Kompleks sonlar: ta'rif va asosiy tushunchalar

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Kvadrat tenglamaning xossalarini o'rganishda cheklov o'rnatildi - noldan kichik diskriminant uchun yechim yo'q. Gap haqiqiy sonlar to'plami haqida ketayotgani darhol belgilandi. Matematikning qiziquvchan ongi qiziqtiradi - haqiqiy qadriyatlar haqidagi bandda qanday sir bor?

Vaqt oʻtishi bilan matematiklar kompleks sonlar tushunchasini kiritdilar, bunda minus birning ikkinchi ildizining shartli qiymati birlik sifatida qabul qilinadi.

Tarixiy ma'lumot

Matematik nazariya oddiydan murakkabgacha ketma-ket rivojlanadi. Keling, “murakkab son” tushunchasi qanday paydo bo‘lganini va nima uchun kerakligini aniqlaymiz.

Qadim zamonlardan beri matematikaning asosi odatiy hisob edi. Tadqiqotchilar faqat tabiiy qadriyatlar to'plamini bilishgan. Qo'shish va ayirish oddiy edi. Iqtisodiy munosabatlar murakkablashgan sari bir xil qiymatlarni qo‘shish o‘rniga ko‘paytirish qo‘llanila boshlandi. ga teskari operatsiya mavjudko'paytirish - bo'lish.

Natural son tushunchasi arifmetik amallardan foydalanishni chekladi. Butun sonlar to‘plamiga bo‘linish bo‘yicha barcha masalalarni yechish mumkin emas. Kasrlar bilan ishlash dastlab ratsional qiymatlar tushunchasiga, keyin esa irratsional qiymatlarga olib keldi. Agar ratsional uchun nuqtaning chiziqdagi aniq o'rnini ko'rsatish mumkin bo'lsa, irratsional uchun bunday nuqtani ko'rsatish mumkin emas. Siz faqat intervalni taxminiy hisoblashingiz mumkin. Ratsional va irratsional sonlarning birlashuvi berilgan masshtab bilan ma'lum bir chiziq sifatida ifodalanishi mumkin bo'lgan haqiqiy to'plamni tashkil etdi. Chiziq bo'ylab har bir qadam natural son bo'lib, ular orasida ratsional va irratsional qiymatlar mavjud.

Nazariy matematika davri boshlandi. Astronomiya, mexanika, fizikaning rivojlanishi tobora murakkab tenglamalarni echishni talab qildi. Umuman olganda, kvadrat tenglamaning ildizlari topildi. Murakkab kub polinomni yechishda olimlar qarama-qarshilikka duch kelishdi. Salbiydan kub ildizi tushunchasi mantiqiy, ammo kvadrat ildiz uchun noaniqlik olinadi. Bundan tashqari, kvadrat tenglama faqat kubikning maxsus holatidir.

1545-yilda italiyalik J. Kardano xayoliy son tushunchasini kiritishni taklif qildi.

Bu raqam minus birning ikkinchi ildizidir. Kompleks son atamasi nihoyat uch yuz yil o'tgach, mashhur matematik Gaussning asarlarida shakllangan. U algebraning barcha qonunlarini rasman xayoliy songacha kengaytirishni taklif qildi. Haqiqiy chiziq kengaytirildisamolyotlar. Dunyo kattaroq.

Asosiy tushunchalar

Haqiqiy toʻplamda cheklovlar boʻlgan bir qator funksiyalarni eslang:

y=arcsin(x), manfiy va musbat 1 oʻrtasida aniqlangan.
y=ln(x), oʻnlik logarifm ijobiy argumentlar bilan maʼnoga ega.
kvadrat ildiz y=√x, faqat x ≧ 0 uchun hisoblangan.

I=√(-1) ni belgilab, biz xayoliy son kabi tushunchani kiritamiz, bu yuqoridagi funktsiyalarni belgilash sohasidan barcha cheklovlarni olib tashlaydi. Y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) kabi ifodalar kompleks sonlarning ayrim fazolarida maʼnoga ega.

Algebraik shakl haqiqiy x va y qiymatlari to’plamida z=x + i×y ifodasi sifatida yozilishi mumkin va i² =-1.

Yangi kontseptsiya har qanday algebraik funksiyadan foydalanishdagi barcha cheklovlarni olib tashlaydi va haqiqiy va xayoliy qiymatlar koordinatalaridagi toʻgʻri chiziq grafigiga oʻxshaydi.

Murakkab samolyot

Kompleks sonlarning geometrik shakli ularning koʻpgina xususiyatlarini vizual tarzda koʻrsatish imkonini beradi. Re(z) o'qida biz haqiqiy x qiymatlarini, Im(z) da - y ning xayoliy qiymatlarini belgilaymiz, keyin tekislikdagi z nuqtasi kerakli kompleks qiymatni ko'rsatadi.

Tanriflar:

Re(z) - haqiqiy oʻq.
Im(z) - xayoliy oʻqni bildiradi.
z - kompleks sonning shartli nuqtasi.
Vektor uzunligining noldan z gacha bo’lgan raqamli qiymati deyiladi.modul.
Haqiqiy va xayoliy oʻqlar samolyotni choraklarga ajratadi. Koordinatalarning ijobiy qiymati bilan - I chorak. Haqiqiy o'qning argumenti 0 dan kichik bo'lsa va tasavvur o'qi 0 dan katta bo'lsa - II chorak. Koordinatalar manfiy bo'lganda - III chorak. Oxirgi, toʻrtinchi chorakda koʻplab ijobiy haqiqiy va salbiy xayoliy qiymatlar mavjud.

Shunday qilib, x va y koordinata qiymatlari bo'lgan tekislikda har doim kompleks sonning nuqtasini tasavvur qilish mumkin. Haqiqiy qismni xayoliy qismdan ajratish uchun i belgisi kiritildi.

Xususiyatlar

Xayoliy argumentning qiymati nolga teng bo'lsa, biz faqat haqiqiy o'qda joylashgan va haqiqiy to'plamga tegishli bo'lgan raqamni (z=x) olamiz.
Haqiqiy argumentning qiymati nolga aylangan maxsus holat, z=i×y ifodasi nuqtaning xayoliy oʻqdagi joylashuviga mos keladi.
Z=x + i×y ning umumiy shakli argumentlarning nolga teng boʻlmagan qiymatlari uchun boʻladi. Kompleks sonni tavsiflovchi nuqtaning choraklardan biridagi joylashuvini ko'rsatadi.

Trigonometrik belgilar

Polar koordinatalar tizimini va sin va cos trigonometrik funksiyalarining ta'rifini eslang. Ko'rinib turibdiki, bu funksiyalar yordamida tekislikdagi istalgan nuqtaning joylashishini tasvirlash mumkin. Buning uchun qutb nurining uzunligini va haqiqiy o‘qga moyillik burchagini bilish kifoya.

Tanrif. ∣z ∣ koʻrinishdagi yozuv cos(p) trigonometrik funksiyalar yigʻindisiga va i ×sin(p) xayoliy qismga koʻpaytmasi trigonometrik kompleks son deyiladi. Bu erda belgi haqiqiy o'qga moyillik burchagi

s=arg(z) va r=∣z∣, nur uzunligi.

Trigonometrik funktsiyalarning ta'rifi va xususiyatlaridan juda muhim Moivre formulasi quyidagicha:

zⁿ =r × (cos(n × s) + i × sin(n × s)).

Ushbu formuladan foydalanib, trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan ko'plab tenglamalar tizimini echish qulay. Ayniqsa, kuchga ko'tarilish muammosi paydo bo'lganda.

Modul va faza

Murakkab toʻplam tavsifini yakunlash uchun ikkita muhim taʼrifni taklif qilamiz.

Pifagor teoremasini bilgan holda, qutb koordinata tizimidagi nur uzunligini hisoblash oson.

r=∣z∣=√(x² + y²), murakkab fazodagi bunday belgi " deyiladi. modul" va 0 dan tekislikdagi nuqtagacha bo'lgan masofani tavsiflaydi.

Kompleks nurning haqiqiy ps chizig'iga moyillik burchagi odatda faza deb ataladi.

Ta'rif haqiqiy va xayoliy qismlar siklik funksiyalar yordamida tasvirlanganligini ko'rsatadi. Ya'ni:

x=r × cos(ps);
y=r × sin(ps);

Aksincha, faza quyidagi formula orqali algebraik qiymatlar bilan bogʻlanadi:

s=arctan(x / y) + µ, geometrik funksiyalarning davriyligini hisobga olish uchun µ tuzatish kiritilgan.

Eyler formulasi

Matematiklar koʻpincha eksponensial shakldan foydalanadilar. Murakkab tekislik raqamlari

ifodalari sifatida yoziladi

z=r × eⁱ^×^s , bu Eyler formulasidan kelib chiqadi.

Ushbu yozuv fizik miqdorlarni amaliy hisoblash uchun keng qoʻllaniladi. Shaklda taqdimot shaklieksponensial kompleks sonlar, ayniqsa, muhandislik hisob-kitoblari uchun qulaydir, bu erda sinusoidal oqimlari bo'lgan davrlarni hisoblash kerak bo'ladi va berilgan davrga ega bo'lgan funktsiyalar integrallarining qiymatini bilish kerak bo'ladi. Hisob-kitoblarning o'zi turli xil mashina va mexanizmlarni loyihalashda vosita bo'lib xizmat qiladi.

Amallarni aniqlash

Yuqorida ta'kidlanganidek, asosiy matematik funktsiyalar bilan ishlashning barcha algebraik qonunlari kompleks raqamlarga taalluqlidir.

Jamlash operatsiyasi

Murakkab qiymatlarni qoʻshganda ularning haqiqiy va xayoliy qismlari ham qoʻshiladi.

z=z₁ + z₂ bu yerda z₁ va z2 _{- umumiy kompleks sonlar. Ifodani o'zgartirib, qavslarni ochib, yozuvni soddalashtirgandan so'ng, biz haqiqiy argumentni olamiz x=(x}1 _{+ x}2_{), xayoliy argument y=(y 1} + y₂).

Grafikda bu taniqli parallelogramma qoidasiga ko'ra ikkita vektor qo'shilganga o'xshaydi.

ayirish amali

Qo'shishning maxsus holati sifatida ko'rib chiqiladi, agar bitta raqam ijobiy bo'lsa, ikkinchisi salbiy bo'lsa, ya'ni oyna choragida joylashgan. Algebraik yozuv haqiqiy va xayoliy qismlar orasidagi farqga o'xshaydi.

z=z₁ - z₂, yoki argumentlarning qiymatlarini hisobga olgan holda, qoʻshimchaga oʻxshash operatsiya, biz haqiqiy qiymatlar uchun olamiz x=(x₁ - x₂) va xayoliy y=(y₁- y₂).

Murakkab tekislikda ko'paytirish

Ko'phadlar bilan ishlash qoidalaridan foydalanib, formulani olamizkompleks sonlarni yechish uchun.

Umumiy algebraik qoidalarga amal qilgan holda z=z₁×z₂, har bir argumentni tavsiflang va shunga o'xshashlarini sanab o'ting. Haqiqiy va xayoliy qismlarni quyidagicha yozish mumkin:

x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

Eksponensial kompleks sonlardan foydalansak yanada chiroyli koʻrinadi.

Ifoda quyidagicha koʻrinadi: z=z₁ × z₂ =r₁ × eⁱ^ϴ¹ × r₂ × eips2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ¹⁺^ϴ2).

Bundan tashqari, modullar ko'paytiriladi va fazalar qo'shiladi.

Divizion

Boʻlish amalini koʻpaytirishning teskarisi sifatida koʻrib chiqsak, koʻrsatkichli yozuvdagi oddiy ifodani olamiz. z₁ qiymatini z₂ ga bo’lish ularning modullarini va fazalar farqini bo’lish natijasidir. Rasmiy ravishda, kompleks sonlarning eksponensial shaklidan foydalanganda, u quyidagicha ko'rinadi:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ⁱ^ϴ¹ / r₂ × eⁱ ^ϴ²=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

Algebraik yozuv koʻrinishida kompleks tekislik sonlarini boʻlish amali biroz murakkabroq yoziladi:

z=z₁ / z_2.

Argumentlarni tavsiflash va polinom oʻzgartirishlarni amalga oshirish orqali qiymatlarni olish osonx=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, mos ravishda y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , ammo tasvirlangan boʻshliqda bu ibora, agar z₂ ≠ 0 boʻlsa, mantiqiy boʻladi.

Ildizni chiqarib oling

Yuqoridagilarning barchasi murakkabroq algebraik funktsiyalarni belgilashda qo'llanilishi mumkin - istalgan darajaga ko'tarish va unga teskari - ildizni ajratib olish.

N kuchini oshirishning umumiy tushunchasidan foydalanib, biz quyidagi ta'rifni olamiz:

zⁿ =(r × eⁱ^ϴ).

Umumiy xususiyatlardan foydalanib, shunday yozing:

zⁿ =rⁿ × eⁱ^s.

Biz murakkab sonni darajaga koʻtarishning oddiy formulasini oldik.

Daraja ta'rifidan biz juda muhim natijaga erishamiz. Xayoliy birlikning juft kuchi har doim 1 ga teng. Xayoliy birlikning har qanday toq kuchi har doim -1 ga teng.

Endi teskari funktsiyani o'rganamiz - ildizni ajratib olish.

Nota olish qulayligi uchun n=2 ni olaylik. Kompleks C tekislikdagi z kompleks qiymatining w kvadrat ildizi z=± ifoda sifatida qabul qilinadi, har qanday real argument dan katta yoki unga teng. nol. w ≦ 0 uchun hech qanday yechim yo'q.

Eng oddiy kvadrat tenglamani ko'rib chiqaylik z² =1. Kompleks son formulalaridan foydalanib, r² × e ^{ni qayta yozing.i}^2s =r² × eⁱ^2s=ei0^{. Yozuvdan ko'rinib turibdiki, r}2 ^{=1 va s=0, shuning uchun biz 1 ga teng yagona yechimga egamiz. Lekin bu z=-1 kvadrat ildiz taʼrifiga ham mos keladi, degan tushunchaga zid keladi.}

Keling, nimalarni hisobga olmasligimizni aniqlaylik. Agar trigonometrik belgini eslasak, unda biz bayonotni tiklaymiz - s fazasining davriy o'zgarishi bilan kompleks raqam o'zgarmaydi. P bilan davr qiymati belgilansin, u holda bizda r² × eⁱ^2ps =ei(0+p)^{, qayerdan 2ps=0 + p, yoki s=p / 2. Shuning uchun, e}i0 ^{=1 va e}i^p^/2 =-1. Biz ikkinchi yechimni oldik, bu kvadrat ildiz haqidagi umumiy tushunchaga mos keladi.

Shunday qilib, kompleks sonning ixtiyoriy ildizini topish uchun biz protseduraga amal qilamiz.

Eksponensial shaklni yozing w=∣w∣ × eⁱ⁽^arg (w) + pk), k - ixtiyoriy butun son.
Istalgan raqam Eyler shaklida ham ifodalangan z=r × eⁱ^p.
Ildiz chiqarish funksiyasining umumiy ta'rifidan foydalaning r eⁱ s ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
Modullar va argumentlar tengligining umumiy xossalaridan rⁿ =∣w∣ va nps=arg (w) + p×k ni yozamiz.
Kompleks sonning ildizining yakuniy yozuvi z=√∣w∣ × eⁱ ^{formula bilan tavsiflanadi (} ^arg (w) + pk ^{) /} .
Eslatma. ∣w∣ qiymati, ta'rifi bo'yicha,musbat haqiqiy son, shuning uchun har qanday darajaning ildizi mantiqiy.

Maydon va konjugatsiya

Xulosa qilib, kompleks sonlar bilan amaliy masalalarni yechish uchun unchalik ahamiyatga ega boʻlmagan, lekin matematika nazariyasini yanada rivojlantirish uchun zarur boʻlgan ikkita muhim taʼrifni beramiz.

Qoʻshish va koʻpaytirish iboralari, agar ular z kompleks tekisligining istalgan elementlari uchun aksiomalarni qondirsa, maydon hosil qiladi deyiladi:

Kompleks yigʻindisi murakkab atamalar oʻrnini oʻzgartirishdan oʻzgarmaydi.
Bu gap toʻgʻri - murakkab ifodada ikkita raqamning istalgan yigʻindisi ularning qiymati bilan almashtirilishi mumkin.
z + 0=0 + z=z to'g'ri bo'lgan neytral qiymat 0 mavjud.
Har qanday z uchun qarama-qarshi - z mavjud, unga qo'shilish nolni beradi.
Murakkab omillar oʻrnini almashtirganda, murakkab mahsulot oʻzgarmaydi.
Istalgan ikki sonning koʻpaytmasini ularning qiymati bilan almashtirish mumkin.
Neytral qiymat 1 bor, uni koʻpaytirish kompleks sonni oʻzgartirmaydi.
Har bir z ≠ 0 uchun z^-1 ning teskarisi mavjud boʻlib, u 1 ga koʻpayadi.
Ikki sonning yigʻindisini uchdan biriga koʻpaytirish ularning har birini shu songa koʻpaytirish va natijalarni qoʻshish amaliga teng.
0 ≠ 1.

z₁ =x + i×y va z₂ =x - i×y raqamlari konjugat deyiladi.

Teorema. Konjugatsiya uchun gap to'g'ri:

Yig'indining konjugasiyasi konjugat elementlar yig'indisiga teng.
Mahsulotning konjugatikonjugatsiya hosilasi.
Konjugatsiyaning konjugasiyasi sonning oʻziga teng.

Umumiy algebrada bunday xossalar maydon avtomorfizmlari deb ataladi.

Misollar

Kompleks sonlarning berilgan qoidalari va formulalariga amal qilgan holda, ular bilan osongina ishlashingiz mumkin.

Eng oddiy misollarni ko'rib chiqaylik.

Muammo 1. 3y +5 x i=15 - 7i tenglamasidan foydalanib, x va y ni aniqlang.

Qaror. Murakkab tengliklarning ta'rifini eslang, keyin 3y=15, 5x=-7. Shuning uchun x=-7 / 5, y=5.

2-topshiriq. 2 + i²⁸ va 1 + i¹³⁵ qiymatlarini hisoblang.

Qaror. Shubhasiz, 28 - juft son, murakkab sonning ta'rifi natijasidan i²⁸ =1, ya'ni 2 + i ^{ifodasi 28} =3. Ikkinchi qiymat, i¹³⁵ =-1, keyin 1 + i¹³⁵ =0.

3-topshiriq. 2 + 5i va 4 + 3i qiymatlarining mahsulotini hisoblang.

Qaror. Kompleks sonlarni ko'paytirishning umumiy xususiyatlaridan biz (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i (6 + 20) ni olamiz. Yangi qiymat -7 + 26i bo'ladi.

4-topshiriq. z³ =-i.

tenglamaning ildizlarini hisoblang

Qaror. Kompleks sonni topishning bir necha usullari mavjud. Keling, mumkin bo'lganlardan birini ko'rib chiqaylik. Ta'rifga ko'ra, ∣ - i∣=1, -i uchun faza -p / 4. Asl tenglamani r³e^{i shaklida qayta yozish mumkin.}3s ^=e-p/4+pk^{, bu yerdan z=e}-p / 12 + pk/3^{, har qanday butun k. uchun}

Yechimlar toʻplami shaklga ega (e^-^ip/12,e^ip^/4, eⁱ² ^p/3).

Bizga murakkab raqamlar nima uchun kerak

Tarix ko'plab misollarni biladi, chunki olimlar nazariya ustida ishlayotganda, ularning natijalarini amaliyotda qo'llash haqida o'ylamaydilar. Matematika, eng avvalo, aql o'yini, sabab-natija munosabatlariga qat'iy rioya qilishdir. Deyarli barcha matematik konstruktsiyalar integral va differensial tenglamalarni echishga qisqartiriladi va ular, o'z navbatida, ba'zi bir yaqinlashish bilan, ko'phadlarning ildizlarini topish orqali hal qilinadi. Bu yerda biz birinchi navbatda xayoliy sonlar paradoksiga duch kelamiz.

Tabiatshunos olimlar toʻliq amaliy masalalarni yechab, turli tenglamalar yechimlariga murojaat qilib, matematik paradokslarni kashf etadilar. Ushbu paradokslarning talqini mutlaqo ajoyib kashfiyotlarga olib keladi. Elektromagnit to'lqinlarning ikki tomonlama tabiati bunga misoldir. Murakkab raqamlar ularning xususiyatlarini tushunishda hal qiluvchi rol o'ynaydi.

Bu, oʻz navbatida, optika, radioelektronika, energetika va boshqa koʻplab texnologik sohalarda amaliy qoʻllanilishini topdi. Yana bir misol, jismoniy hodisalarni tushunish ancha qiyinroq. Antimateriya qalam uchida bashorat qilingan. Ko'p yillar o'tgach, uni jismoniy sintez qilishga urinishlar boshlanadi.

Bunday vaziyatlar faqat fizikada bo'ladi deb o'ylamang. Bundan kam qiziqarli kashfiyotlar yovvoyi tabiatda, makromolekulalar sintezida, sun'iy intellektni o'rganish jarayonida amalga oshirilmaydi. Va bularning barchasi rahmatongimizni kengaytirish, tabiiy qiymatlarni oddiy qo'shish va ayirishdan uzoqlashish.