Irratsional sonlar nima? Nega ular shunday deb ataladi? Ular qayerda ishlatiladi va ular nima? Bu savollarga ikkilanmasdan javob bera oladiganlar kam. Lekin, aslida, ularga javoblar juda oddiy, garchi ular hammaga ham kerak emas va juda kam hollarda
Mohiyat va belgi
Irratsional sonlar davriy boʻlmagan cheksiz oʻnli kasrlardir. Ushbu kontseptsiyani joriy etish zarurati shundan kelib chiqadiki, ilgari mavjud bo'lgan haqiqiy yoki haqiqiy, butun, natural va ratsional sonlar tushunchalari endi yangi paydo bo'lgan muammolarni hal qilish uchun etarli emas edi. Masalan, 2 ning kvadrati nima ekanligini hisoblash uchun takrorlanmaydigan cheksiz o'nli kasrlardan foydalanish kerak. Bundan tashqari, eng oddiy tenglamalarning ko‘pchiligi ham irratsional son tushunchasini kiritmasdan yechimga ega emas.
Bu toʻplam I sifatida belgilanadi. Va allaqachon aniq boʻlganidek, bu qiymatlarni oddiy kasr sifatida koʻrsatib boʻlmaydi, uning numeratorida butun son, maxrajida esa natural son boʻladi..
Birinchi martaaks holda hind matematiklari bu hodisaga miloddan avvalgi 7-asrda duch kelishgan, baʼzi miqdorlarning kvadrat ildizlarini aniq koʻrsatib boʻlmasligi aniqlangan. Va bunday raqamlar mavjudligining birinchi dalili Pifagor Gipasiga tegishli bo'lib, u buni teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakni o'rganish jarayonida qilgan. Ushbu to'plamni o'rganishga bizning eramizdan oldin yashagan boshqa olimlar ham jiddiy hissa qo'shgan. Irratsional sonlar kontseptsiyasining kiritilishi mavjud matematik tizimni qayta ko'rib chiqishga olib keldi, shuning uchun ular juda muhim.
Ismning kelib chiqishi
Agar nisbat lotin tilida "kasr", "nisbat" ma'nosini bildirsa, "ir"
prefiksi bu so'zga qarama-qarshi ma'noni beradi. Shunday qilib, bu raqamlar to'plamining nomi ularni butun yoki kasr bilan bog'lash mumkin emasligini ko'rsatadi, ular alohida joyga ega. Bu ularning mohiyatidan kelib chiqadi.
Umumiy tasnifdagi oʻrin
Irratsional sonlar ratsional sonlar bilan bir qatorda haqiqiy yoki haqiqiy sonlar guruhiga kiradi, ular o’z navbatida kompleks sonlarga tegishlidir. Hech qanday quyi toʻplamlar yoʻq, ammo algebraik va transsendental navlari bor, ular quyida muhokama qilinadi.
Xususiyatlar
Irratsional sonlar haqiqiy sonlar toʻplamining bir qismi boʻlganligi uchun ularning arifmetikada oʻrganiladigan barcha xossalari (ular asosiy algebraik qonunlar deb ham ataladi) ularga tegishli.
a + b=b + a (kommutativlik);
(a + b) + c=a + (b + c)(assotsiativlik);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (qarama-qarshi sonning mavjudligi);
ab=ba (siljish qonuni);
(ab)c=a(bc) (distributivlik);
a(b+c)=ab + ac (distributiv qonun);
a x 1=a
a x 1/a=1 (teskari sonning mavjudligi);
Taqqoslash ham umumiy qonunlar va tamoyillarga muvofiq amalga oshiriladi:
Agar a > b va b > c bo'lsa, u holda a > c (nisbatning o'tish qobiliyati) va. va hokazo.
Albatta, barcha irratsional sonlarni asosiy arifmetika yordamida aylantirish mumkin. Buning uchun maxsus qoidalar yoʻq.
Bundan tashqari, Arximed aksiomasi irratsional sonlar uchun amal qiladi. Unda aytilishicha, har qanday ikkita a va b miqdori uchun a atamasini yetarli marta qabul qilsangiz, b dan oshib ketishingiz mumkin, degan gap toʻgʻri.
Foydalanish
Oddiy hayotda ular bilan tez-tez shugʻullanish shart emasligiga qaramay, irratsional sonlarni sanab boʻlmaydi. Ularning ko'pi bor, lekin ular deyarli ko'rinmas. Biz hamma joyda irratsional sonlar bilan o'ralganmiz. Hammaga tanish bo'lgan misollar pi soni 3 ga teng, 1415926 … yoki mohiyatan natural logarifmning asosi bo'lgan e 2, 718281828 … Algebra, trigonometriya va geometriyada ularni doimiy ravishda ishlatish kerak.. Aytgancha, "oltin qism" ning mashhur qiymati, ya'ni katta qismning kichikga nisbati va aksincha,
ushbu toʻplamga tegishli. Kamroq ma'lum bo'lgan "kumush" - ham.
Ular sonlar qatorida juda zich joylashgan, shuning uchun ratsionallar toʻplamiga tegishli har qanday ikkita qiymat oʻrtasida irratsional qiymat paydo boʻlishi aniq.
Bu toʻplam bilan bogʻliq hal qilinmagan muammolar koʻp. Irratsionallik o'lchovi va sonning normalligi kabi mezonlar mavjud. Matematiklar ularning u yoki bu guruhga mansubligi uchun eng muhim misollarni tekshirishda davom etmoqdalar. Masalan, e normal son, ya'ni uning yozuvida turli raqamlar paydo bo'lish ehtimoli bir xil deb hisoblanadi. Pi ga kelsak, u bilan bog'liq tadqiqotlar hali ham davom etmoqda. Irratsionallik o'lchovi, shuningdek, u yoki bu sonni ratsional sonlar bilan qanchalik yaqinlashtirish mumkinligini ko'rsatadigan qiymat deb ataladi.
Algebraik va transsendental
Yuqorida aytib o'tilganidek, irratsional sonlar shartli ravishda algebraik va transsendentalga bo'linadi. Shartli ravishda, aniq aytganda, bu tasnif C to'plamini ajratish uchun ishlatiladi.
Bu belgi haqiqiy yoki haqiqiy sonlarni oʻz ichiga olgan murakkab raqamlarni yashiradi.
Demak, algebraik qiymat nolga teng boʻlmagan koʻphadning ildizi boʻlgan qiymatdir. Masalan, 2 ning kvadrat ildizi ushbu turkumga kiradi, chunki u x2 - 2=0 tenglamasining yechimi hisoblanadi.
Bu shartni qanoatlantirmaydigan barcha boshqa haqiqiy sonlar transsendental deyiladi. Bu xilma-xillikkaeng mashhur va yuqorida aytib o'tilgan misollarni o'z ichiga oladi - pi soni va natural logarifm asosi e.
Qizigʻi shundaki, na biri, na ikkinchisi dastlab matematiklar tomonidan bu sifatda chiqarilmagan, ularning mantiqsizligi va transsendentligi kashf etilganidan koʻp yillar oʻtib isbotlangan. Pi uchun dalil 1882 yilda berilgan va 1894 yilda soddalashtirilgan bo'lib, bu doirani kvadratga solish muammosi haqidagi 2500 yillik tortishuvlarga nuqta qo'ydi. Bu hali ham to'liq tushunilmagan, shuning uchun zamonaviy matematiklar ustida ishlash kerak bo'lgan narsa bor. Aytgancha, bu qiymatning birinchi etarlicha aniq hisob-kitobi Arximed tomonidan amalga oshirilgan. Undan oldin barcha hisoblar juda taxminiy edi.
E (Eyler yoki Nepier raqamlari) uchun uning transsendentligi isboti 1873 yilda topilgan. U logarifmik tenglamalarni yechishda ishlatiladi.
Boshqa misollar sinus, kosinus va har qanday algebraik nolga teng boʻlmagan qiymatlar uchun tangens qiymatlarini oʻz ichiga oladi.
