Matematikada teskari funksiyalar bir-biriga aylanadigan oʻzaro mos ifodalardir. Bu nimani anglatishini tushunish uchun aniq bir misolni ko'rib chiqishga arziydi. Aytaylik, bizda y=cos(x) bor. Agar argumentdan kosinusni olsak, u holda y ning qiymatini topishimiz mumkin. Shubhasiz, buning uchun sizda x bo'lishi kerak. Ammo o'yinchi dastlab berilsa nima bo'ladi? Bu masalaning mohiyatiga yetib boradi. Muammoni hal qilish uchun teskari funktsiyadan foydalanish kerak. Bizning holatimizda bu yoy kosinusu.
Barcha oʻzgartirishlardan soʻng biz quyidagilarni olamiz: x=arccos(y).
Ya'ni, berilgan funktsiyaga teskari funktsiyani topish uchun undan argumentni ifodalash kifoya. Lekin bu faqat natija bitta qiymatga ega bo'lsa ishlaydi (bu haqda keyinroq).
Umumiy ma'noda bu faktni quyidagicha yozish mumkin: f(x)=y, g(y)=x.
Tanrif
Domeni X to’plam bo’lgan f funksiya bo’lsin vaqiymatlar diapazoni Y to'plamidir. Agar domenlari qarama-qarshi vazifalarni bajaradigan g mavjud bo'lsa, f qaytarilishi mumkin.
Bundan tashqari, bu holda g noyobdir, ya'ni bu xususiyatni qanoatlantiradigan aynan bitta funktsiya mavjud (ko'p emas, kam emas). Keyin u teskari funksiya deb ataladi va yozma ravishda quyidagicha belgilanadi: g(x)=f -1(x).
Boshqacha qilib aytganda, ularni ikkilik munosabat sifatida ko'rish mumkin. Qaytarilish faqat to'plamning bir elementi boshqasidan bir qiymatga mos kelganda sodir bo'ladi.
Har doim ham teskari funktsiya mavjud emas. Buning uchun har bir element y ê Y ko'pi bilan bitta x ê X ga mos kelishi kerak. Keyin f birma-bir yoki inyeksiya deb ataladi. Agar f -1 Y ga tegishli bo’lsa, bu to’plamning har bir elementi qandaydir x ∈ X ga mos kelishi kerak. Bunday xususiyatga ega funksiyalar suryeksiyalar deyiladi. Agar Y tasvir f bo'lsa, u ta'rifiga ko'ra amal qiladi, lekin bu har doim ham shunday emas. Teskari bo'lish uchun funktsiya ham in'ektsiya, ham sur'ektsiya bo'lishi kerak. Bunday iboralar bijeksiyalar deb ataladi.
Masalan: kvadrat va ildiz funksiyalari
Funksiya [0, ∞) da aniqlangan va f (x)=x2 formulasi bilan berilgan.
U holda u in'ektsion emas, chunki har bir mumkin bo'lgan Y natijasi (0 dan tashqari) ikki xil X ga to'g'ri keladi - biri ijobiy va bitta salbiy, shuning uchun uni qaytarib bo'lmaydi. Bunday holda, qabul qilinganlardan bir-biriga zid bo'lgan dastlabki ma'lumotlarni olish mumkin bo'lmaydinazariyalar. U in'ektsiyasiz bo'ladi.
Agar ta'rif sohasi shartli ravishda salbiy bo'lmagan qiymatlar bilan cheklangan bo'lsa, unda hamma narsa avvalgidek ishlaydi. Keyin u ikki tomonlama va shuning uchun invertibildir. Bu yerdagi teskari funksiya musbat deyiladi.
Kirish haqida eslatma
F -1 (x) belgisi odamni chalkashtirib yuborishi mumkin, lekin hech qanday holatda uni shunday ishlatmaslik kerak: (f (x)) - 1 . Bu mutlaqo boshqa matematik tushunchaga ishora qiladi va teskari funksiyaga hech qanday aloqasi yo‘q.
Umumiy qoida sifatida, ba'zi mualliflar sin-1 (x).
kabi iboralardan foydalanadilar.
Biroq, boshqa matematiklarning fikricha, bu chalkashlikka olib kelishi mumkin. Bunday qiyinchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun teskari trigonometrik funktsiyalar ko'pincha "arc" (lotin yoyidan) prefiksi bilan belgilanadi. Bizning holatda, biz arksine haqida gapiramiz. Baʼzi boshqa funksiyalar uchun vaqti-vaqti bilan “ar” yoki “inv” prefiksini ham koʻrishingiz mumkin.
