Integral tushunchasining paydo boʻlishi uning hosilasi boʻyicha antiderivativ funktsiyani topish, shuningdek ish hajmini, murakkab figuralar maydonini, bosib oʻtgan masofani aniqlash zarurati bilan bogʻliq edi. nochiziqli formulalar bilan tasvirlangan egri chiziqlar bilan belgilangan parametrlar.
Kursdan
va fizika ish kuch va masofaning mahsulotiga teng ekanligini biladi. Agar barcha harakat doimiy tezlikda sodir bo'lsa yoki masofa bir xil kuch qo'llanilishi bilan bartaraf etilsa, unda hamma narsa aniq, faqat ularni ko'paytirish kerak. Doimiyning integrali nima? Bu y=kx+c ko‘rinishdagi chiziqli funksiya.
Ammo ish paytida kuch o'zgarishi mumkin va qandaydir tabiiy bog'liqlik. Tezlik doimiy bo'lmasa, bosib o'tgan masofani hisoblashda ham xuddi shunday holat sodir bo'ladi.
Demak, integral nima uchun ekanligi aniq. Argumentning cheksiz kichik o'sishi bilan funktsiya qiymatlari mahsulotining yig'indisi sifatida uning ta'rifi ushbu tushunchaning asosiy ma'nosini yuqoridan funktsiya chizig'i bilan chegaralangan figuraning maydoni sifatida to'liq tavsiflaydi. qirralari taʼrif chegaralari boʻyicha.
Jan Gaston Darbu, fransuz matematigi, XIX asr ikkinchi yarmidaasrda integral nima ekanligini juda aniq tushuntirib berdi. U shu qadar aniq aytdiki, umuman olganda, hatto o'rta maktab o'quvchisi uchun ham bu masalani tushunish qiyin bo'lmaydi.
Har qanday murakkab shaklning funksiyasi bor deylik. Argument qiymatlari chizilgan y o'qi kichik intervallarga bo'linadi, ideal holda ular cheksiz kichikdir, lekin cheksizlik tushunchasi ancha mavhum bo'lganligi sababli, faqat kichik segmentlarni tasavvur qilish kifoya, qiymat ulardan odatda yunoncha D (delta) harfi bilan belgilanadi.
Funksiya kichik g'ishtlarga "kesilgan" bo'lib chiqdi.
Har bir argument qiymati y oʻqidagi nuqtaga toʻgʻri keladi, bunda mos funksiya qiymatlari chiziladi. Tanlangan hudud ikkita chegaraga ega boʻlgani uchun funksiyaning ikkita qiymati ham koʻp va kamroq boʻladi.
Kattaroq qiymatlarning ko'paytmalarining D ortishi bilan yig'indisi katta Darboux yig'indisi deb ataladi va S sifatida belgilanadi. Shunga ko'ra, cheklangan hududdagi kichikroq qiymatlar D ga ko'paytiriladi, barchasi birgalikda kichik Darboux sum s hosil qiladi. Bo'limning o'zi to'rtburchaklar trapezoidga o'xshaydi, chunki uning cheksiz o'sishi bilan funktsiya chizig'ining egriligini e'tiborsiz qoldirish mumkin. Bunday geometrik figuraning maydonini topishning eng oson yo'li funksiyaning katta va kichik qiymatining ko'paytmalarini D-o'sish bilan qo'shish va ikkiga bo'lish, ya'ni uni o'rtacha arifmetik sifatida aniqlashdir.
Bu Darboux integrali:
s=Sf(x) D - kichik miqdor;
S=Sf(x+D)D katta summa.
Xo'sh, integral nima? Funksiya chizig'i va ta'rif chegaralari bilan chegaralangan maydon quyidagicha bo'ladi:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Ya'ni, katta va kichik Darboux sumlarining o'rtacha arifmetik qiymati.c differensiallashda nolga o'rnatiladigan doimiy qiymatdir.
Bu tushunchaning geometrik ifodasi asosida integralning fizik ma'nosi oydinlashadi. Tezlik funktsiyasi bilan belgilangan va abtsissa o'qi bo'ylab vaqt oralig'i bilan chegaralangan rasmning maydoni bosib o'tgan yo'lning uzunligi bo'ladi.
L=∫f(x)dx t1 dan t2 oralig'ida, Qaerda
f(x) – tezlik funksiyasi, ya’ni vaqt o’tishi bilan o’zgarishi formulasi;
L – yoʻl uzunligi;
t1 – boshlanish vaqti;
t2 – sayohatning tugash vaqti.
Ayniqsa, xuddi shu prinsipga koʻra, ish miqdori aniqlanadi, faqat masofa abscissa boʻylab, har bir aniq nuqtada qoʻllaniladigan kuch miqdori esa ordinata boʻylab chiziladi.
