Insoniyat taraqqiyoti koʻp jihatdan daholar tomonidan qilingan kashfiyotlar tufaylidir. Ulardan biri Blez Paskaldir. Uning ijodiy tarjimai holi Lion Feyxtvangerning “Iste’dodli inson, har narsada qobiliyatli” iborasi haqiqatini yana bir bor tasdiqlaydi. Bu buyuk olimning barcha ilmiy yutuqlarini sanash qiyin. Ular orasida matematika olamidagi eng nafis ixtirolardan biri - Paskal uchburchagi bor.
Daho haqida bir necha so'z
Blez Paskal zamonaviy standartlarga ko'ra erta, 39 yoshida vafot etdi. Vaholanki, qisqa umrida u atoqli fizik, matematik, faylasuf va yozuvchi sifatida ajralib turdi. Minnatdor avlodlar uning sharafiga bosim birligi va mashhur dasturlash tilini Paskal deb nomladilar. U deyarli 60 yil davomida turli xil kodlarni yozishni o'rgatish uchun ishlatilgan. Masalan, uning yordami bilan har bir talaba Paskalda uchburchakning maydonini hisoblash dasturini yozishi, shuningdek, sxemaning xususiyatlarini o'rganishi mumkin.bu quyida muhokama qilinadi.
G`ayrioddiy tafakkurga ega bo`lgan bu olimning faoliyati fanning turli sohalarini qamrab oladi. Xususan, Blez Paskal gidrostatika, matematik analiz, geometriyaning ayrim sohalari va ehtimollar nazariyasi asoschilaridan biridir. Shuningdek, u:
- Paskal gʻildiragi deb nomlanuvchi mexanik kalkulyator yaratdi;
- havoning egiluvchanligi va og'irligiga ega ekanligini eksperimental isbotladi;
- barometr ob-havoni bashorat qilish uchun ishlatilishi mumkinligini aniqladi;
- aravani ixtiro qildi;
- omnibus - qat'iy marshrutga ega ot aravalarini ixtiro qildi, keyinchalik u muntazam jamoat transportining birinchi turiga aylandi va hokazo.
Paskalning arifmetik uchburchagi
Yuqorida aytib o'tilganidek, bu buyuk fransuz olimi matematika faniga ulkan hissa qo'shgan. Uning mutlaq ilmiy durdonalaridan biri ma’lum tartibda joylashtirilgan binomial koeffitsientlardan tashkil topgan “Arifmetik uchburchak haqida risola”dir. Ushbu sxemaning xususiyatlari o'zining xilma-xilligi bilan hayratlanarli va uning o'zi "Hamma narsa oddiy!" Maqolini tasdiqlaydi.
Biroz tarix
Adolat uchun shuni aytish kerakki, aslida Paskal uchburchagi Evropada 16-asrning boshlaridayoq ma'lum bo'lgan. Xususan, uning suratini Ingolshtadt universitetidan mashhur astronom Piter Apianning arifmetika darsligi muqovasida ko‘rish mumkin. Xuddi shunday uchburchak ham rasm sifatida ko'rsatilgan.xitoylik matematik Yang Xuining 1303 yilda nashr etilgan kitobida. Ajoyib fors shoiri va faylasufi Umar Xayyom ham uning xususiyatlarini 12-asr boshlarida bilar edi. Qolaversa, u bilan arab va hind olimlarining ilgari yozilgan risolalaridan tanishgan, deb ishoniladi.
Tavsif
Mukammalligi va soddaligi bilan goʻzal Paskal uchburchagining eng qiziqarli xususiyatlarini oʻrganishdan oldin uning nima ekanligini bilib olish kerak.
Ilmiy jihatdan aytganda, bu raqamli sxema ma'lum bir tartibda joylashtirilgan binomial koeffitsientlardan hosil bo'lgan cheksiz uchburchak jadvalidir. Uning tepasida va yon tomonlarida raqamlar mavjud 1. Qolgan pozitsiyalar bir-birining yonida joylashgan yuqorida joylashgan ikkita raqamning yig'indisiga teng raqamlar bilan band. Bundan tashqari, Paskal uchburchagining barcha chiziqlari uning vertikal o'qiga nisbatan simmetrikdir.
Asosiy xususiyatlar
Paskal uchburchagi o'zining mukammalligi bilan ajralib turadi. Har qanday raqamlangan n qator uchun (n=0, 1, 2…) rost:
- birinchi va oxirgi raqamlar 1;
- ikkinchi va oxirgi - n;
- uchinchi raqam uchburchak soniga teng (teng yonli uchburchakda joylashishi mumkin boʻlgan doiralar soni, yaʼni 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Toʻrtinchi raqam tetraedral, yaʼni poydevorida uchburchak boʻlgan piramida.
Bundan tashqari, nisbatan yaqinda, 1972 yilda Paskal uchburchagining yana bir xossasi o'rnatildi. Uning uchunbilish uchun ushbu sxemaning elementlarini 2 pozitsiyaga satr siljishi bilan jadval shaklida yozish kerak. Keyin qator raqamiga bo'linadigan raqamlarga e'tibor bering. Ma'lum bo'lishicha, barcha raqamlar ajratilgan ustun soni tub sondir.
Xuddi nayrangni boshqa usulda ham qilish mumkin. Buning uchun Paskal uchburchagida raqamlar jadvaldagi qator raqamiga bo'linish qoldiqlari bilan almashtiriladi. Keyin chiziqlar hosil bo'lgan uchburchakda shunday joylashtiriladiki, keyingisi oldingi elementning birinchi elementidan o'ngga 2 ta ustunni boshlaydi. Shunda tub sonlar bo‘lgan raqamlardan iborat ustunlar faqat noldan, kompozit raqamlari esa kamida bitta noldan iborat bo‘ladi.
Nyuton binomi bilan bogʻlanish
Ma'lumki, bu ikki o'zgaruvchining yig'indisining manfiy bo'lmagan butun soniga kengaytirish formulasining nomi bo'lib, u quyidagicha ko'rinadi:
Ularda mavjud koeffitsientlar C m =n ga teng! / (m! (n - m)!), bu yerda m - Paskal uchburchagining n qatoridagi tartib son. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, ushbu jadval qo'lingizda bo'lsa, siz har qanday raqamni oldindan ikki shartga ajratganingizdan so'ng, ularni osongina kattalashtirishingiz mumkin.
Demak, Paskal uchburchagi va Nyuton binomi bir-biri bilan chambarchas bog'liq.
Math Wonders
Paskal uchburchagini sinchiklab oʻrganish shuni koʻrsatadiki:
- bilan qatordagi barcha raqamlar yig'indisiseriya raqami n (0 dan boshlab) 2;
- agar chiziqlar chapga tekislangan boʻlsa, u holda Paskal uchburchagining diagonallari boʻylab pastdan yuqoriga va chapdan oʻngga oʻtuvchi raqamlar yigʻindisi Fibonachchi raqamlariga teng boʻladi;
- birinchi "diagonal" tartibda natural sonlardan iborat;
- Paskal uchburchagining bittaga qisqartirilgan har qanday elementi parallelogramma ichida joylashgan barcha sonlar yigʻindisiga teng boʻlib, bu sonda kesishuvchi chap va oʻng diagonallar bilan chegaralanadi;
- diagrammaning har bir satrida juft joylardagi raqamlar yigʻindisi toq joylardagi elementlar yigʻindisiga teng.
Sierpinski uchburchagi
Murakkab masalalarni yechish nuqtai nazaridan ancha istiqbolli bunday qiziqarli matematik sxema Paskal tasvirining juft raqamlarini bir rangga, toq raqamlarini boshqa rangga bo’yash orqali olinadi.
Sierpinski uchburchagini boshqa usulda qurish mumkin:
- soyali Paskal sxemasida o'rta uchburchak boshqa rangga bo'yalgan bo'lib, u asl tomonning o'rta nuqtalarini bog'lash orqali hosil bo'ladi;
- burchaklarda joylashgan uchta boʻyalmagan bilan ham xuddi shunday qiling;
- agar protsedura cheksiz davom ettirilsa, natija ikki rangli raqam bo'lishi kerak.
Sierpinski uchburchagining eng qiziqarli xususiyati uning oʻziga oʻxshashligidir, chunki u 3 ta nusxadan iborat boʻlib, ular 2 barobarga qisqaradi. Bu bizga ushbu sxemani fraktal egri chiziqlarga bog'lash imkonini beradi va ular, eng so'nggida ko'rsatilganidektadqiqot bulutlar, oʻsimliklar, daryo deltalari va koinotning oʻzini matematik modellashtirish uchun eng mos keladi.
Bir nechta qiziqarli topshiriqlar
Paskal uchburchagi qayerda ishlatiladi? Uning yordami bilan hal qilinishi mumkin bo'lgan vazifalar misollari juda xilma-xildir va fanning turli sohalariga tegishli. Keling, ba'zi qiziqarlilarini ko'rib chiqaylik.
Muammo 1. Qal'a devori bilan o'ralgan ba'zi yirik shaharlarning faqat bitta kirish eshigi bor. Birinchi chorrahada asosiy yo‘l ikkiga bo‘linadi. Xuddi shu narsa boshqa har qanday holatda sodir bo'ladi. Shaharga 210 kishi kiradi. Ular uchrashadigan chorrahalarning har birida ular yarmiga bo'linadi. Har bir chorrahada qancha odam topiladi, qachonki u bilan bo'lishish imkoni bo'lmasa. Uning javobi Paskal uchburchagining 10-qatorida (koeffitsient formulasi yuqorida keltirilgan), bu yerda 210 raqamlari vertikal o‘qning har ikki tomonida joylashgan.
2-topshiriq. Ranglarning 7 ta nomi bor. Siz 3 ta guldan iborat guldasta qilishingiz kerak. Buni necha xil usulda amalga oshirish mumkinligini aniqlash talab etiladi. Bu muammo kombinatorika sohasiga tegishli. Uni yechish uchun biz yana Paskal uchburchagidan foydalanamiz va uchinchi holatda (har ikki holatda ham 0 dan raqamlash) 7-qatorga 35 raqamini olamiz.
Endi siz buyuk frantsuz faylasufi va olimi Blez Paskal nimani ixtiro qilganini bilasiz. Uning mashhur uchburchagi, to'g'ri qo'llanilganda, ko'plab muammolarni hal qilish uchun haqiqiy qutqaruvchiga aylanishi mumkin, ayniqsa dalada.kombinatorika. Bundan tashqari, u fraktallar bilan bog'liq ko'plab sirlarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkin.
