Polyhedra nafaqat geometriyada muhim o'rinni egallaydi, balki har bir insonning kundalik hayotida ham uchraydi. Sun'iy ravishda yaratilgan turli xil ko'pburchaklar ko'rinishidagi uy-ro'zg'or buyumlari haqida gapirmasa ham bo'ladi, ular gugurt qutisidan boshlanib, me'moriy elementlar bilan tugaydi, kub (tuz), prizma (kristal), piramida (sheelit), oktaedr (olmos) shaklidagi kristallar, h.k. e.
Koʻp yuzli tushunchasi, geometriyadagi koʻp yuzli turlari
Geometriya fan sifatida uch oʻlchamli figuralarning xarakteristikalari va xossalarini oʻrganuvchi stereometriya boʻlimini oʻz ichiga oladi. Uch o'lchovli fazoda tomonlari cheklangan tekisliklardan (yuzlar) hosil bo'lgan geometrik jismlar "ko'p yuzli" deb ataladi. Koʻp yuzli turlari yuzlar soni va shakli bilan farq qiluvchi oʻndan ortiq vakillarini oʻz ichiga oladi.
Biroq, barcha koʻpburchaklar umumiy xususiyatlarga ega:
- Ularning barchasida 3 ta muhim komponent mavjud: yuz(koʻpburchak yuzasi), tepa (yuzlar tutashgan joyida hosil boʻlgan burchaklar), chekka (figuraning tomoni yoki ikki yuzning tutashgan joyida hosil boʻlgan segment).
- Har bir koʻpburchak qirrasi bir-biriga ulashgan ikkita va faqat ikkita yuzni bogʻlaydi.
- Qavariqlik tananing butunlay yuzlardan biri yotadigan tekislikning faqat bir tomonida joylashganligini bildiradi. Qoida ko'pburchakning barcha yuzlari uchun amal qiladi. Stereometriyada bunday geometrik figuralar qavariq ko'p yuzli deyiladi. Yulduz shaklidagi ko‘p yuzlilar bundan mustasno bo‘lib, ular oddiy ko‘pburchakli geometrik jismlarning hosilalaridir.
Polyhedrani shartli ravishda quyidagilarga bo'lish mumkin:
- Qavariq koʻp yuzli turlari, quyidagi sinflardan iborat: oddiy yoki klassik (prizma, piramida, parallelepiped), muntazam (Platonik qattiq jismlar deb ham ataladi), yarim muntazam (ikkinchi nomi - Arximed qattiq jismlari).
- Qavariq bo'lmagan ko'pburchaklar (yulduz shaklida).
Prizma va uning xossalari
Stereometriya geometriyaning boʻlimi sifatida uch oʻlchamli figuralarning xossalarini, koʻp yuzli turlarini oʻrganadi (prizma shulardan biridir). Prizma - parallel tekisliklarda yotgan ikkita mutlaqo bir xil yuzlari (ularni asoslar deb ham ataladi) va parallelogrammalar ko'rinishidagi yon yuzlarining n-soniga ega bo'lgan geometrik jism. O'z navbatida, prizma ham bir nechta navlarga ega, jumladan, ko'p yuzli turlari:
- Parallelepiped - asosi parallelogramm bo'lsa hosil bo'ladi -2 juft qarama-qarshi burchakli va 2 juft qarama-qarshi tomonlari mos keladigan koʻpburchak.
- Toʻgʻri prizmaning qirralari poydevorga perpendikulyar.
- Qiya prizma yuzlar va poydevor oʻrtasida toʻgʻri boʻlmagan burchaklar (90 dan tashqari) mavjudligi bilan tavsiflanadi.
- Muntazam prizma yon yuzlari teng boʻlgan muntazam koʻpburchak koʻrinishidagi asoslar bilan tavsiflanadi.
Prizmaning asosiy xossalari:
- Kongruent asoslar.
- Prizmaning barcha qirralari teng va bir-biriga parallel.
- Barcha yon yuzlar parallelogramm shaklida.
Piramida
Piramida - geometrik jism bo'lib, u bitta asos va n-sonli uchburchak yuzlardan iborat bo'lib, bir nuqtada - tepada bog'langan. Shuni ta'kidlash kerakki, agar piramidaning yon tomonlari majburiy ravishda uchburchaklar bilan ifodalangan bo'lsa, unda asos uchburchak ko'pburchak yoki to'rtburchak yoki beshburchak va hokazo bo'lishi mumkin. Bunday holda, piramidaning nomi poydevordagi ko'pburchakga mos keladi. Misol uchun, agar uchburchak piramidaning tagida yotsa, u uchburchak piramida, to'rtburchak to'rtburchak va hokazo.
Piramidalar konusga o'xshash ko'pburchaklardir. Ushbu guruhning ko'pburchak turlari, yuqorida sanab o'tilganlardan tashqari, quyidagi vakillarni ham o'z ichiga oladi:
- Muntazam piramida asosida muntazam koʻpburchak boʻlib, balandligi markazga proyeksiyalangan.poydevorga yozilgan yoki uning atrofida aylana.
- Toʻgʻri burchakli piramida yon qirralarning biri asos bilan toʻgʻri burchak ostida kesishganda hosil boʻladi. Bunday holda, bu chetni piramida balandligi deb atash ham adolatli.
Piramida xususiyatlari:
- Agar piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga mos kelsa (bir xil balandlikda), u holda ularning barchasi poydevor bilan bir xil burchak ostida kesishadi va poydevor atrofida markazning proyeksiyasiga to'g'ri keladigan doira chizish mumkin. piramidaning tepasi.
- Agar piramida asosi muntazam koʻpburchak boʻlsa, unda barcha yon qirralari bir-biriga mos, yuzlari esa teng yonli uchburchaklardir.
Muntazam koʻp yuzli: koʻp yuzlilarning turlari va xossalari
Stereometriyada yuzlari mutlaqo teng boʻlgan geometrik jismlar alohida oʻrin tutadi, ularning choʻqqilarida bir xil miqdordagi qirralari tutashgan. Bu qattiq jismlar Platonik qattiq jismlar yoki muntazam ko'p yuzli deb ataladi. Bunday xususiyatlarga ega ko'pburchak turlari faqat beshta shaklga ega:
- Tetraedr.
- Heksahedr.
- Oktaedr.
- Dodekaedr.
- Ikosaedr.
Muntazam koʻpburchaklar oʻz nomini qadimgi yunon faylasufi Platonga bogʻlagan, u oʻz asarlarida bu geometrik jismlarni tasvirlab, ularni tabiiy elementlar: yer, suv, olov, havo bilan bogʻlagan. Beshinchi raqam koinot tuzilishi bilan o'xshashlik bilan taqdirlandi. Uning fikricha, tabiiy elementlarning atomlari shakli bo'yicha muntazam ko'pburchaklar turlariga o'xshaydi. Uning eng hayajonli xususiyati tufayli -simmetriya, bu geometrik jismlar nafaqat qadimgi matematiklar va faylasuflar, balki barcha davrlarning me'morlari, rassomlari va hayk altaroshlari uchun ham katta qiziqish uyg'otgan. Mutlaq simmetriyaga ega bo'lgan atigi 5 turdagi ko'pburchaklarning mavjudligi fundamental kashfiyot hisoblangan, ular hatto ilohiy printsip bilan bog'lanish bilan taqdirlangan.
Heksahedr va uning xossalari
Olti burchak shaklida Platonning vorislari yer atomlarining tuzilishi bilan oʻxshashlikni qabul qilganlar. Albatta, hozirgi vaqtda bu gipoteza butunlay rad etilgan, ammo bu figuralarning zamonaviy zamonda estetikasi bilan mashhur siymolar ongini jalb qilishiga to'sqinlik qila olmaydi.
Geometriyada kub deb ham ataladigan olti burchakli parallelepipedning maxsus holati hisoblanadi va u o'z navbatida prizmaning bir turi hisoblanadi. Shunga ko'ra, kubning xossalari prizmaning xususiyatlari bilan bog'liq bo'lib, yagona farq shundaki, kubning barcha yuzlari va burchaklari bir-biriga teng. Bundan quyidagi xususiyatlar kelib chiqadi:
- Kubning barcha qirralari mos keladi va bir-biriga nisbatan parallel tekisliklarda yotadi.
- Barcha yuzlar bir-biriga mos keladigan kvadratlardir (bir kubda jami 6 tasi bor), ulardan istalganini asos sifatida olish mumkin.
- Barcha interfeys burchaklari 90.
- Har bir cho'qqidan teng miqdordagi qirralar chiqadi, ya'ni 3.
- Kubning 9 ta simmetriya oʻqlari bor, ularning barchasi simmetriya markazi deb ataladigan oltitali diagonallarning kesishish nuqtasida kesishadi.
Tetraedr
Tetraedr - bu uchburchaklar ko'rinishidagi teng yuzli tetraedr, ularning har biri uchlariuch yuzning tutashish nuqtasi.
Muntazam tetraedrning xususiyatlari:
- Tetraedrning barcha yuzlari teng qirrali uchburchaklardir, bu tetraedrning barcha yuzlari bir-biriga mos kelishini bildiradi.
- Asosi muntazam geometrik figura bilan ifodalanganligi, ya'ni tomonlari teng bo'lgani uchun tetraedrning yuzlari bir xil burchak ostida yaqinlashadi, ya'ni barcha burchaklar teng.
- Har bir cho'qqidagi tekis burchaklar yig'indisi 180 ga teng, chunki barcha burchaklar teng bo'lsa, muntazam tetraedrning istalgan burchagi 60 ga teng.
- Har bir cho'qqi qarama-qarshi (ortomarkaz) yuzning balandliklarining kesishish nuqtasiga proyeksiyalangan.
Oktaedr va uning xossalari
Doimiy koʻpburchaklar turlarini tavsiflaganda, oktaedr kabi obʼyektni taʼkidlab oʻtmaslik mumkin, uni vizual ravishda asoslar bilan yopishtirilgan ikkita toʻrtburchak muntazam piramida shaklida koʻrsatish mumkin.
Oktaedrning xossalari:
- Geometrik jismning nomi uning yuzlari sonini bildiradi. Oktaedr 8 ta mos keladigan teng qirrali uchburchakdan iborat bo'lib, ularning har bir cho'qqisida teng miqdordagi yuzlar yaqinlashadi, ya'ni 4.
- Oktaedrning barcha yuzlari teng boʻlgani uchun uning interfeys burchaklari ham teng boʻlib, ularning har biri 60 ga teng va choʻqqilarning birortasi tekislik burchaklarining yigʻindisi shu tariqa 240 ga teng.
Dodekaedr
Agar biz geometrik jismning barcha yuzlarini oddiy beshburchak deb tasavvur qilsak, biz dodekaedrni olamiz -12 ta koʻpburchakli raqam.
Dodekaedrning xususiyatlari:
- Har bir tepada uchta yuz kesishadi.
- Barcha yuzlar teng, chekka uzunligi va maydoni bir xil.
- Dodekaedrda 15 ta oʻq va simmetriya tekisliklari mavjud boʻlib, ularning har biri yuzning choʻqqisi va qarama-qarshi qirrasi oʻrtasidan oʻtadi.
Ikosaedr
Dodekaedrdan kam qiziq emas, ikosahedr figurasi 20 ta teng yuzli uch oʻlchamli geometrik jismdir. Muntazam yigirma hedronning xususiyatlari orasida quyidagilarni ta'kidlash mumkin:
- Ikosaedrning barcha yuzlari teng yonli uchburchaklardir.
- Koʻpburchakning har bir choʻqqisida beshta yuz birlashadi va choʻqqining qoʻshni burchaklarining yigʻindisi 300 ga teng.
- Ikosaedr, xuddi dodekaedr kabi, qarama-qarshi yuzlarning oʻrta nuqtalaridan oʻtuvchi 15 ta oʻq va simmetriya tekisliklariga ega.
Yarim muntazam koʻpburchaklar
Platonik qattiq jismlardan tashqari, qavariq koʻpyoqlamalar guruhiga kesilgan oddiy koʻpyoqlilar boʻlgan Arximed qattiq jismlari ham kiradi. Ushbu guruhning ko'pburchak turlari quyidagi xususiyatlarga ega:
- Geometrik jismlarning bir necha turdagi juftlik teng yuzlari bor, masalan, kesilgan tetraedr oddiy tetraedr kabi 8 ta yuzga ega, ammo Arximed qattiq jismida 4 ta yuz uchburchak, 4 tasi olti burchakli boʻladi.
- Bir choʻqqining barcha burchaklari mos.
Yulduzli koʻp yuzli
Geometrik jismlarning hajmli boʻlmagan turlari vakillari yuzlari bir-birini kesib oʻtuvchi yulduzli koʻpburchaklardir. Ular ikkita oddiy 3D qattiq jismni birlashtirish yoki yuzlarini kengaytirish orqali hosil bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, bunday yulduzli koʻpburchaklar shunday nomlanadi: oktaedr, dodekaedr, ikosahedr, kuboktaedr, ikosododekadrning yulduzsimon shakllari.
