Olti burchakli prizma va uning asosiy xarakteristikalari

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2024-01-02 17:58

Fazal geometriya prizmalarni o'rganadi. Ularning muhim xarakteristikalari - ulardagi hajm, sirt maydoni va tarkibiy elementlarning soni. Maqolada biz olti burchakli prizma uchun ushbu xususiyatlarning barchasini ko'rib chiqamiz.

Biz qaysi prizma haqida gapirayapmiz?

Olti burchakli prizma oltita tomoni va oltita burchagi boʻlgan ikkita koʻpburchak hamda belgilangan olti burchakli oltita parallelogrammni bitta geometrik shaklga bogʻlovchi figuradir.

Rasmda bu prizma misoli koʻrsatilgan.

Qizil rang bilan belgilangan olti burchakli rasmning asosi deyiladi. Shubhasiz, uning asoslari soni ikkitaga teng va ikkalasi ham bir xil. Prizmaning sariq-yashil yuzlari uning tomonlari deyiladi. Rasmda ular kvadratlar bilan ifodalangan, lekin umuman olganda ular parallelogrammlar.

Olti burchakli prizma qiya va tekis boʻlishi mumkin. Birinchi holda, taglik va tomonlar orasidagi burchaklar tekis emas, ikkinchisida ular 90o ga teng. Bundan tashqari, bu prizma to'g'ri va noto'g'ri bo'lishi mumkin. Oddiy olti burchakliprizma to'g'ri bo'lishi va asosda muntazam olti burchakli bo'lishi kerak. Rasmdagi yuqoridagi prizma bu talablarni qondiradi, shuning uchun u to'g'ri deb ataladi. Keyingi maqolada biz umumiy holat sifatida faqat uning xususiyatlarini o'rganamiz.

Elementlar

Har qanday prizma uchun uning asosiy elementlari qirralar, yuzlar va cho'qqilardir. Olti burchakli prizma ham bundan mustasno emas. Yuqoridagi rasm ushbu elementlarning sonini hisoblash imkonini beradi. Shunday qilib, biz 8 ta yuz yoki tomonlarni olamiz (ikkita asos va oltita lateral parallelogramm), uchlari soni 12 (har bir asos uchun 6 ta burchak), olti burchakli prizmaning qirralari soni 18 (olti lateral va asoslar uchun 12).

1750-yillarda Leonhard Eyler (shveytsariyalik matematik) prizmani o'z ichiga olgan barcha ko'pburchaklar uchun ko'rsatilgan elementlarning raqamlari orasidagi matematik munosabatni o'rnatdi. Bu munosabat quyidagicha ko'rinadi:

qirralar soni=yuzlar soni + uchlari soni - 2.

Yuqoridagi raqamlar ushbu formulaga mos keladi.

Prizma diagonallari

Olti burchakli prizmaning barcha diagonallarini ikki turga boʻlish mumkin:

• uning yuzlari tekisligida yotadiganlar;
• raqamning butun hajmiga tegishli boʻlganlar.

Quyidagi rasmda barcha diagonallar koʻrsatilgan.

Ko'rinib turibdiki D₁ yon diagonali, D₂ va D₃ diagonallari butun prizma, D₄ va D_{5 - asosning diagonallari.}

Tomonlarning diagonallarining uzunliklari bir-biriga teng. Mashhur Pifagor teoremasi yordamida ularni hisoblash oson. Olti burchakli tomonning uzunligi a, yon chetining uzunligi b bo'lsin. Keyin diagonal uzunligi bo'ladi:

D₁=√(a² + b^2).

D₄ diagonalini aniqlash ham oson. Agar oddiy oltiburchak radiusi a bo‘lgan aylana ichiga to‘g‘ri kelishini eslasak, u holda D_{4 bu doiraning diametri, ya’ni quyidagi formulani olamiz:}

D_4=2a.

Diagonal D₅asoslarni topish biroz qiyinroq. Buning uchun teng tomonli ABC uchburchagini ko'rib chiqing (rasmga qarang). Uning uchun AB=BC=a, ABC burchagi 120^{o. Agar biz bu burchakdan balandlikni tushirsak (u bissektrisa va mediana ham bo'ladi), u holda AC asosining yarmi teng bo'ladi:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Oʻzgaruvchan tok tomoni D_{5 ning diagonali, shuning uchun biz: olamiz}

D_5=AC=√3a.

Endi oddiy olti burchakli prizmaning D₂ va D_{3 diagonallarini topish qoladi. Buning uchun ular mos keladigan to'g'ri burchakli uchburchaklarning gipotenuslari ekanligini ko'rishingiz kerak. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Shunday qilib, a va b ning har qanday qiymatlari uchun eng katta diagonal hisoblanadiD_2.

Yuza maydoni

Nima xavf ostida ekanligini tushunishning eng oson yo'li bu prizmaning rivojlanishini ko'rib chiqishdir. Bu rasmda ko'rsatilgan.

Ko'rinib turibdiki, ko'rib chiqilayotgan rasmning barcha tomonlari maydonini aniqlash uchun to'rtburchakning maydoni va olti burchakli maydonini alohida hisoblash, keyin ularni ko'paytirish kerak. prizmadagi har bir n-gonning soniga teng mos keladigan butun sonlar bo'yicha va natijalarni qo'shing. Olti burchak 2, toʻrtburchaklar 6.

To'rtburchakning maydoni uchun biz olamiz:

S_1=ab.

U holda lateral sirt maydoni:

S_2=6ab.

Olti burchakli maydonni aniqlashning eng oson yo'li mos keladigan formuladan foydalanishdir, bu quyidagicha ko'rinadi:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Ushbu ifodada 6 ga teng n raqamini almashtirsak, bitta olti burchakli maydonni olamiz:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Prizma asoslari maydonini olish uchun ushbu ifodani ikkiga ko'paytirish kerak:

S_os=3√3a^2.

Raqamning umumiy sirt maydonini olish uchun S_os va S_{2 qo'shish qoladi:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Prizma hajmi

Formuladan keyinOlti burchakli asosning maydoni, ko'rib chiqilayotgan prizmadagi hajmni hisoblash nokni otish kabi oson. Buni amalga oshirish uchun siz faqat bitta taglikning (olti burchakli) maydonini uzunligi yon chetining uzunligiga teng bo'lgan raqamning balandligiga ko'paytirishingiz kerak. Biz formulani olamiz:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

E'tibor bering, poydevor va balandlikning ko'paytmasi mutlaqo har qanday prizma, shu jumladan qiya prizma hajmining qiymatini beradi. Biroq, ikkinchi holatda, balandlikni hisoblash murakkab, chunki u endi yon qovurg'aning uzunligiga teng bo'lmaydi. Muntazam olti burchakli prizmaga kelsak, uning hajmining qiymati ikkita o'zgaruvchining funktsiyasidir: a va b tomonlari.