Sekundiyalar, tangenslar - bularning barchasini geometriya darslarida yuzlab marta eshitish mumkin edi. Ammo maktabni tugatish tugadi, yillar o'tadi va bu bilimlarning barchasi unutiladi. Nimani eslash kerak?
Essensiya
“Doiraga tegish” atamasi hammaga tanish boʻlsa kerak. Ammo hamma uning ta'rifini tezda shakllantirishi dargumon. Shu bilan birga, tangens - aylana bilan bir tekislikda yotadigan shunday to'g'ri chiziq, uni faqat bitta nuqtada kesib o'tadi. Ularning xilma-xilligi juda katta bo'lishi mumkin, ammo ularning barchasi bir xil xususiyatlarga ega, ular quyida muhokama qilinadi. Siz taxmin qilganingizdek, aloqa nuqtasi aylana va chiziq kesishgan joydir. Har bir holatda u bitta, lekin agar ko'proq bo'lsa, u sekant bo'ladi.
Kashfiyot va oʻrganish tarixi
Tangens tushunchasi antik davrda paydo boʻlgan. Bu toʻgʻri chiziqlarni dastlab aylanaga, soʻngra chizgʻich va sirkul yordamida ellips, parabola va giperbolalarga yasash geometriya rivojlanishining dastlabki bosqichlarida ham amalga oshirilgan. Albatta, tarix kashfiyotchining nomini saqlab qolmagan, ammoKo'rinib turibdiki, o'sha paytda ham odamlar aylana tegining xususiyatlarini yaxshi bilishgan.
Zamonaviy davrda ushbu hodisaga qiziqish yana kuchaydi - bu kontseptsiyani o'rganishning yangi bosqichi va yangi egri chiziqlarning ochilishi boshlandi. Shunday qilib, Galiley sikloid tushunchasini kiritdi va Ferma va Dekart unga tangensni yaratdilar. Davralarga kelsak, bu hududda qadimgi odamlar uchun sir qolmaganga o'xshaydi.
Xususiyatlar
Kesishuv nuqtasiga chizilgan radius chiziqqa perpendikulyar bo'ladi. Bu
asosiy xususiyat, lekin aylanaga teguvchining yagona xususiyati emas. Yana bir muhim xususiyat allaqachon ikkita to'g'ri chiziqni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, aylanadan tashqarida joylashgan bitta nuqta orqali ikkita tangens chizish mumkin, shu bilan birga ularning segmentlari teng bo'ladi. Ushbu mavzu bo'yicha yana bir teorema mavjud, ammo u ba'zi muammolarni hal qilish uchun juda qulay bo'lsa-da, standart maktab kursi doirasida kamdan-kam hollarda yoritiladi. Bu shunday eshitiladi. Aylanadan tashqarida joylashgan bir nuqtadan unga tangens va sekant tortiladi. AB, AC va AD segmentlari hosil bo'ladi. A - chiziqlarning kesishishi, B - aloqa nuqtasi, C va D - kesishmalar. Bunday holda, quyidagi tenglik amal qiladi: aylanaga tegilgan uzunlik kvadrati AC va AD segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.
Yuqoridagilardan muhim natija bor. Doiraning har bir nuqtasi uchun siz tangens qurishingiz mumkin, lekin faqat bitta. Buning isboti juda oddiy: nazariy jihatdan radiusdan unga perpendikulyar tushirsak, hosil bo'lganligini aniqlaymiz.uchburchak mavjud bo'lishi mumkin emas. Bu esa tangens yagona ekanligini bildiradi.
Bino
Geometriyadagi boshqa muammolar qatorida, qoida tariqasida,
emas, maxsus toifa mavjud.
o'quvchilar va talabalar tomonidan seviladi. Ushbu toifadagi vazifalarni hal qilish uchun sizga faqat kompas va o'lchagich kerak. Bu qurilish vazifalari. Tangens yasash usullari ham mavjud.
Demak, doira va uning chegaralaridan tashqarida joylashgan nuqta berilgan. Va ular orqali tangens chizish kerak. Buni qanday qilish kerak? Avvalo, O doiraning markazi va berilgan nuqta o'rtasida segment chizish kerak. Keyin kompas yordamida uni yarmiga bo'ling. Buni amalga oshirish uchun siz radiusni o'rnatishingiz kerak - asl doira markazi va berilgan nuqta orasidagi masofaning yarmidan bir oz ko'proq. Shundan so'ng, siz ikkita kesishgan yoyni qurishingiz kerak. Bundan tashqari, kompasning radiusini o'zgartirish kerak emas va aylananing har bir qismining markazi mos ravishda boshlang'ich nuqta va O bo'ladi. Yoylarning kesishmalari ulanishi kerak, bu esa segmentni yarmiga bo'ladi. Kompasda shu masofaga teng radiusni o'rnating. Keyinchalik, markazni kesishish nuqtasida bo'lgan holda, yana bir doira chizing. Uning ustida boshlang‘ich nuqta ham, O ham yotadi. Bu holda masalada berilgan aylana bilan yana ikkita kesishma bo‘ladi. Ular dastlab berilgan nuqta uchun teginish nuqtalari bo'ladi.
Qiziqarli
Bu aylanaga teginishlar qurilishi
tug'ilishiga olib keldi.
differensial hisob. Ushbu mavzu bo'yicha birinchi ishmashhur nemis matematigi Leybnits tomonidan nashr etilgan. U kasr va irratsional qiymatlardan qat'i nazar, maksimal, minimal va tangenslarni topish imkoniyatini ta'minladi. Endi u boshqa koʻplab hisoblar uchun ham ishlatiladi.
Bundan tashqari, aylanaga tegish tangensning geometrik ma'nosi bilan bog'liq. Uning nomi shu erdan kelib chiqqan. Lotin tilidan tarjima qilingan tangens "tangens" degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, bu tushuncha nafaqat geometriya va differensial hisob, balki trigonometriya bilan ham bog'langan.
Ikki doira
Tangens har doim ham faqat bitta shaklga ta'sir qilmaydi. Agar bitta aylanaga juda ko'p to'g'ri chiziqlar chizish mumkin bo'lsa, nega aksincha emas? mumkin. Ammo bu holda vazifa juda murakkab, chunki ikkita aylananing tangensi hech qanday nuqtadan o'tmasligi mumkin va bu raqamlarning barchasining nisbiy pozitsiyasi juda
bo'lishi mumkin.
boshqa.
Turlar va navlar
Ikki doira va bir yoki bir nechta chiziq haqida gap ketganda, bularning teginish ekanligi ma'lum bo'lsa ham, bu raqamlarning barchasi bir-biriga nisbatan qanday joylashganligi darhol aniq bo'lmaydi. Bunga asoslanib, bir nechta navlar mavjud. Shunday qilib, aylanalarda bitta yoki ikkita umumiy nuqta bo'lishi mumkin yoki umuman bo'lmasligi mumkin. Birinchi holda, ular kesishadi, ikkinchisida esa ular tegadi. Va bu erda ikkita nav mavjud. Agar bitta doira, xuddi ikkinchisiga o'rnatilgan bo'lsa, teginish ichki, agar bo'lmasa, tashqi deb ataladi. o'zaro tushunishraqamlarning joylashuvi nafaqat chizma asosida, balki ularning radiuslari yig'indisi va markazlari orasidagi masofa haqida ma'lumotga ega bo'lishi mumkin. Agar bu ikki miqdor teng bo'lsa, aylanalar tegadi. Agar birinchisi kattaroq bo'lsa, ular kesishadi, agar u kichikroq bo'lsa, unda umumiy nuqtalari yo'q.
Toʻgʻri chiziqlar bilan ham xuddi shunday. Umumiy nuqtalari boʻlmagan har qanday ikkita doira uchun siz
qilishingiz mumkin
to'rtta tangens tuzing. Ulardan ikkitasi raqamlar o'rtasida kesishadi, ular ichki deb ataladi. Yana bir nechtasi tashqi.
Agar biz bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan doiralar haqida gapiradigan bo'lsak, unda vazifa juda soddalashtirilgan. Gap shundaki, bu holda har qanday o'zaro kelishuv uchun ular faqat bitta tangensga ega bo'ladi. Va u ularning kesishgan nuqtasidan o'tadi. Shunday qilib, qurilish qiyinchilik tug'dirmaydi.
Agar figuralarning ikkita kesishish nuqtasi boʻlsa, ular uchun aylanaga ham bir, ham ikkinchi, faqat tashqisiga teguvchi toʻgʻri chiziq qurish mumkin. Bu muammoning yechimi quyida muhokama qilinadigan narsaga o'xshaydi.
Muammo yechish
Ikki doiraning ichki va tashqi tangenslarini qurish unchalik oson emas, garchi bu muammoni hal qilish mumkin. Gap shundaki, buning uchun yordamchi raqam ishlatiladi, shuning uchun bu usulni o'zingiz o'ylab ko'ring
juda muammoli. Shunday qilib, turli radiusli va markazlari O1 va O2 bo'lgan ikkita doira berilgan. Ular uchun ikki juft tangens yaratishingiz kerak.
Birinchidan, kattaroq markazga yaqinaylanalar yordamchi qurilishi kerak. Bunday holda, ikkita dastlabki raqamning radiuslari orasidagi farq kompasda o'rnatilishi kerak. Yordamchi doiraga teglar kichikroq doira markazidan qurilgan. Shundan so'ng, O1 va O2 dan boshlab, dastlabki raqamlar bilan kesishmaguncha, bu chiziqlarga perpendikulyarlar o'tkaziladi. Tangensning asosiy xususiyatidan kelib chiqqan holda, ikkala doiradagi kerakli nuqtalar topiladi. Muammo hal qilindi, hech bo'lmaganda uning birinchi qismi.
Ichki tangenslarni qurish uchun siz amalda hal qilishingiz kerak bo'ladi
shunga oʻxshash vazifa. Shunga qaramay, yordamchi raqam kerak, ammo bu safar uning radiusi asl raqamlarning yig'indisiga teng bo'ladi. Unga berilgan aylanalardan birining markazidan tangenslar quriladi. Yechimning keyingi yo‘nalishini oldingi misoldan tushunish mumkin.
Doira yoki hatto ikkita yoki undan ko'pga tegish unchalik qiyin ish emas. Albatta, matematiklar uzoq vaqtdan beri bunday muammolarni qo'lda hal qilishni to'xtatdilar va hisob-kitoblarni maxsus dasturlarga ishonadilar. Ammo endi buni o'zingiz qilishingiz shart emas deb o'ylamang, chunki kompyuter uchun vazifani to'g'ri shakllantirish uchun siz ko'p narsani qilishingiz va tushunishingiz kerak. Afsuski, bilimlarni nazorat qilishning test shakliga yakuniy o‘tgandan so‘ng, qurilish topshiriqlari o‘quvchilarga tobora ko‘proq qiyinchiliklar tug‘diradi, degan xavotirlar bor.
Koʻproq doiralar uchun umumiy tangenslarni topishga kelsak, ular bir tekislikda yotgan boʻlsa ham, bu har doim ham mumkin emas. Ammo ba'zi hollarda siz bunday to'g'ri chiziqni topishingiz mumkin.
Hayotiy misollar
Ikki doiraning umumiy tangensi amalda tez-tez uchrab turadi, lekin u har doim ham sezilmaydi. Konveyerlar, blokli tizimlar, kasnak uzatish kamarlari, tikuv mashinasida ipning tarangligi va hatto velosiped zanjiri - bularning barchasi hayotdan misollardir. Shuning uchun geometrik muammolar faqat nazariy jihatdan qolmoqda deb o'ylamang: muhandislik, fizika, qurilish va boshqa ko'plab sohalarda ular amaliy qo'llanmalarni topadilar.
