Prizma tushunchasi. Har xil turdagi prizmalar uchun hajm formulalari: muntazam, tekis va qiya. Muammoning yechimi

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Hajm - fazoning barcha uch oʻlchamida nolga teng boʻlmagan oʻlchamlarga ega boʻlgan har qanday figuraning xarakteristikasi. Ushbu maqolada biz stereometriya (fazoviy figuralar geometriyasi) nuqtai nazaridan prizmani ko'rib chiqamiz va har xil turdagi prizmalarning hajmlarini qanday topishni ko'rsatamiz.

Prizma nima?

Stereometriya bu savolga aniq javob beradi. Undagi prizma deganda ikkita bir xil ko'pburchak yuzlar va bir nechta parallelogrammalardan tashkil topgan figura tushuniladi. Quyidagi rasmda toʻrt xil prizma koʻrsatilgan.

Ularning har birini quyidagicha olish mumkin: siz ko'pburchak (uchburchak, to'rtburchak va hokazo) va ma'lum uzunlikdagi segmentni olishingiz kerak. Keyin ko'pburchakning har bir cho'qqisini parallel segmentlar yordamida boshqa tekislikka o'tkazish kerak. Asl tekislikka parallel bo'ladigan yangi tekislikda dastlab tanlanganiga o'xshash yangi ko'pburchak olinadi.

Prizmalar har xil turdagi bo'lishi mumkin. Shunday qilib, ular tekis, qiyshiq va to'g'ri bo'lishi mumkin. Agar prizmaning lateral qirrasi (segment,asoslarning uchlarini bog'lovchi) shaklning asoslariga perpendikulyar, keyin ikkinchisi to'g'ri chiziqdir. Shunga ko'ra, agar bu shart bajarilmasa, u holda biz moyil prizma haqida gapiramiz. Muntazam figura asosi teng va teng burchakli toʻgʻri prizmadir.

Keyinroq maqolada biz ushbu turdagi prizmalarning har birining hajmini qanday hisoblashni ko'rsatamiz.

Doimiy prizmalarning hajmi

Eng oddiy holatdan boshlaylik. n burchakli asosli muntazam prizma hajmining formulasini beramiz. Ko'rib chiqilayotgan sinfning har qanday figurasi uchun V hajm formulasi quyidagicha:

V=S_oh.

Ya'ni hajmni aniqlash uchun S_o asoslaridan birining maydonini hisoblab, uni raqamning h balandligiga ko'paytirish kifoya.

Muntazam prizmada uning asosi tomonining uzunligini a harfi bilan, yon chetining uzunligiga teng boʻlgan balandligini h harfi bilan belgilaymiz. Agar n-gonning asosi to'g'ri bo'lsa, uning maydonini hisoblashning eng oson yo'li quyidagi universal formuladan foydalanishdir:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Tomonlarning soni n va bir tomonning uzunligi a qiymatini tenglikka almashtirib, n burchakli asosning maydonini hisoblashingiz mumkin. E'tibor bering, bu erda kotangent funksiya radianlarda ifodalangan pi/n burchak uchun hisoblanadi.

S uchun yozilgan tenglikni hisobga olib, biz oddiy prizma hajmining yakuniy formulasini olamiz:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Har bir aniq holat uchun siz V uchun mos formulalarni yozishingiz mumkin, lekin ularning hammasiyozma umumiy ifodadan noyob tarzda kelib chiqadi. Misol uchun, umumiy holatda to'rtburchak parallelepiped bo'lgan muntazam to'rtburchak prizma uchun biz quyidagilarni olamiz:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² soat.

Agar bu ifodada h=a ni olsak, kub hajmining formulasini olamiz.

Toʻgʻridan-toʻgʻri prizmalarning hajmi

Biz darhol ta'kidlaymizki, to'g'ri raqamlar uchun hajmni hisoblashning umumiy formulasi yo'q, bu oddiy prizmalar uchun yuqorida keltirilgan. Ko'rib chiqilayotgan qiymatni topishda asl iboradan foydalanish kerak:

V=S_oh.

Bu yerda h - oldingi holatda bo'lgani kabi, yon chetining uzunligi. S_o tayanch maydoniga kelsak, u turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin. To'g'ri hajm prizmasini hisoblash vazifasi uning asosining maydonini topishga qisqartiriladi.

S_o qiymatini hisoblash bazaning o'ziga xos xususiyatlaridan kelib chiqqan holda amalga oshirilishi kerak. Masalan, agar u uchburchak bo'lsa, maydonni quyidagicha hisoblash mumkin:

S_o3=1/2ah_a.

Bu yerda h_a - uchburchakning apotemi, ya'ni uning balandligi a poydevoriga tushirilgan.

Agar asos toʻrtburchak boʻlsa, u trapezoid, parallelogramm, toʻrtburchak yoki butunlay ixtiyoriy turdagi boʻlishi mumkin. Ushbu barcha holatlar uchun maydonni aniqlash uchun tegishli planimetriya formulasidan foydalanish kerak. Masalan, trapezoid uchun bu formula quyidagicha ko'rinadi:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Bu yerda h_a - trapetsiya balandligi, a₁ va a₂ uzunliklari uning parallel tomonlari.

Yuqori tartibli koʻpburchaklar maydonini aniqlash uchun ularni oddiy shakllarga (uchburchaklar, toʻrtburchaklar) boʻlish va ikkinchisining maydonlari yigʻindisini hisoblash kerak.

Tilted prizma tovushi

Bu prizma hajmini hisoblashning eng qiyin holati. Bunday raqamlar uchun umumiy formula ham qo'llaniladi:

V=S_oh.

Biroq, koʻpburchakning ixtiyoriy turini ifodalovchi asosning maydonini topishning murakkabligiga figuraning balandligini aniqlash masalasi qoʻshiladi. Eğimli prizmada u har doim yon chetining uzunligidan kichikroq bo'ladi.

Bu balandlikni topishning eng oson yo'li - agar siz figuraning istalgan burchagini bilsangiz (tekis yoki ikki burchakli). Agar shunday burchak berilgan bo'lsa, u holda prizma ichida to'g'ri burchakli uchburchakni qurish uchun foydalanish kerak, u tomonlardan biri sifatida h balandligini o'z ichiga oladi va trigonometrik funktsiyalar va Pifagor teoremasidan foydalanib, h qiymatini topadi.

Geometrik tovush muammosi

Uchburchak asosli, balandligi 14 sm va yon uzunligi 5 sm boʻlgan muntazam prizma berilgan. Uchburchak prizmaning hajmi qancha?

Biz to'g'ri raqam haqida gapirayotganimiz sababli, biz taniqli formuladan foydalanishga haqlimiz. Bizda:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 sm³.

Uchburchak prizma - bu juda nosimmetrik shakl bo'lib, uning shaklida ko'pincha turli xil me'moriy tuzilmalar tayyorlanadi. Bu shisha prizma optikada ishlatiladi.