Pifagorning ta'kidlashicha, bu raqam asosiy elementlar bilan birga dunyoning asosini tashkil qiladi. Aflotunning fikricha, raqam hodisa va noumenni bog'laydi, bilish, o'lchash va xulosa chiqarishga yordam beradi. Arifmetika "arifmos" so'zidan kelib chiqqan - son, matematikadagi boshlang'ichlarning boshlanishi. U har qanday ob'ektni tasvirlashi mumkin - elementar olmadan tortib mavhum bo'shliqlargacha.
Rivojlanish omili sifatidagi ehtiyojlar
Jamiyat shakllanishining dastlabki bosqichlarida odamlarning ehtiyojlari hisob yuritish zarurati bilan chegaralangan - bir qop don, ikki qop don va hokazo. Buning uchun natural sonlar yetarli edi, ularning to’plami butun sonlarning cheksiz musbat ketma-ketligi N.
Keyinchalik, matematikaning fan sifatida rivojlanishi bilan Z butun sonlarining alohida maydoniga ehtiyoj paydo bo'ldi - u manfiy qiymatlarni va nolni o'z ichiga oladi. Uning uy xo'jaliklari darajasida paydo bo'lishi birlamchi buxg alteriya hisobida qandaydir tarzda tuzatish zarurligi bilan bog'liq edi.qarzlar va zararlar. Ilmiy darajada manfiy sonlar eng oddiy chiziqli tenglamalarni yechish imkonini berdi. Boshqa narsalar qatorida, mos yozuvlar nuqtasi paydo bo'lganligi sababli, arzimas koordinatalar tizimining tasviri endi mumkin bo'ldi.
Keyingi qadam kasr sonlarini joriy qilish zarurati edi, chunki fan bir joyda turmagani uchun tobora koʻproq kashfiyotlar oʻsishning yangi turtki uchun nazariy asosni talab qilardi. Ratsional sonlar maydoni shunday paydo bo'ldi Q.
Nihoyat, ratsionallik so'rovlarni qondirishni to'xtatdi, chunki barcha yangi xulosalar asoslashni talab qildi. Haqiqiy sonlar sohasi R, Evklidning ma'lum miqdorlarning irratsionalligi tufayli o'lchovsizligi haqidagi asarlari paydo bo'ldi. Ya'ni, qadimgi yunon matematiklari sonni faqat doimiy emas, balki o'lchovsiz miqdorlar nisbati bilan tavsiflangan mavhum miqdor sifatida ham joylashtirgan. Haqiqiy raqamlar paydo bo'lganligi sababli, "pi" va "e" "nurni ko'rgan" kabi kattaliklar, ularsiz zamonaviy matematika amalga oshirilmaydi.
Yakuniy yangilik C kompleks raqami edi. U bir qator savollarga javob berdi va ilgari kiritilgan postulatlarni rad etdi. Algebraning jadal rivojlanishi tufayli natijani oldindan aytish mumkin edi - haqiqiy raqamlarga ega bo'lish, ko'p muammolarni hal qilish mumkin emas edi. Masalan, murakkab sonlar tufayli simlar va tartibsizliklar nazariyasi ajralib turdi va gidrodinamika tenglamalari kengaydi.
Toʻplam nazariyasi. Cantor
Har doim cheksizlik tushunchasimunozaralarga sabab bo'ldi, chunki uni na isbotlab, na inkor etib bo'lmasdi. Qattiq tasdiqlangan postulatlar bilan ishlaydigan matematika kontekstida bu o'zini eng yaqqol namoyon qildi, ayniqsa ilm-fanda ilohiy jihat hali ham muhim ahamiyatga ega bo'lganligi sababli.
Ammo matematik Georg Kantorning ishi tufayli vaqt oʻtishi bilan hammasi joyiga tushdi. U cheksiz miqdordagi cheksiz to'plamlar mavjudligini va ularning ikkalasining ham oxiri bo'lmasa ham, R maydoni N maydonidan katta ekanligini isbotladi. 19-asrning oʻrtalarida uning gʻoyalari baland ovozda safsata va klassik, buzilmas qonunlarga qarshi jinoyat deb ataldi, ammo vaqt hamma narsani oʻz oʻrniga qoʻydi.
Maydonning asosiy xususiyatlari R
Haqiqiy sonlar nafaqat ular tarkibiga kiradigan kichik to'plamlar bilan bir xil xususiyatlarga ega, balki elementlarning masshtabiga ko'ra boshqalar tomonidan ham to'ldiriladi:
- Nol mavjud va R maydoniga tegishli. R dan istalgan c uchun c + 0=c.
- Nol mavjud va R maydoniga tegishli. R dan istalgan c uchun c x 0=0.
- d ≠ 0 uchun c: d munosabati mavjud va R dan har qanday c, d uchun amal qiladi.
- R maydoni tartiblangan, ya'ni c ≦ d, d ≦ c bo'lsa, R dan istalgan c, d uchun c=d bo'ladi.
- R maydonidagi qoʻshish kommutativ, yaʼni har qanday c uchun c + d=d + c, R dan d.
- R maydonidagi ko'paytirish kommutativ, ya'ni har qanday c uchun c x d=d x c, R dan d.
- R maydonidagi qoʻshimcha assotsiativdir, yaʼni (c + d) + f=c + (d + f) R dan istalgan c, d, f uchun.
- R maydonidagi ko'paytirish assotsiativdir, ya'ni (c x d) x f=c x (d x f) R dan istalgan c, d, f uchun.
- R maydonidagi har bir raqam uchun qarama-qarshilik mavjud, shundayki c + (-c)=0, bu erda c, -c R dan.
- R maydonidagi har bir raqam uchun uning teskarisi mavjud, shundayki c x c-1 =1, bu erda c, c-1 R. dan
- Birlik mavjud va R ga tegishli, shuning uchun c x 1=c, R dan istalgan c uchun.
- Taqsimot qonuni amal qiladi, shuning uchun c x (d + f)=c x d + c x f, R dan istalgan c, d, f uchun.
- R maydonida nol birga teng emas.
- R maydoni oʻtishli: agar c ≦ d, d ≦ f boʻlsa, u holda R dan istalgan c, d, f uchun c ≦ f boʻladi.
- R maydonida tartib va qoʻshish bogʻlangan: agar c ≦ d boʻlsa, u holda R dan istalgan c, d, f uchun c + f ≦ d + f.
- R maydonida tartib va koʻpaytirish bogʻlangan: agar 0 ≦ c, 0 ≦ d boʻlsa, u holda R dan istalgan c, d uchun 0 ≦ c x d boʻladi.
- Ham manfiy, ham musbat haqiqiy sonlar uzluksizdir, ya'ni R dan har qanday c, d uchun R dan f mavjud, shundayki c ≦ f ≦ d.
R maydonidagi modul
Haqiqiy raqamlar modulni o'z ichiga oladi.
|f| sifatida belgilanadi R.dan har qanday f uchun |f|=f, agar 0 ≦ f va |f| bo'lsa=-f agar 0 > f bo'lsa. Agar modulni geometrik miqdor deb hisoblasak, u bosib o'tgan masofadir - siz noldan minusga "o'tdingizmi" yoki plyusga oldinga siljishingiz muhim emas.
Kompleks va haqiqiy sonlar. Qanday o'xshashliklar bor va qanday farqlar bor?
Kompleks va haqiqiy sonlar bitta va bir xil, bundan tashqarikvadrati -1 bo'lgan xayoliy birlik i. R va C maydonlarining elementlari quyidagi formula sifatida ifodalanishi mumkin:
c=d + f x i, bu erda d, f R maydoniga tegishli va i xayoliy birlik
Bu holda R dan c ni olish uchun f oddiygina nolga tenglashtiriladi, ya'ni sonning faqat haqiqiy qismi qoladi. Kompleks sonlar maydoni haqiqiy sonlar maydoniga xos xususiyatlar to‘plamiga ega bo‘lganligi sababli, f=0 bo‘lsa, f x i=0.
Amaliy farqlarga kelsak, masalan, R maydonida diskriminant manfiy bo'lsa, kvadrat tenglama yechilmaydi, C maydoni esa xayoliy birlik i kiritilishi tufayli bunday cheklovni qo'ymaydi.
Natijalar
Matematika asos boʻlgan aksiomalar va postulatlarning “gʻishtlari” oʻzgarmaydi. Axborotning ko'payishi va yangi nazariyalarning kiritilishi munosabati bilan ularning ba'zilariga quyidagi "g'ishtlar" qo'yiladi, bu kelajakda keyingi qadam uchun asos bo'lishi mumkin. Masalan, natural sonlar haqiqiy R maydonining kichik to‘plami bo‘lishiga qaramay, o‘z ahamiyatini yo‘qotmaydi. Insonning dunyoni bilishi boshlanadigan barcha elementar arifmetika aynan ularga asoslanadi.
Amaliy nuqtai nazardan haqiqiy sonlar toʻgʻri chiziqqa oʻxshaydi. Unda siz yo'nalishni tanlashingiz, kelib chiqishi va qadamini belgilashingiz mumkin. To'g'ri chiziq cheksiz ko'p nuqtalardan iborat bo'lib, ularning har biri ratsionalmi yoki yo'qligidan qat'i nazar, bitta haqiqiy songa to'g'ri keladi. Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, gap umumiy matematika ham, umuman matematik tahlil ham qurilgan tushuncha haqida ketmoqda.ayniqsa.
