Algebraik tengsizliklar yoki ularning yechimlari integral yoki butun sonlarda izlanadigan ratsional koeffitsientli tizimlari. Qoidaga ko'ra, diofant tenglamalarida noma'lumlar soni ko'proq. Shunday qilib, ular noaniq tengsizliklar sifatida ham tanilgan. Zamonaviy matematikada yuqoridagi tushuncha yechimlari Q-ratsional oʻzgaruvchilar maydoni, p-adik oʻzgaruvchilar maydoni va boshqalarning algebraik butun sonlarida izlanadigan algebraik tenglamalarga nisbatan qoʻllaniladi.
Bu tengsizliklarning kelib chiqishi
Diofant tenglamalarini o'rganish raqamlar nazariyasi va algebraik geometriya o'rtasidagi chegarada joylashgan. Butun o‘zgaruvchilarda yechim topish eng qadimgi matematik masalalardan biridir. Miloddan avvalgi II ming yillikning boshlarida. qadimgi bobilliklar ikkita noma'lumli tenglamalar tizimini echishga muvaffaq bo'lishdi. Matematikaning bu bo'limi qadimgi Yunonistonda eng ko'p rivojlangan. Diofantning arifmetikasi (taxminan eramizning 3-asri) har xil turdagi va tenglamalar tizimini o'z ichiga olgan muhim va asosiy manbadir.
Ushbu kitobda Diofant ikkinchi va uchinchi tengsizliklarni oʻrganishning bir qancha usullarini oldindan koʻra olgan.19-asrda to'liq rivojlangan darajalar. Qadimgi Yunonistonning ushbu tadqiqotchisi tomonidan ratsional sonlar nazariyasini yaratish uning kitobida tizimli ravishda kuzatilgan noaniq tizimlarning mantiqiy echimlarini tahlil qilishga olib keldi. Uning ishi aniq diofant tenglamalari yechimlarini o'z ichiga olgan bo'lsa-da, u bir qancha umumiy usullar bilan ham tanish bo'lgan deb ishonishga asos bor.
Bu tengsizliklarni o'rganish odatda jiddiy qiyinchiliklar bilan bog'liq. Ularda F (x, y1, …, y) butun koeffitsientli koʻphadlar borligi sababli. Shundan kelib chiqib, har qanday berilgan x uchun F (x, y1, …., y) tengligini aniqlash uchun foydalaniladigan yagona algoritm mavjud emas degan xulosalar chiqarildi.). Vaziyat y1, …, y uchun hal qilinadi. Bunday polinomlarga misollar yozish mumkin.
Eng oddiy tengsizlik
ax + by=1, bu erda a va b nisbatan butun va tub sonlar boʻlsa, u juda koʻp bajarilishlarga ega (agar x0, y0 natija hosil boʻladi, keyin oʻzgaruvchilar juftligi x=x0 + b va y=y0 -an, bu erda n ixtiyoriy, ham tengsizlik sifatida qaraladi). Diofant tenglamalarining yana bir misoli x2 + y2 =z2. Bu tengsizlikning musbat integral yechimlari kichik tomonlari x, y va to'g'ri burchakli uchburchaklar uzunliklari, shuningdek, butun tomon o'lchamlari bilan gipotenuza z. Bu raqamlar Pifagor raqamlari sifatida tanilgan. Boshiga nisbatan barcha uchlik ko'rsatilganyuqoridagi oʻzgaruvchilar x=m2 – n2, y=2mn, z=m2 bilan berilgan+ n2, bu erda m va n butun va tub sonlar (m>n>0).
Diofant o'zining "Arifmetika" asarida o'z tengsizliklarining maxsus turlarining oqilona (integral bo'lishi shart emas) echimlarini izlaydi. Birinchi darajali diofant tenglamalarini yechishning umumiy nazariyasi XVII asrda C. G. Baschet tomonidan ishlab chiqilgan. 19-asr boshlarida boshqa olimlar asosan ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, kabi tengsizliklarni oʻrganishgan. Bu yerda a, b, c, d, e va f umumiy, geterogen, ikkinchi darajali ikkita noma’lum. Lagrange o'z tadqiqotida davomli kasrlardan foydalangan. Gauss kvadratik shakllar uchun ba'zi turdagi yechimlar asosida umumiy nazariyani ishlab chiqdi.
Bu ikkinchi darajali tengsizliklarni oʻrganishda faqat 20-asrda sezilarli yutuqlarga erishildi. A. Thue diofant tenglamasi a0x + a1xn- 1 ekanligini aniqladi. y +…+a y =c, bu erda n≧3, a0, …, a , c tamsayılar va a0tn + …+ a cheksiz sonli butun yechimga ega boʻlolmaydi. Biroq, Thue usuli to'g'ri ishlab chiqilmagan. A. Beyker bunday turdagi ba'zi tenglamalarning ishlashiga baho beradigan samarali teoremalarni yaratdi. BN Delaunay ushbu tengsizliklarning torroq sinfiga nisbatan qo'llaniladigan yana bir tadqiqot usulini taklif qildi. Xususan, ax3 + y3 =1 shakli shu tarzda butunlay echilishi mumkin.
Diofantin tenglamalari: yechish usullari
Diofant nazariyasi koʻp yoʻnalishlarga ega. Shunday qilib, ushbu tizimdagi mashhur muammo - xn + y =z Diofant tenglamalarining ahamiyatsiz yechimi yo'qligi haqidagi gipotezadir. n agar n ≧ 3 bo'lsa (Fermatning savoli). Tengsizlikning butun sonli bajarilishini o'rganish Pifagor uchliklari muammosini tabiiy umumlashtirishdir. Eyler n=4 uchun Ferma muammosining ijobiy yechimini oldi. Bu natijaga koʻra, agar n toq tub son boʻlsa, tenglamaning nolga teng boʻlmagan oʻrganilishi, etishmayotgan butun sonni isbotlashga ishora qiladi.
Qaror boʻyicha oʻrganish tugallanmagan. Uni amalga oshirishdagi qiyinchiliklar algebraik butun sonlar halqasida oddiy faktorizatsiya yagona emasligi bilan bog'liq. Bu sistemada tub ko‘rsatkichlarning ko‘p n sinflari uchun bo‘linuvchilar nazariyasi Ferma teoremasining to‘g‘riligini tasdiqlash imkonini beradi. Shunday qilib, ikkita noma'lumli chiziqli Diofantin tenglamasi mavjud usullar va usullar bilan bajariladi.
Tasvirlangan vazifalarning turlari va turlari
Algebraik butun sonlar halqalari arifmetikasi boshqa koʻplab masalalar va Diofant tenglamalarining yechimlarida ham qoʻllaniladi. Masalan, N(a1 x1 +…+ a shaklidagi tengsizliklarni bajarishda bunday usullar qo'llanilgan. x)=m, bu erda N(a) a normasi va x1, …, xn integral ratsional o'zgaruvchilar topiladi. Bu sinf Pell tenglamasini o'z ichiga oladi x2–dy2=1.
Koʻrinadigan a1, …, a qiymatlari bu tenglamalar ikki turga boʻlinadi. Birinchi tur - to'liq shakllar deb ataladigan - tenglamalarni o'z ichiga oladi, ular orasida Q ratsional o'zgaruvchilar maydonida m chiziqli mustaqil raqam mavjud, bu erda m=[Q(a1, …, a):Q], bunda Q algebraik koʻrsatkichlarining Q (a1, …, a ) darajasiga nisbatan Q. Toʻliq boʻlmagan turlar qatoriga kiradi. a i maksimal soni m dan kichik.
Toʻliq shakllar soddaroq, ularni oʻrganish tugallangan va barcha yechimlarni tasvirlash mumkin. Ikkinchi tur, to'liq bo'lmagan turlar ancha murakkab va bunday nazariyani ishlab chiqish hali tugallanmagan. Bunday tenglamalar F(x, y)=C tengsizlikni o'z ichiga olgan diofant yaqinlashuvlari yordamida o'rganiladi, bu erda F (x, y) n≧3 darajali qaytarilmas, bir jinsli polinomdir. Shunday qilib, biz yi→∞ deb taxmin qilishimiz mumkin. Shunga ko'ra, agar yi etarlicha katta bo'lsa, u holda tengsizlik Thue, Siegel va Roth teoremalariga zid bo'ladi, bundan F(x, y)=C degan xulosaga keladi, bu erda F. uchinchi darajali yoki undan yuqori ko'rinish bo'lsa, qaytarilmas cheksiz miqdordagi yechimga ega bo'lolmaydi.
Diofantin tenglamasini qanday yechish mumkin?
Bu misol hamma orasida ancha tor sinfdir. Masalan, soddaligiga qaramay, x3 + y3 + z3=N va x2 +y 2 +z2 +u2 =N bu sinfga kiritilmagan. Yechimlarni o'rganish diofant tenglamalarining juda sinchkovlik bilan o'rganilgan bo'limi bo'lib, bu erda asos raqamlarning kvadratik shakllari bilan ifodalanadi. Lagrangebajarilishi barcha natural N uchun borligini aytadigan teorema yaratdi. Har qanday natural sonni uchta kvadratning yig‘indisi sifatida ko‘rsatish mumkin (Gauss teoremasi), lekin u 4a ko’rinishida bo’lmasligi kerak. (8K- 1), bu erda a va k manfiy bo'lmagan butun son ko'rsatkichlari.
F tipidagi diofant tenglamasi sistemasining ratsional yoki integral yechimlari (x1, …, x)=a, bu yerda F (x 1, …, x) butun sonli koeffitsientli kvadrat shakldir. Shunday qilib, Minkovski-Hasse teoremasiga ko'ra, tengsizlik ∑aijxixj=b ijva b ratsional, har bir tub son p uchun haqiqiy va p-adik sonlarda integral yechimga ega, agar u shu tuzilishda yechilsa.
Axiy qiyinchiliklar tufayli uchinchi va undan yuqori darajali ixtiyoriy shakllarga ega boʻlgan raqamlarni oʻrganish kamroq darajada oʻrganilgan. Asosiy bajarilish usuli - trigonometrik yig'indilar usuli. Bunda tenglamaning yechimlari soni Furye integralida aniq yoziladi. Shundan so'ng, mos keladigan mos keladigan tengsizlikning bajarilishi sonini ifodalash uchun muhit usuli qo'llaniladi. Trigonometrik yig'indilar usuli tengsizliklarning algebraik xususiyatlariga bog'liq. Chiziqli diofant tenglamalarini yechish uchun juda koʻp elementar usullar mavjud.
Diofantin tahlili
Matematika kafedrasi, predmeti geometriya usullari bilan algebra tenglamalar sistemalarining integral va ratsional yechimlarini oʻrganish boʻlgan, xuddi shu fandan.sharlar. 19-asrning 2-yarmida bu sonlar nazariyasining paydo boʻlishi diofant tenglamalarini koeffitsientli ixtiyoriy maydondan oʻrganishga olib keldi va yechimlar uning ichida yoki uning halqalarida koʻrib chiqildi. Algebraik funksiyalar tizimi raqamlar bilan parallel ravishda ishlab chiqilgan. D. Hilbert va xususan, L. Kroneker tomonidan ta'kidlangan ikkala o'rtasidagi asosiy o'xshashlik odatda global deb ataladigan turli arifmetik tushunchalarning bir xilda tuzilishiga olib keldi.
Bu, ayniqsa, konstantalarning cheklangan maydonida oʻrganilayotgan algebraik funksiyalar bitta oʻzgaruvchi boʻlsa, seziladi. Sinf maydoni nazariyasi, bo'linuvchi va tarmoqlanish va natijalar kabi tushunchalar yuqoridagilarning yaxshi namunasidir. Bu nuqtai nazar diofant tengsizliklari tizimida faqat keyinroq qabul qilingan va faqat sonli koeffitsientlar bilan emas, balki funksiya bo'lgan koeffitsientlar bilan ham tizimli tadqiqotlar faqat 1950-yillarda boshlangan. Ushbu yondashuvning hal qiluvchi omillaridan biri algebraik geometriyaning rivojlanishi edi. Bitta fanning ikki barobar muhim jihati sifatida yuzaga keladigan sonlar va funksiyalar sohalarini bir vaqtda o‘rganish nafaqat nafis va ishonchli natijalarni berdi, balki ikki mavzuning o‘zaro boyishiga olib keldi.
Algebraik geometriyada xilma-xillik tushunchasi berilgan K maydonidagi oʻzgarmas tengsizliklar toʻplami bilan almashtiriladi va ularning yechimlari K yoki uning chekli kengaytmasida qiymatlari boʻlgan ratsional nuqtalar bilan almashtiriladi. Shunga ko'ra aytish mumkinki, diofant geometriyasining asosiy muammosi ratsional nuqtalarni o'rganishdirX(K) algebraik to'plamining, X esa K maydonidagi ma'lum raqamlardir. Butun sonning bajarilishi chiziqli diofant tenglamalarida geometrik ma'noga ega.
Tengsizlikni oʻrganish va amalga oshirish imkoniyatlari
Algebraik navlar bo'yicha ratsional (yoki integral) nuqtalarni o'rganishda birinchi muammo paydo bo'ladi, ya'ni ularning mavjudligi. Gilbertning o'ninchi muammosi ushbu muammoni hal qilishning umumiy usulini topish muammosi sifatida tuzilgan. Algoritmning aniq ta'rifini yaratish jarayonida va ko'p sonli muammolar uchun bunday bajarilishlar yo'qligi isbotlangandan so'ng, muammo aniq salbiy natijaga erishdi va eng qiziqarli savol bu Diofant tenglamalari sinflarini aniqlashdir. Buning uchun yuqoridagi tizim mavjud. Algebraik nuqtai nazardan eng tabiiy yondashuv Hasse printsipi deb ataladi: boshlang'ich K maydoni barcha mumkin bo'lgan taxminlar bo'yicha Kv tugallanishi bilan birga o'rganiladi. X(K)=X(Kv) mavjudligi uchun zaruriy shart boʻlgani uchun K nuqtasi X(Kv toʻplamini hisobga oladi.) hamma v. uchun boʻsh emas
Muhimligi shundaki, u ikkita muammoni birlashtiradi. Ikkinchisi ancha sodda, uni ma'lum algoritm bilan yechish mumkin. X xilma-xilligi proyektiv bo'lgan alohida holatda, Hansel lemmasi va uning umumlashmalari yanada qisqarishga imkon beradi: muammoni cheklangan maydon ustidagi ratsional nuqtalarni o'rganishga qisqartirish mumkin. Keyin u izchil tadqiqot yoki samaraliroq usullar orqali kontseptsiyani yaratishga qaror qiladi.
OxirgiX(Kv) toʻplamlari chekli v sonidan tashqari hamma uchun boʻsh emasligi, shuning uchun shartlar soni har doim chekli boʻladi va ularni samarali tekshirish mumkin. Biroq, Hasse printsipi daraja egri chiziqlariga taalluqli emas. Masalan, 3x3 + 4y3=5 barcha p-adik son maydonlarida nuqtalar mavjud va haqiqiy sonlar tizimida, lekin ratsional nuqtalari yo'q.
Ushbu usul Hasse printsipidan "burilish"ni amalga oshirish uchun Abel navlarining asosiy bir hil bo'shliqlari sinflarini tavsiflovchi kontseptsiyani yaratish uchun boshlang'ich nuqta bo'lib xizmat qildi. Har bir manifold (Tate-Shafarevich guruhi) bilan bog'lanishi mumkin bo'lgan maxsus tuzilish nuqtai nazaridan tavsiflanadi. Nazariyaning asosiy qiyinligi guruhlarni hisoblash usullarini olish qiyinligidadir. Bu kontseptsiya algebraik navlarning boshqa sinflariga ham kengaytirilgan.
Tengsizliklarni bajarish algoritmini qidiring
Diofantin tenglamalarini oʻrganishda qoʻllaniladigan yana bir evristik gʻoya shundan iboratki, agar tengsizliklar toʻplamida ishtirok etuvchi oʻzgaruvchilar soni koʻp boʻlsa, tizim odatda yechimga ega boʻladi. Biroq, har qanday alohida holat uchun buni isbotlash juda qiyin. Ushbu turdagi masalalarga umumiy yondashuvda analitik sonlar nazariyasi qo'llaniladi va trigonometrik yig'indilarni baholashga asoslanadi. Bu usul dastlab maxsus turdagi tenglamalarga qo'llanilgan.
Ammo keyinchalik uning yordami bilan toq darajaning shakli F boʻlsa, d da ekanligi isbotlandi.va n o'zgaruvchi va ratsional koeffitsientli bo'lsa, u holda n d ga nisbatan etarlicha katta, shuning uchun proyektiv gipersurat F=0 ratsional nuqtaga ega. Artinning taxminiga ko'ra, bu natija n > d2 bo'lsa ham to'g'ri bo'ladi.. Bu faqat kvadratik shakllar uchun isbotlangan. Shu kabi muammolarni boshqa sohalar uchun ham so'rash mumkin. Diofant geometriyasining markaziy muammosi butun yoki ratsional nuqtalar to'plamining tuzilishi va ularni o'rganish bo'lib, aniqlanishi kerak bo'lgan birinchi savol bu to'plamning chekli ekanligidir. Ushbu muammoda, agar tizim darajasi o'zgaruvchilar sonidan ancha katta bo'lsa, vaziyat odatda cheklangan miqdordagi bajarilishiga ega. Bu asosiy taxmin.
Chiziqlar va egri chiziqlardagi tengsizliklar
X(K) guruhini r-darajali erkin tuzilma va n-tartibdagi chekli guruhning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi sifatida ifodalash mumkin. 1930-yillardan boshlab bu sonlar berilgan K maydoni boʻyicha barcha elliptik egri chiziqlar toʻplamida chegaralanganmi, degan savol oʻrganildi. Buralish n ning chegaralanganligi 70-yillarda koʻrsatildi. Funktsional holatda o'zboshimchalik bilan yuqori darajali egri chiziqlar mavjud. Raqamli holatda bu savolga hali javob yo'q.
Nihoyat, Mordell gipotezasi g>1 jinsdagi egri chiziq uchun integral nuqtalar soni chekli ekanligini bildiradi. Funktsional holatda bu kontseptsiyani 1963 yilda Yu. I. Manin ko'rsatgan. Diofant geometriyasida cheklilik teoremalarini isbotlashda foydalaniladigan asosiy vosita balandlik hisoblanadi. Algebraik navlardan birining ustidagi o'lchamlar abeliandirelliptik egri chiziqlarning ko'p o'lchovli analoglari bo'lgan manifoldlar eng chuqur o'rganilgan.
A. Vayl ratsional nuqtalar guruhi generatorlari sonining chekliligi haqidagi teoremani har qanday o'lchamdagi Abel navlariga (Mordell-Veyl kontseptsiyasi) umumlashtirib, uni kengaytirdi. 1960-yillarda Birch va Svinnerton-Dyerning gipotezasi paydo bo'lib, bu va manifoldning guruh va zeta funktsiyalarini yaxshilaydi. Raqamli dalillar bu farazni tasdiqlaydi.
Echish mumkinligi muammosi
Har qanday Diofant tenglamasining yechimi bor yoki yoʻqligini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin boʻlgan algoritmni topish masalasi. Qo'yilgan muammoning muhim xususiyati har qanday tengsizlikka mos keladigan universal usulni izlashdir. Bunday usul yuqoridagi tizimlarni yechishga ham imkon beradi, chunki u P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 yoki p21+ ⋯ + P2K=0 ga ekvivalentdir. n12+⋯+pK2=0. Butun sonlardagi chiziqli tengsizliklar yechimini topishning bunday universal usulini topish masalasini D. Gilbert.
1950-yillarning boshlarida Diofant tenglamalarini yechish algoritmi mavjud emasligini isbotlashga qaratilgan birinchi tadqiqotlar paydo boʻldi. Bu vaqtda Devis gipotezasi paydo bo'lib, unda har qanday sanab o'tiladigan to'plam ham yunon olimiga tegishli ekanligini aytdi. Chunki algoritmik jihatdan hal qilib bo'lmaydigan to'plamlarning misollari ma'lum, lekin rekursiv sanab bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, Devis gipotezasi to'g'ri va bu tenglamalarning echilishi masalasisalbiy ijroga ega.
Bundan keyin Devis gipotezasi uchun bir vaqtning o'zida yechimga ega bo'lgan (yoki yo'q) tengsizlikni o'zgartirish usuli mavjudligini isbotlash qoladi. Diofant tenglamasining bunday o'zgarishi, agar u yuqoridagi ikkita xususiyatga ega bo'lsa, mumkinligi ko'rsatildi: 1) bu turdagi har qanday yechimda v ≦ uu; 2) har qanday k uchun eksponensial o'sish bilan bajarilish mavjud.
Bu sinfdagi chiziqli diofant tenglamasining misoli isbotni toʻldirdi. Ratsional sonlarda bu tengsizliklarni yechish va tan olish algoritmining mavjudligi muammosi haligacha yetarlicha o‘rganilmagan muhim va ochiq savol hisoblanadi.
