Geometriya goʻzal, chunki algebradan farqli oʻlaroq, bu yerda nima deb oʻylayotganingiz va nima uchun har doim ham aniq boʻlmaydi, u obʼyektga koʻrinish beradi. Turli jismlardan iborat bu ajoyib dunyo oddiy ko'pburchaklar bilan bezatilgan.
Doimiy koʻpburchaklar haqida umumiy maʼlumot
Ko'pchilikning fikriga ko'ra, oddiy ko'pburchaklar yoki ular Platonik qattiq jismlar deb ham ataladi, o'ziga xos xususiyatlarga ega. Ushbu ob'ektlar bilan bir nechta ilmiy farazlar bog'langan. Ushbu geometrik jismlarni o'rganishni boshlaganingizda, siz oddiy ko'pburchaklar kabi tushuncha haqida deyarli hech narsa bilmasligingizni tushunasiz. Maktabda ushbu ob'ektlarning taqdimoti har doim ham qiziq emas, shuning uchun ko'pchilik ular nima deb nomlanganini eslay olmaydi. Ko'pchilik faqat kubni eslaydi. Geometriyadagi jismlarning hech biri oddiy ko'pburchaklar kabi mukammal emas. Ushbu geometrik jismlarning barcha nomlari Qadimgi Yunonistondan kelib chiqqan. Ular yuzlar sonini bildiradi: tetraedr - to'rt qirrali, olti burchakli - olti qirrali, oktaedr - oktaedr, dodekaedr - o'n ikki qirrali, ikosahedr - yigirma qirrali. Bu barcha geometrik jismlarPlatonning olam haqidagi kontseptsiyasida muhim o'rin egallagan. Ulardan to'rttasi elementlar yoki mavjudotlarni ifodalagan: tetraedr - olov, ikosahedr - suv, kub - yer, oktaedr - havo. Dodekaedr mavjud bo'lgan hamma narsani o'zida mujassam etgan. U asosiysi hisoblangan, chunki u koinotning ramzi edi.
Koʻpburchak tushunchasini umumlashtirish
Koʻp yuzli chekli sonli koʻpburchaklar yigʻindisi boʻlib, shunday qilib:
- koʻpburchaklarning har biri bir vaqtning oʻzida bir tomonda joylashgan faqat bitta boshqa koʻpburchakning tomoni;
- koʻpburchaklarning har biridan unga tutash koʻpburchaklar boʻylab oʻtish orqali boshqasiga oʻtishingiz mumkin.
Koʻpburchakni tashkil etuvchi koʻpburchaklar uning yuzlari, tomonlari esa qirralardir. Ko'pburchaklarning cho'qqilari ko'pburchaklarning uchlaridir. Agar ko'pburchak tushunchasi tekis yopiq siniq chiziqlar deb tushunilsa, u holda ko'pburchakning bitta ta'rifiga keladi. Agar bu tushuncha tekislikning siniq chiziqlar bilan chegaralangan qismini anglatsa, u holda ko'pburchak bo'laklardan tashkil topgan sirt tushunilishi kerak. Qavariq koʻpburchak - tekislikning bir tomonida uning yuziga tutashgan jismdir.
Koʻp yuzli va uning elementlarining yana bir taʼrifi
Koʻpburchak - geometrik jismni cheklovchi koʻpburchaklardan tashkil topgan sirt. Ular:
- qavariq emas;
- qavariq (toʻgʻri va notoʻgʻri).
Doimiy koʻpburchak maksimal simmetriyaga ega boʻlgan qavariq koʻpburchakdir. Muntazam koʻpburchaklar elementlari:
- tetraedr: 6 ta qirra, 4 ta yuz, 5 ta burchak;
- heksahedr (kub): 12, 6, 8;
- dodekaedr: 30, 12, 20;
- oktaedr: 12, 8, 6;
- ikosahedr: 30, 20, 12.
Eyler teoremasi
Bu topologik jihatdan sharga ekvivalent boʻlgan qirralar, choʻqqilar va yuzlar soni oʻrtasidagi munosabatni oʻrnatadi. Har xil muntazam ko'pburchaklarning uchlari va yuzlari sonini (B + D) qo'shib, ularni qirralarning soni bilan taqqoslab, bitta naqsh o'rnatish mumkin: yuzlar va cho'qqilar sonining yig'indisi qirralarning soniga (P) teng bo'ladi. 2 orqali. Siz oddiy formulani olishingiz mumkin:
B + D=R + 2
Bu formula barcha qavariq koʻp yuzlilarga toʻgʻri keladi.
Asosiy ta'riflar
Doimiy koʻpburchak tushunchasini bir jumla bilan tasvirlab boʻlmaydi. Bu yanada mazmunli va hajmli. Tana shunday deb tan olinishi uchun u bir qator ta'riflarga javob berishi kerak. Demak, quyidagi shartlar bajarilsa, geometrik jism muntazam ko‘pburchak bo‘ladi:
- bu qavariq;
- uning har bir uchida bir xil miqdordagi qirralar birlashadi;
- uning barcha yuzlari bir-biriga teng muntazam koʻpburchaklar;
- uning barcha ikki burchakli burchaklari teng.
Doimiy koʻp yuzlilarning xossalari
Doimiy koʻp yuzlilarning 5 xil turi mavjud:
- Kub (heksahedr) - uning tepasida 90° tekis burchakka ega. U 3 qirrali burchakka ega. Tepadagi tekis burchaklar yig'indisi 270°.
- Tetraedr - tepadagi tekis burchak - 60°. U 3 qirrali burchakka ega. Tepadagi tekis burchaklar yig'indisi 180°.
- Oktaedr - tekis burchak burchagi - 60°. U 4 qirrali burchakka ega. Tepadagi tekis burchaklar yig'indisi 240°.
- Dodekaedr - 108° cho'qqidagi tekis burchak. U 3 qirrali burchakka ega. Tepadagi tekis burchaklar yig‘indisi 324°.
- Ikosaedr - u tepada tekis burchakka ega - 60°. U 5 qirrali burchakka ega. Tepadagi tekis burchaklar yig'indisi 300°.
Doimiy koʻpburchaklar maydoni
Ushbu geometrik jismlarning sirt maydoni (S) muntazam koʻpburchakning yuzlari soniga (G) koʻpaytirilganda hisoblanadi:
S=(a: 2) x 2G ctg p/p
Doimiy koʻpburchakning hajmi
Bu qiymat asosida muntazam koʻpburchak joylashgan muntazam piramida hajmini yuzlar soniga koʻpaytirish yoʻli bilan hisoblanadi va uning balandligi chizilgan shar radiusi (r):
V=1: 3rS
Doimiy koʻpburchaklar hajmlari
Har qanday boshqa geometrik jismlar singari oddiy koʻpburchaklar ham turli hajmlarga ega. Quyida ularni hisoblash uchun formulalar keltirilgan:
- tetraedr: a x 3√2: 12;
- oktaedr: a x 3√2: 3;
- ikosahedr; a x 3;
- heksahedr (kub): 5 x a x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedr: a x 3 (15 + 7√5): 4.
Doimiy koʻp yuzli elementlar
Heksahedr va oktaedr ikki tomonlama geometrik jismlardir. Boshqacha qilib aytganda, agar birining yuzining og'irlik markazi ikkinchisining cho'qqisi sifatida qabul qilinsa va aksincha, ularni bir-biridan olish mumkin. Ikosaedr va dodekaedr ham ikki tomonlama. Faqat tetraedr o'zi uchun dualdir. Evklid usuliga ko'ra, kub yuzlarida "tomlar" qurish orqali oltitadan dodekaedr olishingiz mumkin. Tetraedrning uchlari kubning chekka bo'ylab juft bo'lib qo'shni bo'lmagan istalgan 4 ta uchi bo'ladi. Olti yuzli (kub) dan siz boshqa oddiy ko'pburchaklarni olishingiz mumkin. Muntazam koʻpburchaklar son-sanoqsiz boʻlishiga qaramay, faqat 5 ta oddiy koʻpburchaklar mavjud.
Muntazam koʻpburchaklar radiusi
Ushbu geometrik jismlarning har biri bilan bogʻlangan 3 ta konsentrik sharlar mavjud:
- ta'riflangan, cho'qqilarini bosib o'tgan;
- yozilgan, uning har bir yuziga oʻrtasiga tegib;
- median, oʻrtadagi barcha qirralarga tegib.
Tasvirlangan sharning radiusi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
R=a: 2 x tg p/g x tg th: 2
Chizilgan sharning radiusi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
R=a: 2 x ctg p/p x tg th: 2,
bu yerda th - qoʻshni yuzlar orasidagi ikki burchakli burchak.
O'rta sharning radiusini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
r=a cos p/p: 2 sin p/soat,
bu yerda h qiymati=4, 6, 6, 10 yoki 10. Cheklangan va chizilgan radiuslarning nisbati p va q ga nisbatan simmetrikdir. Buformula bo'yicha hisoblangan:
R/r=tg p/p x tg p/q
Koʻp yuzli simmetriya
Doimiy koʻp yuzlilarning simmetriyasi ushbu geometrik jismlarga asosiy qiziqish uygʻotadi. Kosmosda bir xil miqdordagi uchlari, yuzlari va qirralarini qoldiradigan tananing bunday harakati tushuniladi. Boshqacha qilib aytganda, simmetriya oʻzgarishi taʼsirida chekka, choʻqqi, yuz oʻzining dastlabki holatini saqlab qoladi yoki boshqa chekka, choʻqqi yoki yuzning asl holatiga oʻtadi.
Muntazam ko’p yuzli simmetriya elementlari bunday geometrik jismlarning barcha turlariga xosdir. Bu erda biz har qanday nuqtani asl holatida qoldiradigan bir xil transformatsiya haqida gapiramiz. Shunday qilib, ko'pburchak prizmani aylantirganda, siz bir nechta simmetriyalarni olishingiz mumkin. Ularning har qandayini aks ettirish mahsuli sifatida ifodalash mumkin. Juft sonli ko‘zgularning hosilasi bo‘lgan simmetriya to‘g‘ri chiziq deyiladi. Agar u toq sonli ko'zgularning ko'paytmasi bo'lsa, u teskari deyiladi. Shunday qilib, chiziq atrofidagi barcha aylanishlar to'g'ridan-to'g'ri simmetriyadir. Ko‘pburchakning har qanday aksi teskari simmetriyadir.
Muntazam koʻp yuzlilarning simmetriya elementlarini yaxshiroq tushunish uchun tetraedr misolini olishimiz mumkin. Ushbu geometrik figuraning cho'qqilaridan biri va markazidan o'tadigan har qanday to'g'ri chiziq unga qarama-qarshi bo'lgan yuzning markazidan ham o'tadi. Chiziq atrofidagi 120 ° va 240 ° burilishlarning har biri ko'plikdir.tetraedrning simmetriyasi. Uning 4 ta cho'qqisi va 4 ta yuzi borligi sababli, faqat sakkizta to'g'ridan-to'g'ri simmetriya mavjud. Chetning o'rtasidan va bu tananing markazidan o'tadigan har qanday chiziqlar uning qarama-qarshi chetining o'rtasidan o'tadi. To'g'ri chiziq atrofida yarim burilish deb ataladigan har qanday 180 ° aylanish simmetriyadir. Tetraedrning uch juft qirralari bo'lganligi sababli, yana uchta to'g'ridan-to'g'ri simmetriya mavjud. Yuqorida aytilganlarga asoslanib, biz to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalarning umumiy soni, shu jumladan bir xil transformatsiyani o'n ikkitaga etadi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Tetraedrning boshqa to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalari yo'q, lekin u 12 ta teskari simmetriyaga ega. Shuning uchun tetraedr jami 24 ta simmetriya bilan tavsiflanadi. Aniqlik uchun siz kartondan oddiy tetraedrning modelini yasashingiz va bu geometrik jismda haqiqatda atigi 24 ta simmetriya borligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin.
Dodekaedr va ikosahedr tananing sferasiga eng yaqin joylashgan. Ikosaedr eng ko'p yuzga ega, eng katta ikki burchakli burchakka ega va u o'rnatilgan sharga eng qattiq bosilishi mumkin. Dodekaedr eng kichik burchak nuqsoniga ega, tepada eng katta qattiq burchakka ega. U oʻzi tasvirlangan sohani maksimal darajada toʻldirishi mumkin.
Koʻp yuzlilarning supurishlari
Biz hammamiz bolaligimizda yopishgan oddiy oʻralmagan koʻpburchaklar koʻp tushunchalarga ega. Agar har bir tomoni ko'pburchakning faqat bir tomoni bilan aniqlangan ko'pburchaklar to'plami mavjud bo'lsa, tomonlarni aniqlash ikkita shartga javob berishi kerak:
- har bir koʻpburchakdan siz bor koʻpburchaklar ustidan oʻtishingiz mumkinaniqlangan tomon;
- aniqlangan tomonlar bir xil uzunlikka ega boʻlishi kerak.
Mana shu shartlarni qanoatlantiradigan koʻpburchaklar toʻplami koʻpburchakning rivojlanishi deyiladi. Ushbu organlarning har birida ularning bir nechtasi bor. Masalan, kubda ulardan 11 tasi bor.
