Aksiomatik usul allaqachon o'rnatilgan ilmiy nazariyalarni qurish usulidir. U isbot yoki rad etishni talab qilmaydigan dalillar, faktlar, bayonotlarga asoslanadi. Darhaqiqat, bilimning ushbu versiyasi deduktiv tuzilma shaklida taqdim etilgan bo'lib, u dastlab asoslardan - aksiomalardan mazmunning mantiqiy asoslanishini o'z ichiga oladi.
Bu usul kashfiyot boʻla olmaydi, faqat tasniflovchi tushunchadir. Bu ta'lim uchun ko'proq mos keladi. Asos dastlabki qoidalarni o'z ichiga oladi, qolgan ma'lumotlar esa mantiqiy natija sifatida keladi. Nazariyani qurishning aksiomatik usuli qayerda? U eng zamonaviy va mustahkam fanlarning asosini tashkil etadi.
Aksiomatik metod tushunchasining shakllanishi va rivojlanishi, so’zining ta’rifi
Birinchidan, bu tushuncha Evklid tufayli Qadimgi Yunonistonda paydo boʻlgan. U geometriyada aksiomatik usulning asoschisi bo'ldi. Bugungi kunda u barcha fanlarda keng tarqalgan, lekin eng muhimi matematikada. Bu usul o'rnatilgan bayonotlar asosida shakllantiriladi va keyingi nazariyalar mantiqiy qurilish orqali olinadi.
Bu quyidagicha izohlanadi: shunday so'zlar va tushunchalar mavjudboshqa shartlar bilan belgilanadi. Natijada, tadqiqotchilar asosli va doimiy bo'lgan elementar xulosalar - asosiy, ya'ni aksiomalar mavjud degan xulosaga kelishdi. Masalan, teoremani isbotlashda ular odatda allaqachon tasdiqlangan va rad etishni talab qilmaydigan faktlarga tayanadilar.
Ammo bundan oldin ularni asoslab berish kerak edi. Bu jarayonda asossiz gap aksioma sifatida qabul qilinadi. Doimiy tushunchalar majmui asosida boshqa teoremalar isbotlanadi. Ular planimetriyaning asosini tashkil qiladi va geometriyaning mantiqiy tuzilishi hisoblanadi. Ushbu fanda o'rnatilgan aksiomalar har qanday tabiatdagi ob'ektlar sifatida belgilanadi. Ular, o'z navbatida, doimiy tushunchalarda ko'rsatilgan xususiyatlarga ega.
Aksiomalarni qoʻshimcha oʻrganish
Usul XIX asrgacha ideal deb hisoblangan. Asosiy tushunchalarni izlashning mantiqiy vositalari o'sha kunlarda o'rganilmagan, ammo Evklid tizimida aksiomatik usuldan mazmunli oqibatlarni olish tuzilishini kuzatish mumkin. Olimning tadqiqotlari sof deduktiv yo'lga asoslangan geometrik bilimlarning to'liq tizimini qanday olish g'oyasini ko'rsatdi. Ularga nisbatan kam sonli tasdiqlangan aksiomalar taklif qilindi, ular haqiqatga to'g'ri keladi.
Qadimgi yunon aqllarining xizmatlari
Evklid ko'plab tushunchalarni isbotladi va ulardan ba'zilari oqlandi. Biroq, ko'pchilik bu fazilatlarni Pifagor, Demokrit va Gippokratga bog'laydi. Ikkinchisi geometriyaning to'liq kursini tuzdi. To'g'ri, keyinroq Iskandariyada chiqdimuallifi Evklid bo'lgan "Boshlanish" to'plami. Keyin u "Elementar geometriya" deb o'zgartirildi. Biroz vaqt o'tgach, uni qandaydir sabablarga ko'ra tanqid qila boshladilar:
- barcha qiymatlar faqat oʻlchagich va kompas yordamida qurilgan;
- geometriya va arifmetika ajratilgan va haqiqiy raqamlar va tushunchalar bilan isbotlangan;
- aksiomalar, ulardan ba'zilari, xususan, beshinchi postulat, umumiy ro'yxatdan o'chirish taklif qilindi.
Natijada 19-asrda Evklid boʻlmagan geometriya paydo boʻldi, unda obʼektiv toʻgʻri postulat yoʻq. Bu harakat geometrik tizimning keyingi rivojlanishiga turtki berdi. Shunday qilib, matematik tadqiqotchilar deduktiv qurish usullariga kelishdi.
Aksiomalar asosida matematik bilimlarni rivojlantirish
Geometriyaning yangi tizimi rivojlana boshlaganida aksiomatik usul ham oʻzgardi. Matematikada ular sof deduktiv nazariya qurilishiga tez-tez murojaat qila boshladilar. Natijada, butun fanning asosiy bo'limi bo'lgan zamonaviy son mantiqida isbotlashning butun tizimi vujudga keldi. Matematik tuzilmada asoslash zarurligini tushuna boshladi.
Shunday qilib, asrning oxiriga kelib, aniq vazifalar va murakkab tushunchalarni qurish shakllandi, ular murakkab teoremadan eng oddiy mantiqiy bayonotga keltirildi. Shunday qilib, Evklid bo'lmagan geometriya aksiomatik usulning keyingi mavjudligi uchun, shuningdek, umumiy xarakterdagi muammolarni hal qilish uchun mustahkam poydevor yaratdi.matematik konstruktsiyalar:
- mustahkamlik;
- to'liqlik;
- mustaqillik.
Bu jarayonda talqin qilish usuli paydo boʻldi va muvaffaqiyatli ishlab chiqildi. Bu usul quyidagicha tavsiflanadi: nazariyadagi har bir chiqish kontseptsiyasi uchun matematik ob'ekt o'rnatiladi, uning yig'indisi maydon deb ataladi. Belgilangan elementlar haqidagi bayonot noto'g'ri yoki haqiqat bo'lishi mumkin. Natijada, xulosalarga qarab bayonotlar nomlanadi.
Tarlqin nazariyasining xususiyatlari
Matematik tizimda qoida tariqasida maydon va xossalar ham koʻrib chiqiladi va u oʻz navbatida aksiomatik boʻlishi mumkin. Sharh nisbiy izchillik mavjud bo'lgan bayonotlarni isbotlaydi. Qo'shimcha variant - bu nazariya bir-biriga zid bo'lgan bir qator faktlar.
Aslida shart ba'zi hollarda bajariladi. Natijada, ma'lum bo'lishicha, agar bayonotlardan birining bayonotlarida ikkita noto'g'ri yoki to'g'ri tushuncha bo'lsa, u salbiy yoki ijobiy hisoblanadi. Bu usul Evklid geometriyasining izchilligini isbotlash uchun ishlatilgan. Interpretativ usuldan foydalanib, aksiomalar sistemalarining mustaqilligi masalasini hal qilish mumkin. Agar biron bir nazariyani rad etish kerak bo'lsa, unda tushunchalardan biri boshqasidan kelib chiqmaganligini va noto'g'ri ekanligini isbotlash kifoya.
Biroq, muvaffaqiyatli bayonotlar bilan bir qatorda usulning zaif tomonlari ham bor. Aksiomalar sistemalarining izchilligi va mustaqilligi nisbiy natijalarni oladigan savollar sifatida hal qilinadi. Tarjimaning yagona muhim yutug'iarifmetikaning tuzilma sifatidagi rolining kashfiyoti, unda izchillik masalasi boshqa bir qator fanlarga tushiriladi.
Aksiomatik matematikaning zamonaviy rivojlanishi
Aksiomatik usul Gilbert ishida rivojlana boshladi. Uning maktabida nazariya va rasmiy tizim tushunchasining o'zi aniqlangan. Natijada umumiy tizim vujudga keldi va matematik ob'ektlar aniq bo'ldi. Bundan tashqari, asoslash masalalarini hal qilish mumkin bo'ldi. Shunday qilib, rasmiy tizim formulalar va teoremalarning quyi tizimlarini o'z ichiga olgan aniq sinf tomonidan tuzilgan.
Ushbu tuzilmani qurish uchun siz faqat texnik qulaylikka amal qilishingiz kerak, chunki ular semantik yukga ega emas. Ular belgilar, belgilar bilan yozilishi mumkin. Ya'ni, aslida, tizimning o'zi rasmiy nazariya adekvat va to'liq qo'llanilishi mumkin bo'lgan tarzda qurilgan.
Natijada aniq bir matematik maqsad yoki vazifa faktik mazmunga yoki deduktiv fikrlashga asoslangan nazariyaga quyiladi. Raqam fanining tili formal tizimga o'tadi, bu jarayonda har qanday konkret va mazmunli ifoda formula orqali aniqlanadi.
Rasmlashtirish usuli
Narsalarning tabiiy holatida bunday usul izchillik kabi global masalalarni hal qilishga, shuningdek, olingan formulalar bo'yicha matematik nazariyalarning ijobiy mohiyatini qurishga qodir bo'ladi. Va asosan bularning barchasi tasdiqlangan bayonotlarga asoslangan rasmiy tizim tomonidan hal qilinadi. Matematik nazariyalar doimo asoslashlar bilan murakkablashdi vaGilbert bu strukturani chekli usullar yordamida tekshirishni taklif qildi. Ammo bu dastur muvaffaqiyatsiz tugadi. Gödelning XX asrdagi natijalari quyidagi xulosalarga olib keldi:
- tabiiy izchillik mumkin emas, chunki bu tizimdan rasmiylashtirilgan arifmetika yoki boshqa shunga oʻxshash fanlar toʻliq boʻlmaydi;
- echilib boʻlmaydigan formulalar paydo boʻldi;
- da'volar isbotlanmaydi.
Haqiqiy mulohazalar va oqilona yakuniy tugatish rasmiylashtirilishi mumkin deb hisoblanadi. Shuni hisobga olgan holda, aksiomatik usul ushbu nazariya doirasida aniq va aniq chegara va imkoniyatlarga ega.
Matematiklar asarlarida aksiomalarning rivojlanish natijalari
Ayrim mulohazalar inkor etilganiga va toʻgʻri ishlab chiqilmaganiga qaramay, matematika asoslarini shakllantirishda doimiy tushunchalar usuli katta rol oʻynaydi. Bundan tashqari, talqin va ilm-fandagi aksiomatik usul ko'p nazariyadagi izchillik, tanlov bayonotlari va gipotezalarning mustaqilligining fundamental natijalarini ochib berdi.
Muvofiqlik masalasini hal qilishda asosiy narsa nafaqat belgilangan tushunchalarni qo'llashdir. Ular, shuningdek, g'oyalar, tushunchalar va cheklangan tugatish vositalari bilan to'ldirilishi kerak. Bunda mantiqiy ma'no va asosni hisobga olish kerak bo'lgan turli qarashlar, usullar, nazariyalar ko'rib chiqiladi.
Formal tizimning izchilligi induksiya, sanash, transfinit songa asoslangan arifmetikaning xuddi shunday yakunlanishini bildiradi. Ilmiy sohada aksiomatizatsiya eng muhim hisoblanadiasos qilib olingan inkor etib bo'lmaydigan tushunchalar va bayonotlarga ega vosita.
Dastlabki bayonotlarning mohiyati va ularning nazariyadagi roli
Aksiomatik usulni baholash uning mohiyatida qandaydir struktura mavjudligini ko'rsatadi. Ushbu tizim asosiy kontseptsiyani va aniqlanmagan asosiy bayonotlarni aniqlash asosida qurilgan. Xuddi shu narsa asl deb hisoblangan va isbotsiz qabul qilingan teoremalar bilan sodir bo'ladi. Tabiiy fanlarda bunday bayonotlar qoidalar, taxminlar, qonunlar bilan quvvatlanadi.
Keyin o'rnatilgan fikrlash asoslarini tuzatish jarayoni sodir bo'ladi. Qoidaga ko'ra, bir pozitsiyadan boshqasi chiqarilishi darhol ko'rsatiladi va bu jarayonda qolganlari chiqadi, bu esa mohiyatan deduktiv usulga to'g'ri keladi.
Tizimning zamonaviy davrdagi xususiyatlari
Aksiomatik tizimga quyidagilar kiradi:
- mantiqiy xulosalar;
- atamalar va ta'riflar;
- qisman notoʻgʻri bayonotlar va tushunchalar.
Zamonaviy fanda bu usul oʻzining mavhumligini yoʻqotdi. Evklid geometrik aksiomatizatsiyasi intuitiv va haqiqiy takliflarga asoslangan edi. Va nazariya o'ziga xos, tabiiy tarzda talqin qilindi. Bugungi kunda aksioma o'z-o'zidan ravshan bo'lgan qoida bo'lib, kelishuv va har qanday kelishuv asoslashni talab qilmaydigan dastlabki tushuncha sifatida harakat qilishi mumkin. Natijada, asl qiymatlar tavsifdan uzoq bo'lishi mumkin. Bu usul ijodkorlikni, munosabatlarni bilishni va asosiy nazariyani talab qiladi.
Xulosa chiqarishning asosiy tamoyillari
Deduktiv aksiomatik usul - ma'lum bir sxema bo'yicha qurilgan, to'g'ri amalga oshirilgan gipotezalarga asoslangan, empirik faktlar to'g'risida bayonotlar chiqaradigan ilmiy bilim. Bunday xulosa mantiqiy tuzilmalar asosida, qattiq chiqarish yo'li bilan qurilgan. Aksiomalar dastlab isbot talab qilmaydigan inkor etib bo'lmaydigan gaplardir.
Ajratish vaqtida dastlabki tushunchalarga ma'lum talablar qo'yiladi: izchillik, to'liqlik, mustaqillik. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, birinchi shart rasmiy mantiqiy bilimga asoslanadi. Ya'ni, nazariya haqiqat va yolg'on ma'nolariga ega bo'lmasligi kerak, chunki u endi ma'no va qiymatga ega bo'lmaydi.
Agar bu shart bajarilmasa, u mos kelmaydigan hisoblanadi va unda har qanday ma'no yo'qoladi, chunki haqiqat va yolg'on o'rtasidagi semantik yuk yo'qoladi. Deduktiv jihatdan aksiomatik usul ilmiy bilimlarni qurish va asoslash usulidir.
Usulning amaliy qoʻllanilishi
Ilmiy bilimlarni qurishning aksiomatik usuli amaliy ahamiyatga ega. Aslida, bu usul matematikaga ta'sir qiladi va global ahamiyatga ega, garchi bu bilim allaqachon o'zining eng yuqori cho'qqisiga chiqqan bo'lsa ham. Aksiomatik usulga misollar quyidagilardir:
- affin tekisliklarida uchta bayonot va ta'rif mavjud;
- ekvivalentlik nazariyasi uchta dalilga ega;
- iklik munosabatlari ta'riflar, tushunchalar va qo'shimcha mashqlar tizimiga bo'lingan.
Agar asl ma'noni shakllantirishni istasangiz, to'plamlar va elementlarning tabiatini bilishingiz kerak. Mohiyatan aksiomatik usul fanning turli sohalarining asosini tashkil qilgan.
