinchi matematik Novgorodlik rohib Kirik edi. 1136 yilda u "yillarni hisoblash" usulini ko'rsatgan asar yozdi. Kirik xronologiya va kalendar masalalari bilan shug'ullangan. U oʻz asarida soatning qismlarga boʻlinishini ham keltirgan: beshinchi, yigirma beshinchi va hokazo.
XV-XVII asrlarda soliq miqdorini hisoblashda butunning qismlarga bo'linishi qo'llanilgan. Kasr qismlar bilan qoʻshish, ayirish, boʻlish va koʻpaytirish amallari ishlatilgan.
"Kasr" so'zining o'zi Rossiyada VIII asrda paydo bo'lgan. “Ezmoq, bo‘laklarga bo‘lmoq” fe’lidan keladi. Ota-bobolarimiz kasrlarni nomlash uchun maxsus so'zlardan foydalanganlar. Masalan, 1/2 yarim yoki yarim, 1/4 - to'rt, 1/8 - yarim soat, 1/16 - yarim soat va hokazo sifatida belgilangan.
Kasrlarning to'liq nazariyasi zamonaviydan unchalik farq qilmaydi, Leonti Filippovich Magnitskiy tomonidan 1701 yilda yozilgan arifmetika bo'yicha birinchi darslikda keltirilgan. «Arifmetika» bir necha qismdan iborat edi. Muallif kasrlar haqida "Uzilgan chiziqlar soni yoki kasrlar bilan" bo'limida batafsil gapiradi. Magnitskiy "buzilgan" raqamlar bilan operatsiyalarni, ularning turli belgilarini beradi.
Bugungi kunda ham kasrlar matematikaning eng qiyin boʻlimlaridan biri hisoblanadi. Kasrlar tarixi ham oddiy emas edi. Turli xalqlar, ba'zan bir-biridan mustaqil ravishda, ba'zan esa o'z o'tmishdoshlarining tajribasini o'zlashtirib, sonning kasrlarini kiritish, o'zlashtirish va ishlatish zaruriyatiga kelgan. Kasrlar haqidagi ta'limot har doim amaliy kuzatishlar va hayotiylik tufayli paydo bo'lganmuammolar. Nonni bo'lish, teng er uchastkalarini belgilash, soliqlarni hisoblash, vaqtni o'lchash va hokazolar kerak edi. Kasrlar va ular bilan matematik amallarni qo'llash xususiyatlari davlatdagi sanoq tizimiga va matematikaning umumiy rivojlanish darajasiga bog'liq edi. U yoki bu tarzda, ming yildan ko'proq vaqtni bosib o'tib, algebraning sonlarning kasrlariga bag'ishlangan bo'limi shakllandi, rivojlandi va bugungi kunda turli xil amaliy va nazariy ehtiyojlar uchun muvaffaqiyatli qo'llanilmoqda.
