Bertran paradoksi ehtimollar nazariyasining klassik talqinidagi muammodir. Jozef buni o'zining "Calcul des probabilités" (1889) asarida, agar mexanizm yoki usul tasodifiy o'zgaruvchi hosil qilsa, ehtimolliklarni aniq belgilash mumkin emasligiga misol sifatida kiritgan.
Muammo bayonnomasi
Bertran paradoksi quyidagicha.
Avval, aylana ichiga chizilgan teng tomonli uchburchakni ko'rib chiqing. Bunday holda, diametr tasodifiy tanlanadi. Uning uchburchakning chetidan uzunroq bo'lish ehtimoli qanday?
Bertran uchta dalil keltirdi, ularning barchasi toʻgʻri koʻrinadi, lekin turli natijalar beradi.
Tasodifiy yakuniy nuqta usuli
Doiradagi ikkita joyni tanlab, ularni birlashtiruvchi yoy chizishingiz kerak. Hisoblash uchun Bertranning ehtimollik paradoksi hisobga olinadi. Tasavvur qilish kerakki, uchburchak uning tepasi akkordning so'nggi nuqtalaridan biriga to'g'ri keladigan tarzda aylantiriladi. To'lashga arziydiE'tibor bering, agar boshqa qism ikki joy orasidagi yoyda bo'lsa, aylana uchburchakning chetidan uzunroqdir. Yoyning uzunligi aylananing uchdan bir qismidir, shuning uchun tasodifiy akkord uzunroq bo'lish ehtimoli 1/3 ga teng.
Tanlash usuli
Doira radiusi va undagi nuqtani tanlash kerak. Shundan so'ng, siz diametrga perpendikulyar bo'lgan bu joy orqali akkord qurishingiz kerak. Bertranning ehtimollar nazariyasining ko'rib chiqilgan paradoksini hisoblash uchun uchburchakning yon tomoni radiusga perpendikulyar bo'lishi uchun aylantirilganligini tasavvur qilish kerak. Tanlangan nuqta aylananing markaziga yaqinroq bo'lsa, akkord oyoqdan uzunroq bo'ladi. Va bu holda, uchburchakning tomoni radiusni ikkiga bo'ladi. Demak, akkordning chizilgan rasmning chetidan uzunroq bo'lish ehtimoli 1/2 ga teng.
Tasodifiy akkordlar
Oʻrta nuqta usuli. Aylanada joy tanlash va berilgan o'rta bilan akkord yaratish kerak. Agar tanlangan joy 1/2 radiusli konsentrik doira ichida bo'lsa, o'q chizilgan uchburchakning chetidan uzunroqdir. Kichikroq doiraning maydoni kattaroq raqamning to'rtdan bir qismini tashkil qiladi. Shunday qilib, tasodifiy akkordning ehtimoli chizilgan uchburchakning chetidan uzunroq va 1/4 ga teng.
Yuqorida keltirilganidek, tanlash usullari diametrli ma'lum akkordlarga beradigan og'irlikda farqlanadi. 1-usulda har bir akkord diametr bo'ladimi yoki yo'qmi, aynan bitta usulda tanlanishi mumkin.
2-usulda har bir toʻgʻri chiziq ikki usulda tanlanishi mumkin. Holbuki, har qanday boshqa akkord tanlanadiimkoniyatlardan faqat bittasi.
3-usulda har bir o'rta nuqtani tanlash bitta parametrga ega. Barcha diametrlarning o'rta nuqtasi bo'lgan doira markazidan tashqari. Natijadagi ehtimollarga ta'sir qilmasdan parametrlarni istisno qilish uchun barcha savollarga "buyurtma berish" orqali bu muammolarning oldini olish mumkin.
Tanlash usullarini ham quyidagi tarzda tasvirlash mumkin. Diametri bo'lmagan akkord faqat o'rta nuqtasi bilan aniqlanadi. Yuqorida keltirilgan uchta tanlov usulining har biri o'rtaning boshqa taqsimotini ishlab chiqaradi. Va 1 va 2-variantlar ikkita bir xil bo'lmagan qismlarni taqdim etadi, 3-usul esa bir xil taqsimotni beradi.
Bertran muammosini echishning klassik paradoksi akkordning "tasodifiy" tanlangan usuliga bog'liq. Ma’lum bo‘lishicha, agar tasodifiy tanlash usuli oldindan ko‘rsatilgan bo‘lsa, muammo aniq yechimga ega bo‘ladi. Buning sababi shundaki, har bir alohida usul o'ziga xos akkord taqsimotiga ega. Bertran tomonidan ko'rsatilgan uchta qaror tanlovning turli usullariga mos keladi va qo'shimcha ma'lumot yo'q bo'lganda, birini boshqasidan ustun qo'yish uchun hech qanday sabab yo'q. Shunga ko'ra, ko'rsatilgan muammoning yagona yechimi yo'q.
Umumiy javobni qanday qilib noyob qilish mumkinligiga misol qilib akkordning soʻnggi nuqtalari 0 va c oraligʻida teng masofada joylashganligini koʻrsatish mumkin, bunda c - aylana aylanasi. Bu taqsimot Bertranning birinchi argumentidagi bilan bir xil va natijada noyob ehtimollik 1/3 ni tashkil qiladi.
Bu Bertran Rassell paradoksi va klassikaning boshqa o'ziga xosliklariimkoniyat talqinlari yanada qat'iy formulalarni oqlaydi. Jumladan, ehtimollik chastotasi va subyektivistik Bayes nazariyasi.
Bertran paradoksi asosida nima yotadi
1973-yilgi "Yaxshi qo'yilgan muammo" maqolasida Edvin Jeyns o'zining noyob yechimini taklif qildi. U Bertranning paradoksi “maksimal jaholat” tamoyiliga asoslangan asosga asoslanganligini ta’kidladi. Bu muammo bayonotida ko'rsatilmagan ma'lumotlardan foydalanmaslik kerakligini anglatadi. Jeynsning ta'kidlashicha, Bertran muammosi doiraning o'rnini yoki hajmini aniqlamaydi. Va shuning uchun har qanday aniq va ob'ektiv qaror hajmi va pozitsiyasiga "befarq" bo'lishi kerakligini ta'kidladi.
Tasviriy maqsadlar uchun
Barcha akkordlar 2 sm lik aylanaga tasodifiy joylashtirilgan deb faraz qilsangiz, endi unga uzoqdan somon tashlashingiz kerak.
Keyin kattaroq shaklga mos keladigan kichikroq diametrli (masalan, 1 santimetr) boshqa doirani olishingiz kerak. Keyin bu kichikroq doiradagi akkordlarning taqsimlanishi maksimal doiradagi kabi bo'lishi kerak. Agar ikkinchi raqam ham birinchisining ichida harakat qilsa, ehtimollik, qoida tariqasida, o'zgarmasligi kerak. 3-usul uchun quyidagi o'zgarish sodir bo'lishini ko'rish juda oson: kichik qizil doiradagi akkordlarning taqsimlanishi katta doiradagi taqsimotdan sifat jihatidan farq qiladi.
1-usul uchun ham xuddi shunday. Grafik koʻrinishda koʻrish qiyinroq boʻlsa ham.
2-usul yagonaBu ham masshtab, ham tarjima invariantiga aylanadi.
3-usul shunchaki kengaytirilishi mumkin.
1-usul ikkalasi ham emas.
Biroq, Jeyns bu usullarni qabul qilish yoki rad etish uchun invariantlardan osongina foydalanmadi. Bu uning mantiqiy ma'no jihatlariga mos keladigan yana bir ta'riflanmagan usul mavjudligi ehtimolini qoldiradi. Jeyns invariantlarni tavsiflovchi integral tenglamalarni qo'llagan. To'g'ridan-to'g'ri ehtimollik taqsimotini aniqlash uchun. Uning muammosida integral tenglamalar haqiqatan ham o'ziga xos yechimga ega va bu yuqoridagi ikkinchi tasodifiy radius usuli deb atalgan.
2015 yilgi maqolasida Alon Drori Jeyns printsipi yana ikkita Bertrand yechimini berishi mumkinligini ta'kidlaydi. Muallif o'zgarmaslikning yuqoridagi xususiyatlarini matematik tarzda amalga oshirish noyob emas, balki odam foydalanishga qaror qilgan asosiy tasodifiy tanlash protsedurasiga bog'liqligiga ishontiradi. U uchta Bertran yechimining har birini aylanish, masshtablash va translyatsion o'zgarmaslik yordamida olish mumkinligini ko'rsatadi. Shu bilan birga, Jeyn printsipi xuddi befarqlik uslubining o'zi kabi talqin qilinishi mumkin degan xulosaga keldik.
Jismoniy tajribalar
2-usul statistik mexanika va gaz tuzilishi kabi oʻziga xos fiziologik tushunchalarda mavjud boʻlgan transformatsiya invariantlarini qondiradigan yagona yechimdir. Shuningdek, taklif qilinganJeynsning kichik doira ichidan somon uloqtirish tajribasi.
Biroq, boshqa usullarga muvofiq javob beradigan boshqa amaliy tajribalar ishlab chiqilishi mumkin. Misol uchun, birinchi tasodifiy yakuniy nuqta usuli bo'yicha yechimga kelish uchun siz hududning markaziga hisoblagichni biriktirishingiz mumkin. Va ikkita mustaqil aylanish natijalari akkordning oxirgi joylarini ta'kidlasin. Uchinchi usulning yechimiga erishish uchun, masalan, aylanani pekmez bilan qoplash va chivin qo'nadigan birinchi nuqtani o'rta akkord sifatida belgilash mumkin. Bir nechta tadqiqotchilar turli xulosalar chiqarish uchun tadqiqotlar yaratdilar va natijalarni empirik tarzda tasdiqladilar.
Oxirgi voqealar
2007-yilda chop etilgan "Bertran paradoksi va befarqlik printsipi" maqolasida Nikolas Shakkel bir asrdan ko'proq vaqt o'tgan bo'lsa ham, muammo haligacha hal etilmaganligini ta'kidlaydi. U befarqlik tamoyilini rad etadi. Bundan tashqari, Darrell R. Robottom o'zining 2013 yildagi "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Nega barcha yechimlar amaliy emas" nomli maqolasida taklif qilingan barcha qarorlarning o'z savoliga hech qanday aloqasi yo'qligini ko'rsatadi. Shunday qilib, paradoksni yechish avval o‘ylanganidan ancha qiyin bo‘lishi ma’lum bo‘ldi.
Shakelning ta'kidlashicha, hozirgacha ko'plab olimlar va fandan uzoq odamlar Bertranning paradoksini hal qilishga harakat qilishgan. Buni ikki xil yondashuv yordamida yengish mumkin.
Ekvivalent bo'lmagan masalalar o'rtasidagi farq ko'rib chiqilgan va muammo har doim to'g'ri deb hisoblanganlar. Shakel o'z kitoblarida Luidan iqtibos keltiradiMarinoff (differensiatsiya strategiyasining tipik eksponenti sifatida) va Edvin Jeyns (yaxshi o'ylangan nazariya muallifi sifatida).
Ammo, Diederik Aerts va Massimiliano Sassoli de Bianchi o'zlarining so'nggi ishlarida "Murakkab muammoni hal qilish"da Bertrand paradoksini hal qilish uchun binolarni aralash strategiyada izlash kerak, deb hisoblashadi. Ushbu mualliflarning fikriga ko'ra, birinchi qadam tasodifiy ob'ektning tabiatini aniq ko'rsatish orqali muammoni hal qilishdir. Va faqat bu amalga oshirilgandan so'ng, har qanday muammoni to'g'ri deb hisoblash mumkin. Jeyns shunday fikrda.
Demak, uni hal qilish uchun maksimal johillik tamoyilidan foydalanish mumkin. Shu maqsadda va muammo akkordni qanday tanlash kerakligini aniqlamaganligi sababli, printsip turli xil imkoniyatlar darajasida emas, balki ancha chuqurroqda qo'llaniladi.
Qismlarni tanlash
Muammoning bu qismi barcha mumkin boʻlgan usullar boʻyicha meta-oʻrtachani hisoblashni talab qiladi, mualliflar uni universal oʻrtacha deb atashadi. Buni hal qilish uchun ular diskretizatsiya usulidan foydalanadilar. Wiener jarayonlarida ehtimollik qonunini aniqlashda nima qilinayotganidan ilhomlangan. Ularning natijasi Jeynsning raqamli xulosasiga mos keladi, garchi ularning yaxshi qoʻyilgan muammosi asl muallifning muammosidan farq qilsa-da.
Iqtisodiyot va tijoratda uning yaratuvchisi Jozef Bertran nomi bilan atalgan Bertran paradoksi ikki oʻyinchi (firma) Nash muvozanatiga erishgan vaziyatni tasvirlaydi. Ikkala firma ham marjinal xarajatlarga teng narxni belgilaganda(MS).
Bertranning paradoksi asosga asoslangan. Bu shuni anglatadiki, Kurno raqobati kabi modellarda firmalar sonining ko'payishi narxlarning marjinal xarajatlar bilan yaqinlashishi bilan bog'liq. Ushbu muqobil modellarda Bertranning paradoksi oz sonli firmalarning oligopoliyasida bo'lib, ular narxlarni tannarxdan yuqoriroq qo'yish orqali ijobiy foyda ko'radi.
Boshlash uchun, ikkita A va B firmalari bir xil mahsulot sotadi, deb taxmin qilish kerak, ularning har biri ishlab chiqarish va tarqatish uchun bir xil xarajatlarga ega. Bundan kelib chiqadiki, xaridorlar mahsulotni faqat narxga qarab tanlaydilar. Bu talabning cheksiz narx elastikligini bildiradi. Na A, na B boshqalarga qaraganda yuqori narx belgilamaydi, chunki bu butun Bertrand paradoksining qulashiga olib keladi. Bozor ishtirokchilaridan biri o'z raqibiga taslim bo'ladi. Agar ular bir xil narxni belgilasa, kompaniyalar foydani bo'lishishadi.
Boshqa tomondan, har qanday firma narxini biroz pasaytirsa, u butun bozorni oladi va sezilarli darajada yuqori daromad oladi. A va B buni bilishganligi sababli, mahsulot nol iqtisodiy foydaga sotilmagunicha, ularning har biri raqobatchini pastga tushirishga harakat qiladi.
Yaqinda olib borilgan ishlar shuni koʻrsatdiki, Bertranning aralash strategiya paradoksida monopoliya summasi cheksiz boʻlgan taqdirda ijobiy iqtisodiy foyda bilan qoʻshimcha muvozanat boʻlishi mumkin. Yakuniy foyda holatida narxlar raqobati sharoitida ijobiy o'sish aralash muvozanat sharoitida va hatto umumiy holatda ham mumkin emasligi ko'rsatildi.o'zaro bog'liq tizimlar.
Aslida, Bertranning iqtisoddagi paradoksi amalda kamdan-kam uchraydi, chunki real mahsulotlar deyarli har doim narxdan boshqa yoʻl bilan farqlanadi (masalan, yorliq uchun ortiqcha toʻlov). Firmalar ishlab chiqarish va tarqatish qobiliyatiga cheklovlarga ega. Shuning uchun ikkita kompaniya kamdan-kam hollarda bir xil xarajatlarga ega.
Bertrandning natijasi paradoksaldir, chunki agar firmalar soni birdan ikkitaga oshsa, narx monopoliyadan raqobatbardoshlikka tushadi va keyinchalik ko'payadigan firmalar soni bilan bir xil darajada qoladi. Bu unchalik real emas, chunki haqiqatda bozor kuchiga ega bo'lgan bir nechta firmalar bo'lgan bozorlar narxlarni marjinal xarajatlardan yuqoriroq qo'yishga moyildirlar. Empirik tahlil shuni ko'rsatadiki, ikkita raqobatchi bo'lgan ko'pchilik tarmoqlar ijobiy daromad keltiradi.
Zamonaviy dunyoda olimlar paradoksga raqobatning Kurno modeliga mos keladigan yechimlarni topishga harakat qilmoqdalar. Bozordagi ikkita firma toʻliq raqobatbardoshlik va monopoliya darajasi oʻrtasida ijobiy foyda koʻrayotgan joyda.
Bertran paradoksining iqtisodga bevosita aloqador emasligining ba'zi sabablari:
- Imkoniyatlar chegaralari. Ba'zida firmalar barcha talablarni qondirish uchun etarli imkoniyatlarga ega emaslar. Bu fikr birinchi marta Frensis Edjvort tomonidan ko'tarilgan va Bertrand-Edjvort modeliga asos bo'lgan.
- Butun son narxlar. MC dan yuqori narxlar bundan mustasno, chunki bir firma boshqasini tasodifiy ravishda pasaytirishi mumkin.kichik miqdor. Agar narxlar diskret bo'lsa (masalan, ular butun son qiymatlarini olishlari kerak), unda bir firma ikkinchisini kamida bir rublga qisqartirishi kerak. Bu kichik valyutaning qiymati MC dan yuqori ekanligini anglatadi. Agar boshqa firma uning narxini yuqoriroq belgilasa, boshqa firma uni pasaytirib, butun bozorni egallashi mumkin, Bertranning paradoksi aynan shundan iborat. Bu unga hech qanday foyda keltirmaydi. Bu biznes sotishni 50/50 ga boshqa firma bilan bo‘lishishni va faqat ijobiy daromad olishni afzal ko‘radi.
- Mahsulotni farqlash. Agar turli firmalarning mahsulotlari bir-biridan farq qilsa, iste'molchilar arzonroq mahsulotlarga to'liq o'tmasligi mumkin.
- Dinamik raqobat. Takroriy shovqin yoki takroriy narx raqobati qiymat muvozanatiga olib kelishi mumkin.
- Yuqorroq miqdorga boshqa mahsulotlar. Bu takroriy o'zaro ta'sirdan kelib chiqadi. Agar bitta kompaniya o'z narxini biroz yuqoriroq belgilab qo'ysa, u hali ham taxminan bir xil miqdordagi xaridlarni oladi, lekin har bir mahsulot uchun ko'proq foyda oladi. Shuning uchun, boshqa kompaniya o'z bahosini oshiradi va hokazo. (Faqat takroriy o'yinlarda, aks holda dinamika boshqa yo'nalishda ketadi).
Oligopoliya
Agar ikkita kompaniya narx boʻyicha kelisha olsa, shartnomani saqlab qolish ularning uzoq muddatli manfaatlariga javob beradi: qiymatni pasaytirishdan tushgan daromad shartnomaga rioya qilishdan olingan daromaddan ikki baravar kam boʻladi va faqat boshqa firma oʻz narxini qisqartirguncha davom etadi. shaxsiy narxlar.
Nazariyaehtimolliklar (qolgan matematika kabi) aslida yaqinda ixtiro qilingan. Va rivojlanish silliq kechmadi. Ehtimollar hisobini rasmiylashtirishga birinchi urinishlar Markiz de Laplas tomonidan qilingan bo'lib, u kontseptsiyani natijaga olib keladigan hodisalar sonining nisbati sifatida belgilashni taklif qilgan.
Bu, albatta, barcha mumkin boʻlgan hodisalar soni cheklangan boʻlsagina mantiqiy boʻladi. Qolaversa, barcha hodisalarning ehtimoli bir xil.
Shunday qilib, o'sha paytda bu tushunchalar mustahkam poydevorga ega bo'lmagandek edi. Cheksiz ko'p hodisalarga ta'rifni kengaytirishga urinishlar yanada katta qiyinchiliklarga olib keldi. Bertran paradoksi matematiklarni butun ehtimollik tushunchasidan ehtiyot bo'lishga majbur qilgan ana shunday kashfiyotlardan biridir.
