Matematik analizning asosiy boʻlimlaridan biri integral hisobdir. U ob'ektlarning eng keng maydonini qamrab oladi, bu erda birinchisi noaniq integraldir. Uni hatto o'rta maktabda ham yuqori matematika tasvirlaydigan ko'plab istiqbollar va imkoniyatlarni ochib beradigan kalit sifatida joylashtirishga arziydi.
Tashqi koʻrinish
Bir qarashda integral mutlaqo zamonaviy, dolzarb koʻrinadi, lekin amalda u miloddan avvalgi 1800-yillarda paydo boʻlganligi maʼlum boʻladi. Misr rasman vatan hisoblanadi, chunki uning mavjudligi to'g'risida ilgari dalillar bizga etib kelmagan. U, ma'lumot etishmasligi tufayli, bu vaqt davomida oddiygina hodisa sifatida joylashtirilgan. U o‘sha davr xalqlari orasida ilm-fan qanchalik rivojlanganligini yana bir bor tasdiqladi. Nihoyat, qadimgi yunon matematiklarining miloddan avvalgi IV asrga oid asarlari topildi. Ular noaniq integral qo'llaniladigan usulni tasvirlab berishdi, uning mohiyati egri chiziqli figuraning (uch o'lchovli) hajmini yoki maydonini topish edi.va mos ravishda ikki o'lchovli tekisliklar). Hisoblash printsipi, agar ularning hajmi (maydoni) allaqachon ma'lum bo'lsa, asl raqamni cheksiz kichik qismlarga bo'lishga asoslangan edi. Vaqt o'tishi bilan usul o'sib bordi, Arximed undan parabolaning maydonini topish uchun ishlatdi. Shunga o'xshash hisob-kitoblar bir vaqtning o'zida qadimgi Xitoy olimlari tomonidan amalga oshirilgan va ular fandagi yunon hamkasblaridan butunlay mustaqil edilar.
Rivojlanish
Milodiy 11-asrdagi navbatdagi yutuq arab olimi - "universal" Abu Ali al-Basriyning ishi bo'lib, u allaqachon ma'lum bo'lgan narsaning chegaralarini oshirib, yig'indilarni hisoblash uchun integral asosida formulalarni chiqardi. qatorlar va birinchidan to'rtinchi darajagacha bo'lgan darajalar yig'indisi, buning uchun bizga ma'lum bo'lgan matematik induksiya usulini qo'llaydi.
Qadimgi misrliklar hech qanday maxsus moslamalarsiz, balki qo'llaridan tashqari ajoyib me'moriy yodgorliklarni yaratganliklariga hozirgi zamon onglari qoyil qolishadi, lekin o'sha davr olimlari aqlining kuchi ham mo''jiza emasmi? Bugungi kun bilan solishtirganda, ularning hayoti deyarli ibtidoiy ko'rinadi, ammo noaniq integrallarning yechimi hamma joyda olingan va keyingi rivojlanish uchun amalda ishlatilgan.
Keyingi qadam 16-asrda, italyan matematigi Kavalyeri Per Ferma tomonidan tanlab olingan boʻlinmaslar usulini ishlab chiqqanida sodir boʻldi. Aynan shu ikki shaxs hozirgi vaqtda ma'lum bo'lgan zamonaviy integral hisobiga asos solgan. Ular ilgari mavjud bo'lgan differentsiatsiya va integratsiya tushunchalarini bog'ladilaravtonom birliklar sifatida qaraladi. Umuman olganda, o'sha davrlarning matematikasi parchalangan edi, xulosalar zarralari o'z-o'zidan mavjud bo'lib, cheklangan doiraga ega edi. Birlashtirish va umumiy tillarni izlash yo'li o'sha paytdagi yagona to'g'ri yo'l edi, buning natijasida zamonaviy matematik tahlil o'sish va rivojlanish imkoniyatiga ega bo'ldi.
Vaqt oʻtishi bilan hamma narsa oʻzgardi, jumladan, integral yozuvi ham. Umuman olganda, olimlar buni har qanday vositalar bilan ifodaladilar, masalan, Nyuton integral funksiyani joylashtirgan yoki shunchaki uning yoniga qo'ygan kvadrat belgisidan foydalangan.
Bu nomuvofiqlik 17-asrgacha davom etdi, olim Gotfrid Leybnits matematik analizning butun nazariyasi uchun muhim belgi, bizga juda tanish bo'lgan belgini kiritdi. Cho'zilgan "S" haqiqatan ham lotin alifbosining ushbu harfiga asoslangan, chunki u antiderivativlarning yig'indisini bildiradi. Integral o'z nomini 15 yildan keyin Jeykob Bernulli tufayli oldi.
Rasmiy ta'rif
Noaniq integral toʻgʻridan-toʻgʻri antiderivativ taʼrifiga bogʻliq, shuning uchun avval uni koʻrib chiqamiz.
Anti hosila - bu hosilaga teskari bo'lgan funksiya, amalda uni primitiv deb ham atashadi. Aks holda: d funksiyaning antihosilasi hosilasi v V'=v ga teng bo'lgan D funktsiyadir. Antiderivativni qidirish noaniq integralni hisoblashdir va bu jarayonning o'zi integratsiya deb ataladi.
Misol:
Funktsiya s(y)=y3 va uning antiderivativi S(y)=(y4/4).
Ko'rib chiqilayotgan funksiyaning barcha anti hosilalari to'plami noaniq integral bo'lib, u quyidagicha belgilanadi: ∫v(x)dx.
V(x) asl funktsiyaning faqat ba'zi anti hosilasi bo'lganligi sababli, ifoda sodir bo'ladi: ∫v(x)dx=V(x) + C, bu erda C doimiydir. Ixtiyoriy doimiy har qanday doimiy hisoblanadi, chunki uning hosilasi nolga teng.
Xususiyatlar
Noaniq integralning xossalari hosilalarning asosiy ta'rifi va xossalariga asoslanadi.
Asosiy fikrlarni koʻrib chiqamiz:
- antiderivativning hosilasidan olingan integral antiderivativning o'zi va ixtiyoriy doimiy S ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- funksiya integralining hosilasi asl funktsiya (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstanta integral belgisi ostidan ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx olinadi, bu yerda k ixtiyoriy;
- yig’indidan olingan integral bir xil tarzda ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy integrallarining yig’indisiga teng.
Oxirgi ikkita xususiyatdan biz noaniq integral chiziqli degan xulosaga kelishimiz mumkin. Buning yordamida bizda: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Birlashtirish uchun noaniq integrallarni yechish misollarini koʻrib chiqing.
∫(3sinx + 4cosx)dx integralini topish kerak:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Misoldan xulosa qilishimiz mumkin:noaniq integrallarni yechishni bilmayapsizmi? Faqat barcha ibtidoiylarni toping! Ammo qidiruv tamoyillari quyida ko'rib chiqiladi.
Usullar va misollar
Integralni yechish uchun quyidagi usullardan foydalanish mumkin:
- tayyorlangan jadvaldan foydalaning;
- qismlar bo'yicha integratsiya;
- oʻzgaruvchini oʻzgartirish orqali integratsiya;
- differensial belgi ostida olib kelish.
Jadvallar
Eng oson va eng yoqimli usul. Hozirgi vaqtda matematik tahlil noaniq integrallarning asosiy formulalari yozilgan juda keng jadvallarga ega. Boshqacha qilib aytganda, sizdan oldin va siz uchun ishlab chiqilgan andozalar mavjud, ulardan faqat foydalanish qoladi. Bu yerda yechimi boʻlgan deyarli har bir misolni olishingiz mumkin boʻlgan asosiy jadval pozitsiyalari roʻyxati:
- ∫0dy=C, bu erda C doimiy;
- ∫dy=y + C, bu erda C doimiy;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, bu erda C doimiy va n - bitta bo'lmagan raqam;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, bu erda C doimiy;
- ∫eydy=ey + C, bu erda C doimiy;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, bu erda C doimiy;
- ∫cosydy=siny + C, bu erda C doimiy;
- ∫sinydy=-cosy + C, bu erda C doimiy;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, bu erda C doimiy;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, bu erda C doimiy;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, bu erda C doimiy;
- ∫chydy=uyatchan + C, bu erda C -doimiy;
- ∫shydy=chy + C, bu erda C doimiydir.
Agar kerak boʻlsa, bir-ikki qadam tashlang, integrandni jadval koʻrinishiga keltiring va gʻalabadan zavqlaning. Misol: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Yechimga koʻra, jadval misolida integrada 5 omili yetishmasligi aniq. Umumiy ifoda oʻzgarmasligi uchun uni parallel ravishda 1/5 ga koʻpaytirib, qoʻshamiz.
Qismlar boʻyicha integratsiya
Ikki funktsiyani ko'rib chiqing - z(y) va x(y). Ular butun ta'rif sohasi bo'yicha doimiy ravishda farqlanishi kerak. Differensiatsiya xususiyatlaridan biriga ko'ra, bizda: d(xz)=xdz + zdx. Tenglamaning ikkala qismini integrallash orqali biz quyidagilarga erishamiz: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Olingan tenglikni qayta yozib, qismlar boʻyicha integrallash usulini tavsiflovchi formulaga ega boʻlamiz: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Bu nima uchun kerak? Gap shundaki, ba'zi misollarni shartli ravishda soddalashtirish mumkin, agar ikkinchisi jadval shakliga yaqin bo'lsa, ∫zdx ni ∫xdz ga qisqartirish mumkin. Shuningdek, ushbu formulani bir necha marta qoʻllash orqali optimal natijalarga erishish mumkin.
Noaniq integrallarni qanday yechish mumkin:
hisoblash kerak ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
hisoblash kerak ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Oʻzgaruvchan almashtirish
Noaniq integrallarni echishning bu tamoyili murakkabroq boʻlsa-da, avvalgi ikkitasidan kam emas. Usul quyidagicha: V(x) qandaydir v(x) funksiyaning integrali bo‘lsin. Misoldagi integralning o'zi murakkab bo'lib kelgan taqdirda, chalkashlik va yechimning noto'g'ri yo'lini tanlash ehtimoli yuqori. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun x o'zgaruvchisidan z ga o'tish amalda qo'llaniladi, bunda z ning x ga bog'liqligi saqlanib qolgan holda umumiy ifoda vizual tarzda soddalashtiriladi.
Matematik jihatdan shunday koʻrinadi: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), bu yerda x=y(z) almashtirish. Va, albatta, teskari funksiya z=y-1(x) o’zgaruvchilarning bog’liqligi va munosabatini to’liq tavsiflaydi. Muhim eslatma - dx differensiali yangi dz differensialiga almashtirilishi shart, chunki noaniq integraldagi o'zgaruvchini almashtirish uni nafaqat integranda, balki hamma joyda almashtirishni nazarda tutadi.
Misol:
topish kerak ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Almashtirishni qoʻllang z=(s+1)/(s2+2s-5). Keyin dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Natijada biz hisoblash juda oson bo'lgan quyidagi ifodani olamiz:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
integralni topish kerak∫2sesdx
Yechish uchun ifodani quyidagi shaklda qayta yozamiz:
∫2sesds=∫(2e)sds.
a=2e bilan belgilang (bu qadam argumentning oʻrnini bosmaydi, u hali ham s), biz murakkab koʻrinadigan integralni elementar jadval koʻrinishiga keltiramiz:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Differensial belgi ostida olib kelish
Umuman olganda, noaniq integrallarning bu usuli oʻzgaruvchan oʻzgarish printsipining egizak birodaridir, ammo dizayn jarayonida farqlar mavjud. Keling, batafsil ko'rib chiqaylik.
Agar ∫v(x)dx=V(x) + C va y=z(x) boʻlsa, ∫v(y)dy=V(y) + C.
Bu holda, ahamiyatsiz integral o'zgarishlarni unutmaslik kerak, ular orasida:
- dx=d(x + a), bu erda a har qanday doimiy;
- dx=(1 / a)d(ax + b), bu erda a yana doimiy, lekin nolga teng emas;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Agar biz noaniq integralni hisoblashda umumiy holatni ko'rib chiqsak, misollarni w'(x)dx=dw(x) umumiy formulasi ostida jamlash mumkin.
Misollar:
topish kerak ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Onlayn yordam
Ba'zi hollarda dangasalik yoki shoshilinch ehtiyoj sabab bo'lishi mumkin, siz onlayn maslahatlardan foydalanishingiz yoki aniqrog'i noaniq integral kalkulyatoridan foydalanishingiz mumkin. Integrallarning barcha zohiriy murakkabligi va bahsliligiga qaramay, ularning yechimi ma'lum bir algoritmga bo'ysunadi, bu algoritm "agar bo'lmasa …, keyin …" tamoyiliga asoslanadi.
Albatta, bunday kalkulyator ayniqsa murakkab misollarni o'zlashtira olmaydi, chunki yechimni sun'iy ravishda, jarayonga ma'lum elementlarni "majburiy" kiritish orqali topish kerak bo'lgan holatlar mavjud, chunki aniq natijaga erishib bo'lmaydi. yo'llari. Ushbu bayonotning barcha qarama-qarshiliklariga qaramay, bu haqiqat, chunki matematika, asosan, mavhum fan bo'lib, imkoniyatlar chegaralarini kengaytirish zarurligini o'zining asosiy vazifasi deb biladi. Haqiqatan ham, yuqoriga ko'tarilish va silliq nazariyalar bo'yicha rivojlanish juda qiyin, shuning uchun biz bergan noaniq integrallarni echish misollarini imkoniyatlar balandligi deb o'ylamasligingiz kerak. Ammo ishning texnik tomoniga qaytsak. Hech bo'lmaganda hisob-kitoblarni tekshirish uchun bizdan oldin hamma narsa yozilgan xizmatlardan foydalanishingiz mumkin. Agar murakkab iborani avtomatik hisoblash zarurati tug'ilsa, ulardan voz kechib bo'lmaydi, siz jiddiyroq dasturiy ta'minotga murojaat qilishingiz kerak bo'ladi. Avvalo MatLab muhitiga e'tibor qaratish lozim.
Ilova
Noaniq integrallarning yechimi bir qarashda haqiqatdan butunlay tashqarida boʻlib koʻrinadi, chunki qoʻllanilishining aniq sohalarini koʻrish qiyin. Haqiqatan ham, ularni hech qanday joyda to'g'ridan-to'g'ri ishlatish mumkin emas, lekin ular amaliyotda qo'llaniladigan echimlarni olish jarayonida zarur oraliq element hisoblanadi. Demak, integratsiya differensiatsiyaga teskari bo‘lib, buning natijasida u tenglamalarni yechish jarayonida faol ishtirok etadi.
Oʻz navbatida, bu tenglamalar mexanik masalalarni yechish, traektoriyalar va issiqlik oʻtkazuvchanlik koʻrsatkichlarini hisoblash – qisqasi, hozirgi zamonni tashkil etuvchi va kelajakni shakllantiradigan barcha narsaga bevosita taʼsir qiladi. Yuqorida misol qilib ko‘rib chiqqan noaniq integral bir qarashda ahamiyatsiz, chunki u tobora ko‘proq yangi kashfiyotlar qilish uchun asos bo‘lib xizmat qiladi.
