Maclaurin seriyasi va ba'zi funktsiyalarni kengaytirish

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Oliy matematika talabalari shuni bilishlari kerakki, berilgan qatorning yaqinlashish intervaliga tegishli boʻlgan baʼzi darajali qatorlar yigʻindisi uzluksiz va cheksiz koʻp marta differentsiallangan funksiya boʻlib chiqadi. Savol tug'iladi: berilgan ixtiyoriy funktsiya f(x) qandaydir darajali qatorlarning yig'indisi ekanligini ta'kidlash mumkinmi? Ya’ni f(x) funksiyani qanday sharoitlarda daraja qatori bilan ifodalash mumkin? Bu savolning ahamiyati shundan iboratki, f(x) funksiyani darajalar qatorining dastlabki bir necha hadlari yig’indisiga, ya’ni ko’phadga taxminan almashtirish mumkin. Funktsiyani juda oddiy ifoda - ko'phad bilan bunday almashtirish matematik analizning ba'zi masalalarini yechishda ham qulaydir, xususan: integrallarni yechishda, differentsial tenglamalarni hisoblashda va hokazo.

Ba'zi f(x) funksiyasi uchun (n+1)-tartibga qadar hosilalarni, shu jumladan oxirgisini qo'shnilikda hisoblash mumkinligi isbotlangan (a _{- R; x}0 _{+ R) biror nuqtaning x=a formulasi amal qiladi:}

Bu formula mashhur olim Bruk Teylor sharafiga nomlangan. Oldingi seriyadan olingan seriya Maklaurin seriyasi deb ataladi:

Maklaurin seriyasida kengaytirishga imkon beruvchi qoida:

1. Birinchi, ikkinchi, uchinchi… tartiblarning hosilalarini aniqlang.
2. X=0 da hosilalari nimaga teng ekanligini hisoblang.
3. Ushbu funksiya uchun Maklaurin seriyasini yozib oling va keyin uning yaqinlashuv oraligʻini aniqlang.
4. Maklaurin formulasining qolgan qismi boʻlgan intervalni (-R;R) aniqlang

R (x) -> 0 n uchun -> cheksizlik. Agar mavjud bo'lsa, undagi f(x) funksiyasi Maklaurin seriyasining yig'indisiga to'g'ri kelishi kerak.

Endi alohida funksiyalar uchun Maklaurin seriyasini koʻrib chiqing.

1. Shunday qilib, birinchi f(x)=e^x bo'ladi. Albatta, o'z xususiyatlariga ko'ra, bunday funktsiya turli tartibli hosilalarga ega va f^(k)(x)=e^x, bunda k hammasiga teng. natural sonlar. X=0 ni almashtiramiz. Biz f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… olamiz ^{quyidagicha koʻrinadi:}

2. f(x)=sin x funksiyasi uchun Maklaurin qatori. F^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' dan tashqari barcha noma'lumlar uchun funksiya hosilalarga ega bo'lishini darhol aniqlang. (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), bu yerda k har qanday natural songa teng. Ya'ni, oddiy hisob-kitoblarni amalga oshirganimizdan so'ng, f(x)=sin x uchun qator quyidagi ko'rinishda bo'ladi, degan xulosaga kelishimiz mumkin:}

3. Endi f(x)=cos x funksiyani ko'rib chiqishga harakat qilaylik. U hamma noma'lumlar uchunixtiyoriy tartibli hosilalarga ega va |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Yana, ba'zi hisob-kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, f(x)=cos x uchun qator quyidagicha ko'rinishini tushunamiz:

Shunday qilib, biz Maklaurin seriyasida kengaytirilishi mumkin boʻlgan eng muhim funksiyalarni sanab oʻtdik, biroq ular baʼzi funksiyalar uchun Teylor seriyasi bilan toʻldiriladi. Endi biz ularni sanab o'tamiz. Shuni ham ta'kidlash joizki, Teylor va Maklaurin qatorlari oliy matematikada qatorlarni yechish amaliyotining muhim qismidir. Shunday qilib, Teylor seriyasi.

1. Birinchisi f-ii f(x)=ln(1+x) uchun qator bo'ladi. Oldingi misollarda bo'lgani kabi, bizga f (x)=ln (1 + x) berilgan bo'lsa, biz Maklaurin seriyasining umumiy shaklidan foydalanib, qator qo'shishimiz mumkin. ammo, bu funksiya uchun, Maklaurin seriyasini ancha sodda tarzda olish mumkin. Muayyan geometrik qatorni integrallashgandan so'ng, biz ushbu namunadagi f(x)=ln(1+x) uchun qatorni olamiz:

2. Va ikkinchisi, bizning maqolamizda yakuniy bo'ladi, f (x) u003d arctg x uchun bir qator bo'ladi. [-1;1] oralig'iga tegishli x uchun kengayish amal qiladi:

Hammasi. Ushbu maqola oliy matematikada, xususan, iqtisodiy va texnik universitetlarda eng ko'p qo'llaniladigan Teylor va Maklaurin seriyalarini ko'rib chiqdi.