Tengsizliklar va tengsizliklar tizimi o'rta maktab algebrasida o'qitiladigan mavzulardan biridir. Qiyinchilik nuqtai nazaridan, bu eng qiyin emas, chunki u oddiy qoidalarga ega (ular haqida bir oz keyinroq). Qoidaga ko'ra, maktab o'quvchilari tengsizliklar tizimlarining echimini juda oson o'rganadilar. Bu ham o‘qituvchilarning o‘z shogirdlarini ushbu mavzu bo‘yicha “o‘rgatishlari” bilan bog‘liq. Va ular buni qila olmaydilar, chunki u kelajakda boshqa matematik miqdorlar yordamida o'rganiladi, shuningdek OGE va Yagona davlat imtihonlari uchun tekshiriladi. Maktab darsliklarida tengsizliklar va tengsizliklar tizimlari mavzusi juda batafsil yoritilgan, shuning uchun agar siz uni o'rganmoqchi bo'lsangiz, ularga murojaat qilganingiz ma'qul. Bu maqola faqat koʻp maʼlumotlarning iborasi boʻlib, ayrim kamchiliklarni oʻz ichiga olishi mumkin.
Tengsizliklar tizimi tushunchasi
Agar biz ilmiy tilga murojaat qilsak, "tizim" tushunchasiga ta'rif berishimiz mumkintengsizliklar". Bu shunday matematik modelki, u bir nechta tengsizliklarni ifodalaydi. Albatta, bu model yechimni talab qiladi va u topshiriqda taklif qilingan tizimning barcha tengsizliklari uchun umumiy javob bo'ladi (odatda u shunday yoziladi, chunki misol: "4 x + 1 > 2 va 30 - x > 6… tengsizliklar tizimini yeching").
Tengsizliklar va tenglamalar tizimlari
Yangi mavzuni oʻrganish jarayonida koʻpincha tushunmovchiliklar yuzaga keladi. Bir tomondan, hamma narsa aniq va men vazifalarni hal qilishni boshlashni afzal ko'raman, lekin boshqa tomondan, ba'zi daqiqalar "soyada" qoladi, ular yaxshi tushunilmaydi. Bundan tashqari, allaqachon olingan bilimlarning ba'zi elementlari yangilari bilan o'zaro bog'lanishi mumkin. Xatolar ko'pincha bu o'xshashlik natijasida yuzaga keladi.
Shuning uchun mavzuimizni tahlil qilishga kirishishdan oldin tenglamalar va tengsizliklar, ularning sistemalari orasidagi farqlarni esga olishimiz kerak. Buning uchun bu matematik tushunchalar nima ekanligini yana bir bor oydinlashtirish zarur. Tenglama har doim tenglik bo'lib, u doimo nimagadir tengdir (matematikada bu so'z "=" belgisi bilan belgilanadi). Tengsizlik - bu bir qiymat boshqasidan katta yoki kichik bo'lgan yoki ular bir xil emasligi haqidagi tasdiqni o'z ichiga olgan model. Shunday qilib, birinchi holda, tenglik haqida gapirish o'rinlidir, ikkinchisida, bu qanchalik aniq bo'lishidan qat'i nazar,ismning o'zi, dastlabki ma'lumotlarning tengsizligi haqida. Tenglamalar va tengsizliklar tizimlari amalda bir-biridan farq qilmaydi va ularni yechish usullari bir xil. Yagona farq shundaki, birinchisi tenglikdan, ikkinchisi esa tengsizlikdan foydalanadi.
Tengsizliklar turlari
Tengsizlikning ikki turi mavjud: sonli va noma'lum o'zgaruvchiga ega. Birinchi tur bir-biriga teng bo'lmagan qiymatlar (raqamlar) taqdim etiladi, masalan, 8 > 10. Ikkinchi tur - noma'lum o'zgaruvchini o'z ichiga olgan tengsizliklar (lotin alifbosining ba'zi harflari bilan ko'rsatilgan, ko'pincha X). Bu o'zgaruvchini topish kerak. Ularning qanchaligiga qarab, matematik model bir bo‘lgan tengsizliklarni (ular bir o‘zgaruvchili tengsizliklar tizimini tashkil qiladi) yoki bir nechta o‘zgaruvchili (bir necha o‘zgaruvchili tengsizliklar tizimini tashkil qiladi) o‘rtasida farqlanadi.
Oxirgi ikki tur, ularning qurilish darajasi va yechimning murakkablik darajasiga ko'ra, oddiy va murakkab bo'linadi. Oddiy tengsizliklar chiziqli tengsizliklar deb ham ataladi. Ular, o'z navbatida, qat'iy va qat'iy bo'lmaganlarga bo'linadi. Bitta qiymat kam yoki ko'p bo'lishi kerakligini qat'iy ravishda "ayting", shuning uchun bu sof tengsizlik. Bir nechta misollar mavjud: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 va hokazo. Qattiq bo'lmaganlar ham tenglikni o'z ichiga oladi. Ya'ni, bir qiymat boshqa qiymatdan katta yoki unga teng ("≧" belgisi) yoki boshqa qiymatdan kichik yoki teng bo'lishi mumkin ("≦" belgisi). Hali ham navbatdaTengsizliklarda o'zgaruvchi ildiz, kvadratda turmaydi, hech narsaga bo'linmaydi, shuning uchun ular "oddiy" deb ataladi. Murakkablar noma'lum o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi, ularni topish uchun ko'proq matematik operatsiyalar talab etiladi. Ular ko'pincha kvadrat, kub yoki ildiz ostida bo'ladi, ular modulli, logarifmik, kasrli va hokazo bo'lishi mumkin. Lekin bizning vazifamiz tengsizliklar tizimlarining echimini tushunish bo'lgani uchun, biz chiziqli tengsizliklar tizimi haqida gapiramiz. Biroq, bundan oldin ularning xususiyatlari haqida bir necha so'z aytish kerak.
Tengsizliklar xossalari
Tengsizliklarning xususiyatlari quyidagi qoidalarni o'z ichiga oladi:
- Tomonlar ketma-ketligini oʻzgartirish amali qoʻllanilsa, tengsizlik belgisi teskari boʻladi (masalan, t1 ≦ t2, keyin t 2 ≧ t1).
- Tengsizlikning ikkala qismi ham bir xil raqamni oʻzingizga qoʻshish imkonini beradi (masalan, agar t1 ≦ t2, keyin t 1 + raqam ≦ t2 + raqam).
- Bir xil yoʻnalish belgisi boʻlgan ikki yoki undan ortiq tengsizliklar ularning chap va oʻng qismlarini qoʻshish imkonini beradi (masalan, t1 ≧ t2 boʻlsa , t3 ≧ t4, keyin t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Tengsizlikning ikkala qismi ham bir xil musbat songa koʻpaytirilishi yoki boʻlinishiga imkon beradi (masalan, t1 ≦ t2va raqam ≦ 0, keyin t1 ≧ t2).
- Ijobiy shartlar va bir xil yoʻnalish belgisiga ega boʻlgan ikki yoki undan ortiq tengsizliklarbir-birini ko'paytiring (masalan, agar t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 keyin t1 t3 ≦ t2 t4).
- Tengsizlikning ikkala qismi ham bir xil manfiy songa koʻpaytirilishi yoki boʻlinishiga imkon beradi, lekin tengsizlik belgisi oʻzgaradi (masalan, agar t1 ≦ t2 va ≦ 0 raqami, keyin t1 ≧ t2).
- Barcha tengsizliklar oʻtish xususiyatiga ega (masalan, t1 ≦ t2 va t2≦ t3, keyin t1 ≦ t3).
Endi, tengsizliklar bilan bog'liq nazariyaning asosiy qoidalarini o'rganib chiqqandan so'ng, biz to'g'ridan-to'g'ri ularning tizimlarini echish qoidalarini ko'rib chiqishga o'tishimiz mumkin.
Tengsizliklar sistemalarini yechish. Umumiy ma'lumot. Yechimlar
Yuqorida aytib o'tilganidek, yechim berilgan tizimning barcha tengsizliklariga mos keladigan o'zgaruvchining qiymatlari hisoblanadi. Tengsizliklar sistemalarining yechimi - yakuniy natijada butun sistemani yechishga olib keladigan yoki uning yechimlari yo'qligini isbotlovchi matematik amallarni bajarishdir. Bunday holda, o'zgaruvchi bo'sh sonlar to'plamiga tegishli deyiladi (quyidagicha yoziladi: o'zgaruvchini bildiruvchi harf ∈ ("tegishli" belgisi) ø ("bo'sh to'plam" belgisi), masalan, x ∈ ø (u shunday o'qiladi: "X" o'zgaruvchisi bo'sh to'plamga tegishlidir"). Tengsizliklar tizimini yechishning bir necha usullari mavjud:grafik, algebraik, almashtirish usuli. Shuni ta'kidlash kerakki, ular bir nechta noma'lum o'zgaruvchilarga ega bo'lgan matematik modellarga tegishli. Faqat bitta bo'lsa, oraliq usuli bajariladi.
Grafik usul
Bir nechta noma'lumli (ikki yoki undan ortiq) tengsizliklar tizimini yechish imkonini beradi. Ushbu usul tufayli chiziqli tengsizliklar tizimi juda oson va tez echiladi, shuning uchun u eng keng tarqalgan usul hisoblanadi. Buning sababi shundaki, chizma tuzish matematik amallarni yozish miqdorini kamaytiradi. Ko'p ish bajarilganda va siz ozgina xilma-xillikni xohlasangiz, qalamdan biroz tanaffus qilish, o'lchagich bilan qalam olish va ularning yordami bilan keyingi harakatlarni davom ettirish ayniqsa yoqimli bo'ladi. Biroq, ba'zilar bu usulni yoqtirmaydi, chunki siz vazifadan voz kechishingiz va aqliy faoliyatingizni rasm chizishga o'tishingiz kerak. Biroq, bu juda samarali usul.
Tengsizliklar tizimini grafik usul yordamida yechish uchun har bir tengsizlikning barcha a’zolarini chap tomoniga o’tkazish kerak. Belgilar teskari bo'ladi, o'ng tomonga nol yozilishi kerak, keyin har bir tengsizlik alohida yozilishi kerak. Natijada tengsizliklardan funksiyalar olinadi. Shundan so'ng siz qalam va o'lchagichni olishingiz mumkin: endi siz olingan har bir funktsiyaning grafigini chizishingiz kerak. Ularning kesishish oralig'ida bo'ladigan butun sonlar to'plami tengsizliklar tizimining yechimi bo'ladi.
Algebraik usul
Ikki noma'lum o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizliklar tizimini yechish imkonini beradi. Tengsizliklar ham bir xil tengsizlik belgisiga ega bo'lishi kerak (ya'ni ular faqat "katta" belgisini yoki faqat "kichik" belgisini va hokazolarni o'z ichiga olishi kerak) Cheklanganligiga qaramay, bu usul ham murakkabroq. U ikki bosqichda qo'llaniladi.
Birinchisi noma'lum o'zgaruvchilardan biridan xalos bo'lishni o'z ichiga oladi. Avval siz uni tanlashingiz kerak, keyin bu o'zgaruvchining oldida raqamlar mavjudligini tekshiring. Agar yo'q bo'lsa (u holda o'zgaruvchi bitta harfga o'xshaydi), unda biz hech narsani o'zgartirmaymiz, agar mavjud bo'lsa (o'zgaruvchining turi, masalan, 5y yoki 12y bo'ladi), unda ishonch hosil qilish kerak. har bir tengsizlikda tanlangan o'zgaruvchining oldidagi son bir xil bo'lishi. Buning uchun tengsizliklarning har bir a'zosini umumiy ko'paytmaga ko'paytirish kerak, masalan, birinchi tengsizlikda 3y, ikkinchisida 5y yozilsa, birinchi tengsizlikning barcha a'zolarini 5 ga ko'paytirish kerak., ikkinchisi esa 3. Siz mos ravishda 15y va 15y olasiz.
Qarorning ikkinchi bosqichi. Har bir tengsizlikning chap tomonini ularning o'ng tomonlariga o'tkazish kerak, har bir atama belgisini qarama-qarshi tomonga o'zgartirish kerak, o'ng tomonga nol yozing. Keyin qiziqarli qism keladi: tengsizliklarni qo'shib, tanlangan o'zgaruvchidan (aks holda "kamaytirish" deb nomlanadi) qutulish. Siz hal qilinishi kerak bo'lgan bitta o'zgaruvchi bilan tengsizlikka ega bo'lasiz. Shundan so'ng, siz xuddi shunday qilishingiz kerak, faqat boshqa noma'lum o'zgaruvchi bilan. Olingan natijalar tizimning yechimi bo'ladi.
Almashtirish usuli
Yangi oʻzgaruvchini kiritish imkoniyati mavjud boʻlganda, tengsizliklar tizimini yechish imkonini beradi. Odatda bu usul tengsizlikning bir hadidagi noma'lum o'zgaruvchi to'rtinchi darajaga ko'tarilganda, ikkinchi hadda esa kvadratga aylantirilganda qo'llaniladi. Shunday qilib, bu usul tizimdagi tengsizliklar darajasini kamaytirishga qaratilgan. X4 - x2 - 1 ≦ 0 namunaviy tengsizlik quyidagi tarzda yechiladi. Yangi o'zgaruvchi kiritiladi, masalan t. Ular shunday yozadilar: "Let t=x2", keyin model yangi shaklda qayta yoziladi. Bizning holatda, biz t2 - t - 1 ≦0 ni olamiz. Bu tengsizlikni interval usuli bilan yechish kerak (bu haqda bir oz keyinroq), keyin X o'zgaruvchisiga qayting, so'ngra boshqa tengsizlik bilan ham xuddi shunday qiling. Qabul qilingan javoblar tizim qarori bo'ladi.
Interval usuli
Bu tengsizliklar sistemasini yechishning eng oson yo`li va shu bilan birga u universal va keng tarqalgan. U o'rta maktabda va hatto o'rta maktabda qo'llaniladi. Uning mohiyati shundan iboratki, talaba daftarga chizilgan (bu grafik emas, shunchaki raqamlardan iborat oddiy to‘g‘ri chiziq) son chizig‘idan tengsizlik intervallarini izlaydi. Tengsizliklar oraliqlari kesishgan joyda sistemaning yechimi topiladi. Bo'shliq usulidan foydalanish uchun quyidagi amallarni bajaring:
- Har bir tengsizlikning barcha a'zolari ishorasini teskari tomonga o'zgartirgan holda chap tomonga o'tkaziladi (o'ng tomonda nol yozilgan).
- Tengsizliklar alohida yoziladi, ularning har birining yechimi aniqlanadi.
- Raqamdagi tengsizliklarning kesishuvlariTo'g'riga. Bu chorrahalardagi barcha raqamlar yechim bo‘ladi.
Qaysi usuldan foydalanish kerak?
Shubhasiz, bu eng oson va qulay koʻrinadi, lekin baʼzida vazifalar maʼlum bir usulni talab qiladi. Ko'pincha ular grafik yordamida yoki interval usuli yordamida hal qilish kerakligini aytishadi. Algebraik usul va almashtirish juda kamdan-kam qo'llaniladi yoki umuman ishlatilmaydi, chunki ular juda murakkab va chalkash, bundan tashqari ular tengsizliklarni emas, balki tenglamalar tizimini echish uchun ko'proq qo'llaniladi, shuning uchun siz grafiklar va intervallarni chizishga murojaat qilishingiz kerak. Ular matematik operatsiyalarning samarali va tez bajarilishiga yordam beradigan ko'rinishga olib keladi.
Agar biror narsa ishlamasa
Algebra fanidan ma'lum bir mavzuni o'rganish jarayonida, albatta, uni tushunishda muammolar paydo bo'lishi mumkin. Va bu normal holat, chunki bizning miyamiz shunday yaratilganki, u bir vaqtning o'zida murakkab materialni tushuna olmaydi. Ko'pincha siz xatboshini qayta o'qib chiqishingiz, o'qituvchining yordamiga murojaat qilishingiz yoki odatiy muammolarni hal qilishni mashq qilishingiz kerak. Bizning holatlarimizda ular, masalan, quyidagicha ko'rinadi: "3 x + 1 ≧ 0 va 2 x - 1 > 3 tengsizliklar tizimini yeching". Shunday qilib, shaxsiy intilish, begonalardan yordam va amaliyot har qanday murakkab mavzuni tushunishga yordam beradi.
Reshebnik?
Va yechim kitobi ham juda yaxshi, lekin uy vazifasini aldash uchun emas, balki o'z-o'ziga yordam berish uchun. Ularda yechimli tengsizliklar sistemalarini topish mumkin, qarangularni (shablonlar kabi), yechim muallifi vazifani qanday bajarganini aniq tushunishga harakat qiling va keyin buni mustaqil bajarishga harakat qiling.
Xulosa
Algebra maktabdagi eng qiyin fanlardan biridir. Xo'sh, nima qila olasiz? Matematika har doim shunday bo'lgan: kimgadir oson keladi, kimdir uchun esa qiyin. Ammo har qanday holatda ham, esda tutish kerakki, umumiy ta'lim dasturi har qanday o'quvchi bunga dosh bera oladigan tarzda ishlab chiqilgan. Bundan tashqari, siz juda ko'p yordamchilarni yodda tutishingiz kerak. Ulardan ba'zilari yuqorida aytib o'tilgan.
