Furye seriyasi - ixtiyoriy ravishda olingan funktsiyani qator sifatida ma'lum bir davri bilan tasvirlash. Umuman olganda, bu yechim elementning ortogonal asosda parchalanishi deb ataladi. Furye qatoridagi funksiyalarning kengayishi argument va konvolyutsiyadagi ifodani integrallash, differensiallash, shuningdek siljitishda ushbu transformatsiyaning xossalari tufayli turli muammolarni hal qilish uchun juda kuchli vositadir.
Oliy matematika, shuningdek, frantsuz olimi Furye asarlari bilan tanish bo'lmagan odam, ehtimol, bu "qatorlar" nima ekanligini va ular nima uchun ekanligini tushunmaydi. Ayni paytda, bu o'zgarish bizning hayotimizda juda zich bo'ldi. U nafaqat matematiklar, balki fiziklar, kimyogarlar, shifokorlar, astronomlar, seysmologlar, okeanologlar va boshqalar tomonidan ham qo'llaniladi. Keling, o'z davridan oldin kashfiyot qilgan buyuk fransuz olimining asarlarini batafsil ko'rib chiqaylik.
Inson va Furye oʻzgarishi
Furye seriyalari Furye transformatsiyasining usullaridan biri (tahlil va boshqalar bilan birga). Bu jarayon har safar odam tovushni eshitganda sodir bo'ladi. Bizning qulog'imiz ovozni avtomatik ravishda o'zgartiradito'lqinlar. Elastik muhitdagi elementar zarrachalarning tebranish harakatlari turli balandlikdagi ohanglar uchun tovush darajasining ketma-ket qiymatlari qatorlariga (spektr bo'ylab) parchalanadi. Keyinchalik, miya bu ma'lumotlarni bizga tanish bo'lgan tovushlarga aylantiradi. Bularning barchasi bizning xohishimiz yoki ongimizdan tashqari, o'z-o'zidan sodir bo'ladi, ammo bu jarayonlarni tushunish uchun oliy matematikani o'rganish uchun bir necha yil kerak bo'ladi.
Fourier transformatsiyasi haqida batafsil
Furye konvertatsiyasini analitik, raqamli va boshqa usullar bilan amalga oshirish mumkin. Furye seriyalari har qanday tebranish jarayonlarini parchalashning raqamli usulini anglatadi - okean to'lqinlari va yorug'lik to'lqinlaridan quyosh (va boshqa astronomik ob'ektlar) faolligi davrlarigacha. Ushbu matematik usullardan foydalanib, har qanday tebranish jarayonlarini minimaldan maksimalgacha va aksincha sinusoidal komponentlar qatori sifatida ifodalovchi funktsiyalarni tahlil qilish mumkin. Furye transformatsiyasi ma'lum bir chastotaga mos keladigan sinusoidlarning fazasi va amplitudasini tavsiflovchi funktsiyadir. Bu jarayon issiqlik, yorug'lik yoki elektr energiyasi ta'sirida sodir bo'ladigan dinamik jarayonlarni tavsiflovchi juda murakkab tenglamalarni echish uchun ishlatilishi mumkin. Shuningdek, Furye seriyasi murakkab tebranish signallaridagi doimiy komponentlarni ajratib olish imkonini beradi, bu esa tibbiyot, kimyo va astronomiya boʻyicha olingan eksperimental kuzatishlarni toʻgʻri talqin qilish imkonini beradi.
Tarixiy ma'lumot
Ushbu nazariyaning asoschisiJan Baptiste Jozef Furye - frantsuz matematiki. Keyinchalik bu o'zgarish uning nomi bilan ataldi. Dastlab olim issiqlik o'tkazuvchanligi mexanizmlarini - qattiq jismlarda issiqlik tarqalishini o'rganish va tushuntirish uchun o'z usulini qo'lladi. Furye, issiqlik to'lqinining dastlabki tartibsiz taqsimlanishini eng oddiy sinusoidlarga parchalash mumkinligini taklif qildi, ularning har biri o'zining minimal harorati va maksimal haroratiga, shuningdek, o'z fazasiga ega bo'ladi. Bunday holda, har bir bunday komponent minimaldan maksimalgacha va aksincha o'lchanadi. Egri chiziqning yuqori va pastki cho'qqilarini, shuningdek har bir harmonikaning fazasini tavsiflovchi matematik funktsiya harorat taqsimotining Furye transformatsiyasi deb ataladi. Nazariya muallifi matematik jihatdan tasvirlash qiyin boʻlgan umumiy taqsimot funksiyasini dastlabki taqsimotga qoʻshib qoʻyadigan davriy kosinus va sinus funksiyalarining juda oson ishlov beriladigan qatoriga qisqartirdi.
Transformatsiya tamoyili va zamondoshlar qarashlari
Olimning zamondoshlari - XIX asr boshlarining yetakchi matematiklari bu nazariyani qabul qilishmagan. Asosiy e'tiroz Furyening to'g'ri chiziq yoki uzluksiz egri chiziqni tavsiflovchi uzluksiz funktsiyani uzluksiz sinusoidal ifodalar yig'indisi sifatida tasvirlash mumkin degan fikri edi. Misol tariqasida, Heavisidening "qadamini" ko'rib chiqing: uning qiymati bo'shliqning chap tomonida nolga teng va o'ng tomonda bir. Bu funksiya kontaktlarning zanglashiga olib yopilganda elektr tokining vaqt o'zgaruvchisiga bog'liqligini tavsiflaydi. O'sha paytdagi nazariya zamondoshlari hech qachon bunday holatga duch kelmagan ediuzluksiz ifoda eksponensial, sinusoid, chiziqli yoki kvadratik kabi uzluksiz, oddiy funksiyalar birikmasi bilan tasvirlangan vaziyat.
Fransuz matematiklarini Furye nazariyasida nima chalkashtirib yubordi?
Agar matematik oʻz gaplarida toʻgʻri boʻlgan boʻlsa, u holda Furyening cheksiz trigonometrik qatorini jamlab, uning oʻxshash bosqichlari koʻp boʻlsa ham, qadam ifodasining aniq tasvirini olishingiz mumkin. O'n to'qqizinchi asrning boshida bunday bayonot bema'ni tuyuldi. Ammo barcha shubhalarga qaramay, ko'plab matematiklar bu hodisani o'rganish doirasini kengaytirib, uni issiqlik o'tkazuvchanligini o'rganish doirasidan tashqariga chiqarishdi. Biroq, ko'pchilik olimlar "Sinusoidal qatorlar yig'indisi uzluksiz funktsiyaning aniq qiymatiga yaqinlasha oladimi?"
savol ustida qiynalib qolishdi.
Furye qatorining yaqinlashuvi: misol
Cheksiz sonlar qatorini jamlash zarur boʻlganda yaqinlashuv masalasi koʻtariladi. Ushbu hodisani tushunish uchun klassik misolni ko'rib chiqing. Har bir keyingi qadam oldingisining yarmiga teng bo'lsa, devorga etib bora olasizmi? Maqsaddan ikki metr masofada turibsiz deylik, birinchi qadam sizni yarim yo'lga, keyingisi to'rtdan uchga yaqinlashtiradi va beshinchidan keyin siz yo'lning deyarli 97 foizini bosib o'tasiz. Biroq, qancha qadam tashlasangiz ham, qat'iy matematik ma'noda ko'zlangan maqsadga erisha olmaysiz. Raqamli hisob-kitoblardan foydalanib, oxir-oqibatda odam xohlagancha yaqinlasha olishini isbotlash mumkin.kichik belgilangan masofa. Bu dalil yarim, toʻrtdan bir va hokazolarning yigʻindisi birga moyil boʻlishini koʻrsatishga teng.
Konvergentsiya savoli: Ikkinchi Kelish yoki Lord Kelvinning asbobi
Bu savol oʻn toʻqqizinchi asrning oxirida, Furye qatorlaridan pasayish va oqimning intensivligini bashorat qilishda foydalanishga harakat qilinganda qayta-qayta koʻtarilgan. Bu vaqtda lord Kelvin harbiy va savdo floti dengizchilariga ushbu tabiiy hodisani kuzatish imkonini beruvchi analog hisoblash qurilmasi bo'lgan qurilmani ixtiro qildi. Ushbu mexanizm fazalar va amplitudalar to'plamini yil davomida ma'lum bir bandargohda diqqat bilan o'lchangan to'lqin balandligi jadvali va ularning tegishli vaqt momentlarini aniqladi. Har bir parametr to'lqin balandligi ifodasining sinusoidal komponenti edi va muntazam komponentlardan biri edi. O'lchov natijalari Lord Kelvinning kalkulyatoriga kiritildi, u kelgusi yil uchun vaqt funktsiyasi sifatida suvning balandligini bashorat qiladigan egri chiziqni sintez qildi. Tez orada dunyoning barcha portlari uchun xuddi shunday egri chiziqlar chizildi.
Agar jarayon uzluksiz funksiya tomonidan buzilgan boʻlsa?
O'sha paytda, ko'p sonli hisoblash elementlariga ega bo'lgan to'lqinlar to'lqinining bashoratchisi ko'p sonli fazalar va amplitudalarni hisoblab chiqishi va shu tariqa aniqroq bashoratlarni berishi aniq ko'rinardi. Shunday bo'lsa-da, ma'lum bo'lishicha, bu muntazamlik quyidagi to'lqin ifodasi hollarda kuzatilmaydisintez, keskin sakrashni o'z ichiga olgan, ya'ni uzluksiz edi. Vaqt lahzalari jadvalidan ma'lumotlar qurilmaga kiritilgan bo'lsa, u bir nechta Furye koeffitsientlarini hisoblab chiqadi. Asl funktsiya sinusoidal komponentlar (topilgan koeffitsientlar bo'yicha) tufayli tiklanadi. Asl va tiklangan ifoda o'rtasidagi tafovutni istalgan nuqtada o'lchash mumkin. Takroriy hisob-kitoblar va taqqoslashlar olib borilganda, eng katta xatoning qiymati kamaymasligini ko'rish mumkin. Biroq, ular uzilish nuqtasiga mos keladigan mintaqada lokalizatsiya qilinadi va boshqa har qanday nuqtada nolga moyil bo'ladi. 1899 yilda bu natija Yel universitetidan Joshua Uillard Gibbs tomonidan nazariy jihatdan tasdiqlangan.
Furye qatorlarining konvergentsiyasi va umuman matematikaning rivojlanishi
Furye tahlili ma'lum oraliqda cheksiz sonli portlashlarni o'z ichiga olgan iboralarga taalluqli emas. Umuman olganda, Furye seriyasi, agar asl funktsiya haqiqiy jismoniy o'lchov natijasi bo'lsa, har doim yaqinlashadi. Bu jarayonning muayyan funktsiyalar sinflari uchun yaqinlashuvi masalalari matematikada yangi bo'limlarning, masalan, umumlashtirilgan funktsiyalar nazariyasining paydo bo'lishiga olib keldi. Bu L. Shvarts, J. Mikusinskiy va J. Templ kabi nomlar bilan bog'liq. Ushbu nazariya doirasida Dirac delta funktsiyasi (u nuqtaning cheksiz kichik qo'shnisida to'plangan yagona hududning maydonini tavsiflaydi) va Heaviside kabi ifodalar uchun aniq va aniq nazariy asos yaratilgan. qadam”. Ushbu ish tufayli Furye seriyasi qo'llanilishi mumkin bo'ldiintuitiv tushunchalarni o'z ichiga olgan tenglamalar va masalalarni yechish: nuqta zaryadi, nuqta massasi, magnit dipollar, shuningdek, nurga konsentrlangan yuk.
Furye usuli
Furye qatorlari interferensiya tamoyillariga muvofiq, murakkab shakllarni oddiyroqlarga parchalashdan boshlanadi. Masalan, issiqlik oqimining o'zgarishi uning tartibsiz shakldagi issiqlik o'tkazmaydigan materialdan yasalgan turli to'siqlardan o'tishi yoki yer yuzasining o'zgarishi - zilzila, osmon jismining orbitasining o'zgarishi - ta'siri bilan izohlanadi. sayyoralar. Qoida tariqasida, oddiy klassik tizimlarni tavsiflovchi o'xshash tenglamalar har bir alohida to'lqin uchun elementar hal qilinadi. Furye shuni ko'rsatdiki, oddiy echimlar ham murakkabroq muammolarning echimini berish uchun jamlanishi mumkin. Matematika tilida Furye seriyasi ifodani harmonikalar - kosinus va sinusoidlar yig'indisi sifatida ifodalash texnikasidir. Shuning uchun bu tahlil "garmonik tahlil" deb ham ataladi.
Furye seriyasi - "kompyuter asridan" oldingi ideal texnika
Kompyuter texnologiyalari yaratilishidan oldin, Furye texnikasi bizning dunyomizning to'lqinli tabiati bilan ishlashda olimlar arsenalidagi eng yaxshi qurol edi. Murakkab shakldagi Furye seriyasi nafaqat Nyuton mexanikasi qonunlariga bevosita qo'llanilishi mumkin bo'lgan oddiy muammolarni, balki asosiy tenglamalarni ham hal qilishga imkon beradi. XIX asrda Nyuton fanining aksariyat kashfiyotlari faqat Furye texnikasi yordamida amalga oshirilgan.
Furye seriyasi bugun
Fourier transform kompyuterlarining rivojlanishi bilanbutunlay yangi bosqichga ko'tarildi. Bu texnika fan va texnikaning deyarli barcha sohalarida mustahkam o‘rnashib olgan. Bunga misol raqamli audio va video signaldir. Uni amalga oshirish faqat XIX asr boshlarida frantsuz matematigi tomonidan ishlab chiqilgan nazariya tufayli mumkin bo'ldi. Shunday qilib, Furye seriyasi murakkab shaklda kosmosni o'rganishda yutuq yaratishga imkon berdi. Bundan tashqari, u yarimo'tkazgichlar va plazma fizikasini, mikroto'lqinli akustikani, okeanografiyani, radarni, seysmologiyani o'rganishga ta'sir qildi.
Trigonometrik Furye seriyasi
Matematikada Furye qatori ixtiyoriy murakkab funksiyalarni oddiyroqlar yigʻindisi sifatida ifodalash usulidir. Umuman olganda, bunday iboralar soni cheksiz bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, hisoblashda ularning soni qanchalik ko'p hisobga olinsa, yakuniy natija shunchalik aniq bo'ladi. Ko'pincha, kosinus yoki sinusning trigonometrik funktsiyalari eng oddiylari sifatida ishlatiladi. Bunda Furye qatori trigonometrik, bunday ifodalarning yechimi esa garmonikning kengayishi deyiladi. Bu usul matematikada muhim rol o'ynaydi. Avvalo, trigonometrik qator funksiyalarni o'rganish bilan bir qatorda tasvir uchun vositani ham ta'minlaydi, u nazariyaning asosiy apparati hisoblanadi. Bundan tashqari, u matematik fizikaning bir qator masalalarini hal qilish imkonini beradi. Nihoyat, bu nazariya matematik tahlilning rivojlanishiga hissa qo'shdi, matematika fanining bir qator o'ta muhim bo'limlarini (integrallar nazariyasi, davriy funktsiyalar nazariyasi) yuzaga keltirdi. Bundan tashqari, u quyidagi nazariyalarning rivojlanishi uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi: to'plamlar, funktsiyalarreal oʻzgaruvchi, funksional tahlil, shuningdek, garmonik tahlil uchun asos yaratdi.
