Furye transformatsiyasi - bu qandaydir real oʻzgaruvchining funksiyalarini solishtiruvchi transformatsiya. Bu operatsiya har xil tovushlarni sezganimizda amalga oshiriladi. Quloq bizning ongimiz faqat oliy matematikaning tegishli bo'limini o'rgangandan keyingina amalga oshirishi mumkin bo'lgan avtomatik "hisoblash" ni amalga oshiradi. Inson eshitish organi transformatsiyani yaratadi, buning natijasida tovush (qattiq, suyuq yoki gazsimon muhitda to'lqin shaklida tarqaladigan elastik muhitdagi shartli zarrachalarning tebranish harakati) ketma-ket qiymatlar spektri shaklida ta'minlanadi. turli balandlikdagi ohanglarning ovoz balandligi. Shundan so'ng, miya bu ma'lumotni hamma uchun tanish bo'lgan tovushga aylantiradi.
Matematik Furye transformatsiyasi
Ovoz toʻlqinlarini yoki boshqa tebranish jarayonlarini (yorugʻlik nurlanishi va okean toʻlqinlaridan yulduzlar yoki quyosh faolligi davrlariga) oʻzgartirish ham matematik usullar yordamida amalga oshirilishi mumkin. Shunday qilib, ushbu usullardan foydalanib, tebranish jarayonlarini sinusoidal komponentlar to'plami, ya'ni to'lqinli egri chiziqlar sifatida ifodalash orqali funktsiyalarni ajratish mumkin.dengiz to'lqini kabi pastdan balandga, keyin pastga qaytib boring. Furye transformatsiyasi - funktsiyasi ma'lum bir chastotaga mos keladigan har bir sinusoidning fazasini yoki amplitudasini tavsiflovchi transformatsiya. Faza egri chiziqning boshlang'ich nuqtasi, amplitudasi esa uning balandligi.
Furye transformatsiyasi (misollar fotosuratda ko'rsatilgan) fanning turli sohalarida qo'llaniladigan juda kuchli vositadir. Ba'zi hollarda yorug'lik, issiqlik yoki elektr energiyasi ta'sirida sodir bo'ladigan dinamik jarayonlarni tavsiflovchi juda murakkab tenglamalarni echish vositasi sifatida ishlatiladi. Boshqa hollarda u murakkab tebranish signallaridagi muntazam komponentlarni aniqlash imkonini beradi, buning yordamida kimyo, tibbiyot va astronomiyadagi turli eksperimental kuzatishlarni toʻgʻri talqin qilish mumkin.
Tarixiy ma'lumot
Bu usulni birinchi boʻlib qoʻllagan kishi frantsuz matematigi Jan Baptist Furye boʻlgan. Keyinchalik uning nomi bilan atalgan transformatsiya dastlab issiqlik o'tkazish mexanizmini tasvirlash uchun ishlatilgan. Furye butun kattalar hayotini issiqlik xususiyatlarini o'rganish bilan o'tkazdi. U algebraik tenglamalar ildizlarini aniqlashning matematik nazariyasiga katta hissa qo'shdi. Furye Politexnika maktabining tahlil professori, Misrologiya institutining kotibi, imperator xizmatida bo'lgan, u erda Turinga yo'l qurilishida (uning rahbarligida 80 ming kvadrat kilometrdan ortiq bezgak) ajralib turdi.botqoqlar). Biroq, bu qizg'in faoliyat olimning matematik tahlil qilishiga to'sqinlik qilmadi. 1802 yilda u qattiq jismlarda issiqlik tarqalishini tavsiflovchi tenglamani yaratdi. 1807 yilda olim ushbu tenglamani yechish usulini topdi, u "Furye konvertatsiyasi" deb nomlandi.
Issiqlik o'tkazuvchanligi tahlili
Olim issiqlik o'tkazuvchanlik mexanizmini tasvirlash uchun matematik usulni qo'llagan. Hisoblashda hech qanday qiyinchiliklar bo'lmagan qulay misol - bu olovning bir qismiga botirilgan temir halqa orqali issiqlik energiyasining tarqalishi. Tajribalarni o'tkazish uchun Furye bu halqaning bir qismini qizg'ish qizdirdi va uni mayda qumga ko'mdi. Shundan so'ng, u uning qarama-qarshi tomonida harorat o'lchovlarini oldi. Dastlab, issiqlikning taqsimlanishi tartibsiz: halqaning bir qismi sovuq, ikkinchisi esa issiq, bu zonalar orasida keskin harorat gradienti kuzatilishi mumkin. Biroq, metallning butun yuzasi bo'ylab issiqlik tarqalishi jarayonida u yanada bir xil bo'ladi. Shunday qilib, tez orada bu jarayon sinusoid shaklini oladi. Dastlab, grafik kosinus yoki sinus funktsiyasining o'zgarish qonunlariga muvofiq silliq ravishda oshadi va silliq ravishda kamayadi. To'lqin asta-sekin pasayadi va natijada harorat halqaning butun yuzasida bir xil bo'ladi.
Ushbu usul muallifi dastlabki tartibsiz taqsimotni bir qator elementar sinusoidlarga parchalash mumkinligini taklif qilgan. Ularning har biri o'z fazasi (boshlang'ich pozitsiyasi) va o'z haroratiga ega bo'ladimaksimal. Bundan tashqari, har bir bunday komponent minimaldan maksimalga o'zgaradi va halqa atrofida bir necha marta to'liq aylanishda o'zgaradi. Bir davrga ega bo'lgan komponent fundamental garmonik, ikki yoki undan ortiq davrga ega bo'lgan qiymat ikkinchi va hokazo deb ataladi. Shunday qilib, haroratning maksimal, fazasi yoki holatini tavsiflovchi matematik funktsiya taqsimot funktsiyasining Furye konvertatsiyasi deb ataladi. Olim matematik jihatdan ta’riflash qiyin bo‘lgan yagona komponentni ishlatish uchun qulay vosita – kosinus va sinus qatoriga qisqartirdi, bu esa asl taqsimotni beradi.
Tahlilning mohiyati
Ushbu tahlilni halqasimon shaklga ega boʻlgan qattiq jism orqali issiqlik tarqalishini oʻzgartirishda qoʻllagan holda, matematik sinusoidal komponentning davrlarini koʻpaytirish uning tez yemirilishiga olib keladi, deb asosladi. Bu asosiy va ikkinchi garmonikalarda aniq ko'rinadi. Ikkinchisida harorat bir o'tishda ikki marta, birinchisida esa faqat bir marta maksimal va minimal qiymatlarga etadi. Ma'lum bo'lishicha, ikkinchi garmonikada issiqlik bosib o'tgan masofa fundamentaldagining yarmiga teng bo'ladi. Bundan tashqari, ikkinchisidagi gradient ham birinchisiga qaraganda ikki baravar tik bo'ladi. Shuning uchun, kuchliroq issiqlik oqimi ikki barobar qisqa masofani bosib o'tganligi sababli, bu garmonik vaqt funktsiyasi sifatida asosiyga qaraganda to'rt marta tezroq parchalanadi. Kelajakda bu jarayon yanada tezlashadi. Matematikning fikricha, bu usul vaqt davomida haroratning dastlabki taqsimotini hisoblash imkonini beradi.
Zamondoshlar uchun tanlov
Furyeni oʻzgartirish algoritmi oʻsha paytdagi matematikaning nazariy asoslariga qarshi chiqdi. O'n to'qqizinchi asrning boshlarida, eng ko'zga ko'ringan olimlar, shu jumladan, Lagrange, Laplas, Puasson, Legendre va Biot, uning dastlabki harorat taqsimoti fundamental harmonik va yuqori chastotalar shaklida tarkibiy qismlarga parchalanishi haqidagi bayonotini qabul qilmadi. Biroq, Fanlar akademiyasi matematik tomonidan olingan natijalarni e'tiborsiz qoldira olmadi va unga issiqlik o'tkazuvchanligi qonunlari nazariyasi, shuningdek, fizik tajribalar bilan taqqoslaganligi uchun mukofot berdi. Furye yondashuvida asosiy e’tiroz uzluksiz funksiya uzluksiz bo‘lgan bir necha sinusoidal funksiyalar yig‘indisi bilan ifodalanishi edi. Axir, ular yirtilgan tekis va egri chiziqlarni tasvirlaydi. Olimning zamondoshlari uzluksiz funksiyalar kvadratik, chiziqli, sinusoid yoki eksponensial kabi uzluksiz funktsiyalar kombinatsiyasi bilan tavsiflanganda, shunga o'xshash vaziyatga hech qachon duch kelmagan. Agar matematik o'z bayonotlarida to'g'ri bo'lsa, trigonometrik funktsiyaning cheksiz qatorining yig'indisi aniq bosqichma-bosqich qisqartirilishi kerak. O'sha paytda bunday bayonot bema'ni tuyulardi. Biroq, shubhalarga qaramay, ba'zi tadqiqotchilar (masalan, Klod Navier, Sofi Germain) tadqiqot doirasini kengaytirdilar va ularni issiqlik energiyasini taqsimlash tahlilidan tashqariga chiqdilar. Shu bilan birga, matematiklar bir nechta sinusoidal funktsiyalar yig'indisini uzluksiz funksiyaning aniq ko'rinishiga keltirish mumkinmi degan savol bilan kurashishda davom etishdi.
200 yoshdatarix
Bu nazariya ikki asr davomida rivojlandi, bugun u nihoyat shakllandi. Uning yordami bilan fazoviy yoki vaqtinchalik funktsiyalar o'z chastotasi, fazasi va amplitudasiga ega bo'lgan sinusoidal komponentlarga bo'linadi. Ushbu o'zgartirish ikki xil matematik usul bilan olinadi. Ulardan birinchisi asl funktsiya uzluksiz bo'lganda, ikkinchisi esa diskret individual o'zgarishlar to'plami bilan ifodalanganda qo'llaniladi. Agar ifoda diskret oraliqlar bilan belgilangan qiymatlardan olingan bo'lsa, uni diskret chastotali bir nechta sinusoidal ifodalarga bo'lish mumkin - eng pastdan, keyin esa ikki marta, uch marta va hokazo. Bunday yig'indiga Furye qatori deyiladi. Agar boshlang'ich ifodaga har bir haqiqiy son uchun qiymat berilsa, u holda barcha mumkin bo'lgan chastotalarning bir nechta sinusoidaliga ajralishi mumkin. U odatda Furye integrali deb ataladi va yechim funktsiyaning integral o'zgarishlarini nazarda tutadi. Konvertatsiya qanday olinishidan qat'i nazar, har bir chastota uchun ikkita raqam ko'rsatilishi kerak: amplituda va chastota. Bu qiymatlar bitta kompleks son sifatida ifodalanadi. Murakkab o‘zgaruvchilarni ifodalash nazariyasi Furye transformatsiyasi bilan birgalikda turli elektr zanjirlarini loyihalashda, mexanik tebranishlarni tahlil qilishda, to‘lqin tarqalish mexanizmini o‘rganishda va boshqalarda hisob-kitoblarni amalga oshirish imkonini berdi.
Fourier Transform Today
Bugungi kunda ushbu jarayonni o'rganish asosan samarali deb topildifunktsiyadan uning o'zgartirilgan shakliga o'tish usullari va aksincha. Ushbu yechim to'g'ridan-to'g'ri va teskari Furye konvertatsiyasi deb ataladi. Bu nima degani? Integralni aniqlash va to'g'ridan-to'g'ri Furye konvertatsiyasini ishlab chiqarish uchun matematik usullardan yoki analitik usullardan foydalanish mumkin. Amalda ulardan foydalanishda ma'lum qiyinchiliklar paydo bo'lishiga qaramay, ko'pchilik integrallar allaqachon topilgan va matematik ma'lumotnomalarga kiritilgan. Shakli eksperimental ma’lumotlarga asoslangan ifodalarni yoki integrallari jadvallarda mavjud bo‘lmagan va analitik shaklda taqdim etish qiyin bo‘lgan funksiyalarni hisoblashda raqamli usullardan foydalanish mumkin.
Kompyuterlar paydo bo'lishidan oldin bunday o'zgarishlarni hisoblash juda zerikarli edi, ular to'lqin funksiyasini tavsiflovchi nuqtalar soniga bog'liq bo'lgan ko'p sonli arifmetik amallarni qo'lda bajarishni talab qilar edi. Hisob-kitoblarni osonlashtirish uchun bugungi kunda yangi tahliliy usullarni amalga oshirishga imkon beradigan maxsus dasturlar mavjud. Shunday qilib, 1965 yilda Jeyms Kuli va Jon Tukey dasturiy ta'minotni yaratdilar, ular "Fast Furier Transform" nomi bilan mashhur bo'ldi. Egri chiziqni tahlil qilishda ko'paytirish sonini kamaytirish orqali hisob-kitoblar uchun vaqtni tejash imkonini beradi. Tez Furye aylantirish usuli egri chiziqni ko'p sonli bir xil namunaviy qiymatlarga bo'lishga asoslangan. Shunga ko'ra, ballar sonining bir xil kamayishi bilan ko'paytirishlar soni ikki baravar kamayadi.
Furye transformatsiyasini qoʻllash
Bujarayon fanning turli sohalarida: sonlar nazariyasi, fizika, signallarni qayta ishlash, kombinatorika, ehtimollar nazariyasi, kriptografiya, statistika, okeanologiya, optika, akustika, geometriya va boshqalarda qo'llaniladi. Uni qo'llashning boy imkoniyatlari bir qator foydali xususiyatlarga asoslanadi, ular "Furye o'zgartirish xususiyatlari" deb ataladi. Ularni hisobga oling.
1. Funktsiyani o'zgartirish chiziqli operator bo'lib, tegishli normalizatsiya bilan unitardir. Bu xususiyat Parseval teoremasi yoki umuman Plancherel teoremasi yoki Pontryagin dualizmi deb nomlanadi.
2. Transformatsiya teskari. Bundan tashqari, teskari natija to'g'ridan-to'g'ri yechimdagi kabi deyarli bir xil shaklga ega.
3. Sinusoidal asosli ifodalar o'ziga xos differensial funksiyalardir. Bu shuni anglatadiki, bunday tasvir doimiy koeffitsientli chiziqli tenglamalarni oddiy algebraik tenglamalarga o'zgartiradi.
4. "Konvolyutsiya" teoremasiga ko'ra, bu jarayon murakkab amalni elementar ko'paytirishga aylantiradi.
5. Diskret Furye konvertatsiyasini kompyuterda "tezkor" usuli yordamida tezda hisoblash mumkin.
Furye transformatsiyasining navlari
1. Ko'pincha, bu atama o'ziga xos burchak chastotalari va amplitudalari bilan murakkab eksponensial ifodalar yig'indisi sifatida har qanday kvadrat integral ifodasini ta'minlaydigan uzluksiz transformatsiyani belgilash uchun ishlatiladi. Bu turning bir necha xil shakllari mavjud, ular mumkindoimiy koeffitsientlar bilan farqlanadi. Uzluksiz usul matematik ma'lumotnomalarda mavjud bo'lgan konversiya jadvalini o'z ichiga oladi. Umumlashtirilgan holat kasr konvertatsiyasi boʻlib, uning yordamida berilgan jarayonni kerakli real quvvatga koʻtarish mumkin.
2. Uzluksiz rejim - bu cheklangan hududda mavjud bo'lgan turli davriy funktsiyalar yoki ifodalar uchun aniqlangan va ularni sinusoidlar qatori sifatida ifodalovchi Furye seriyasining dastlabki texnikasining umumlashtirilishi.
3. Diskret Furye konvertatsiyasi. Bu usul kompyuter texnikasida ilmiy hisob-kitoblar va raqamli signallarni qayta ishlash uchun ishlatiladi. Ushbu turdagi hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun uzluksiz Furye integrallari o'rniga alohida nuqtalarni, davriy yoki cheklangan maydonlarni diskret to'plamda aniqlaydigan funktsiyalarga ega bo'lish talab etiladi. Bu holda signal o'zgarishi sinusoidlar yig'indisi sifatida ifodalanadi. Shu bilan birga, “tezkor” usuldan foydalanish har qanday amaliy masalalarga diskret yechimlarni qo‘llash imkonini beradi.
4. Oynali Furye transformatsiyasi klassik usulning umumlashtirilgan shaklidir. Standart yechimdan farqli o'laroq, ma'lum bir o'zgaruvchining mavjudligi to'liq diapazonida qabul qilingan signal spektridan foydalanilganda, bu erda faqat mahalliy chastota taqsimoti, agar dastlabki o'zgaruvchi (vaqt) saqlanib qolgan bo'lsa, alohida qiziqish uyg'otadi..
5. Ikki o'lchovli Furye konvertatsiyasi. Bu usul ikki o'lchovli ma'lumotlar massivlari bilan ishlash uchun ishlatiladi. Bunday holda, avval transformatsiya bir yo'nalishda, keyin esa ichida amalga oshiriladiboshqa.
Xulosa
Bugungi kunda Furye usuli fanning turli sohalarida mustahkam oʻrin olgan. Misol uchun, 1962 yilda DNKning qo'sh spiral shakli rentgen nurlari diffraktsiyasi bilan birlashtirilgan Furye tahlili yordamida kashf etilgan. Ikkinchisi DNK tolalari kristallariga qaratilgan edi, natijada radiatsiya diffraktsiyasi natijasida olingan tasvir plyonkada qayd etildi. Ushbu rasm berilgan kristall strukturaga Furye konvertatsiyasidan foydalanganda amplitudaning qiymati haqida ma'lumot berdi. Faza ma'lumotlari DNKning diffraktsiya xaritasini o'xshash kimyoviy tuzilmalarni tahlil qilish natijasida olingan xaritalar bilan solishtirish orqali olingan. Natijada, biologlar kristall strukturani - asl funktsiyani tikladilar.
Furye oʻzgarishlari fazo, yarimoʻtkazgich va plazma fizikasi, mikrotoʻlqinli akustika, okeanografiya, radar, seysmologiya va tibbiy tadqiqotlarni oʻrganishda katta rol oʻynaydi.
