Teskari trigonometrik funktsiyalar an'anaviy tarzda maktab o'quvchilari uchun qiyinchilik tug'diradi. Planimetriya va stereometriyadagi USE topshiriqlarida sonning yoy tangensini hisoblash qobiliyati talab qilinishi mumkin. Parametrli tenglama va masalani muvaffaqiyatli yechish uchun siz yoy tangensi funksiyasining xususiyatlarini tushunishingiz kerak.
Tanrif
X sonining yoy tangensi tangensi x bo'lgan y sondir. Bu matematik ta'rif.
Arktangens funksiya y=arctg x sifatida yoziladi.
Umumiyroq: y=Carctg (kx + a).
Hisoblash
Arktangentning teskari trigonometrik funksiyasi qanday ishlashini tushunish uchun birinchi navbatda son tangensining qiymati qanday aniqlanishini eslab qolish kerak. Keling, batafsil ko'rib chiqaylik.
X ning tangensi x sinusining x kosinusiga nisbati. Agar ushbu ikkita kattalikdan kamida bittasi ma'lum bo'lsa, ikkinchisining modulini asosiy trigonometrik identifikatsiyadan olish mumkin:
sin2 x + cos2 x=1.
Toʻgʻrisi, modulni ochish uchun baholash talab qilinadi.
Agarraqamning trigonometrik xarakteristikalari emas, balki o'zi ma'lum bo'lsa, ko'p hollarda Bradis jadvaliga murojaat qilib, sonning tangensini taxminan baholash kerak.
Istisnolar standart qiymatlar deb ataladi.
Ular quyidagi jadvalda keltirilgan:
Yuqoridagilardan tashqari, ½pk (k - har qanday butun son, p=3, 14) sonini qoʻshish orqali maʼlumotlardan olingan har qanday qiymatlarni standart deb hisoblash mumkin.
Yon tangensi uchun ham xuddi shunday: ko'pincha taxminiy qiymatni jadvaldan ko'rish mumkin, lekin faqat bir nechta qiymatlar aniq ma'lum:
Amalda maktab matematikasi masalalarini yechishda javobni uning taxminiy bahosini emas, balki yoy tangensini oʻz ichiga olgan ifoda koʻrinishida berish odatiy holdir. Masalan, arctg 6, arctg (-¼).
Grafik tuzish
Tangens har qanday qiymatni qabul qilishi mumkinligi sababli, arktangens funksiyaning sohasi butun son qatoridir. Keling, batafsilroq tushuntiramiz.
Bir xil tangens cheksiz sonli argumentlarga mos keladi. Masalan, nafaqat nolning tangensi nolga teng, balki p k ko'rinishdagi istalgan sonning tangensi ham bo'ladi, bunda k butun sondir. Shuning uchun matematiklar yoy tangensi uchun qiymatlarni -½ p dan ½ p gacha bo'lgan oraliqdan tanlashga kelishib oldilar. Buni shunday tushunish kerak. Arktangens funksiya diapazoni oraliqdir (-½ p; ½ p). Bo'shliq uchlari kiritilmagan, chunki -½p va ½p tangenslari mavjud emas.
Belgilangan oraliqda tangens doimiy bo'ladiortadi. Bu shuni anglatadiki, yoy tangensining teskari funktsiyasi ham butun son chizig'ida uzluksiz ortib boradi, lekin yuqoridan va pastdan chegaralanadi. Natijada, u ikkita gorizontal asimptotaga ega: y=-½ p va y=½ p.
Bu holda, tg 0=0, abscissa o'qi bilan kesishishning boshqa nuqtalari, (0;0) dan tashqari, grafik o'sish tufayli bo'lishi mumkin emas.
Tangens funksiyaning paritetidan kelib chiqqan holda, arktangens shunga o'xshash xususiyatga ega.
Grafik yaratish uchun standart qiymatlar orasidan bir nechta nuqtalarni oling:
y=arctg x funksiyaning istalgan nuqtadagi hosilasi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
Uning hosilasi hamma joyda ijobiy ekanligini unutmang. Bu funksiyani doimiy ravishda oshirish haqida avval qilingan xulosaga mos keladi.
Arktangentning ikkinchi hosilasi 0 nuqtada yoʻqoladi, argumentning ijobiy qiymatlari uchun manfiy va aksincha.
Demak, yoy tangensi funksiyasining grafigi nolga teng burilish nuqtasiga ega va (-∞; 0] oraliqda pastga qaragan qavariq va [0; +∞) oraliqda yuqoriga konveksdir.
