Yassi fazoda oʻrganiladigan muhim geometrik obʼyekt toʻgʻri chiziqdir. Uch o'lchovli fazoda to'g'ri chiziqdan tashqari, tekislik ham mavjud. Ikkala ob'ekt ham yo'nalish vektorlari yordamida qulay tarzda aniqlanadi. Bu nima, bu vektorlar to'g'ri chiziq va tekislik tenglamalarini aniqlashda qanday foydalaniladi? Ushbu va boshqa savollar maqolada keltirilgan.
To'g'ridan-to'g'ri chiziq va uni qanday aniqlash mumkin
Har bir talaba qaysi geometrik jism haqida gapirayotgani haqida yaxshi tasavvurga ega. Matematika nuqtai nazaridan to'g'ri chiziq nuqtalar to'plami bo'lib, ular ixtiyoriy juftlik bilan bog'langan holda parallel vektorlar to'plamiga olib keladi. Chiziqning bu ta'rifi uning tenglamasini ikki va uch o'lchovda yozish uchun ishlatiladi.
Ko'rib chiqilgan bir o'lchovli ob'ektni tavsiflash uchun quyidagi ro'yxatda keltirilgan har xil turdagi tenglamalardan foydalaniladi:
- umumiy ko'rinish;
- parametrik;
- vektor;
- kanonik yoki simmetrik;
- segmentlarda.
Bu turlarning har biri boshqalarga nisbatan bir qancha afzalliklarga ega. Masalan, segmentlardagi tenglama to'g'ri chiziqning koordinata o'qlariga nisbatan harakatini o'rganishda, umumiy tenglama berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar yo'nalishni topishda, shuningdek uning burchagini hisoblashda qulaydir. x o'qi bilan kesishish (tekis korpus uchun).
Maqolaning mavzusi toʻgʻri chiziqning yoʻn altiruvchi vektori bilan bogʻliq boʻlganligi sababli, biz bundan keyin faqat bu vektor fundamental boʻlgan va aniq ifodalangan tenglamani, yaʼni vektor ifodasini koʻrib chiqamiz.
Vektor orqali toʻgʻri chiziqni belgilash
Faraz qilaylik, koordinatalari ma'lum bo'lgan v¯ vektorimiz bor (a; b; c). Uchta koordinata mavjud bo'lgani uchun vektor fazoda berilgan. Uni to'rtburchak koordinatalar tizimida qanday tasvirlash mumkin? Bu juda sodda tarzda amalga oshiriladi: uchta o'qning har birida uzunligi vektorning mos keladigan koordinatasiga teng bo'lgan segment chiziladi. Xy, yz va xz tekisliklarga tiklangan uchta perpendikulyarning kesishish nuqtasi vektorning oxiri bo'ladi. Uning boshlanishi nuqta (0; 0; 0).
Biroq, vektorning berilgan pozitsiyasi yagona emas. Xuddi shunday, v¯ ning kelib chiqishini fazoning ixtiyoriy nuqtasiga qo'yib chizish mumkin. Ushbu dalillar vektor yordamida ma'lum bir chiziqni o'rnatish mumkin emasligini aytadi. U cheksiz sonli parallel chiziqlar turkumini belgilaydi.
HozirP(x0; y0; z0) bo’sh joyni belgilang. Va biz shart qo'yamiz: to'g'ri chiziq P orqali o'tishi kerak. Bunda v¯ vektori ham shu nuqtani o'z ichiga olishi kerak. Oxirgi fakt P va v¯ yordamida bitta qatorni aniqlash mumkinligini anglatadi. U quyidagi tenglama sifatida yoziladi:
Q=P + l × v¯
Bu yerda Q - chiziqqa tegishli har qanday nuqta. Ushbu nuqtani tegishli parametr l ni tanlash orqali olish mumkin. Yozilgan tenglama vektor tenglamasi, v¯ to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori deyiladi. Uni P dan o‘tadigan qilib joylashtirib, uzunligini l parametri bilan o‘zgartirib, Q ning har bir nuqtasini to‘g‘ri chiziq shaklida olamiz.
Koordinata shaklida tenglama quyidagicha yoziladi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + l × (a; b; c)
Va aniq (parametrik) shaklda yozishingiz mumkin:
x=x0+ l × a;
y=y0+ l × b;
z=z0+ l × c
Yuqoridagi ifodalarda uchinchi koordinatani chiqarib tashlasak, u holda tekislikdagi to’g’ri chiziqning vektor tenglamalarini olamiz.
Yoʻnalish vektorini bilish qanday vazifalar uchun foydalidir ?
Qoida tariqasida, bular chiziqlarning parallelligi va perpendikulyarligini aniqlash vazifalari. Shuningdek, yoʻnalishni aniqlaydigan toʻgʻridan-toʻgʻri vektor toʻgʻri chiziqlar bilan nuqta va toʻgʻri chiziq orasidagi masofani hisoblashda, tekislikka nisbatan toʻgʻri chiziqning harakatini tasvirlashda ishlatiladi.
IkkiAgar ularning yo'nalishi vektorlari bo'lsa, chiziqlar parallel bo'ladi. Shunga ko'ra, chiziqlarning perpendikulyarligi ularning vektorlarining perpendikulyarligi yordamida isbotlanadi. Bunday turdagi masalalarda javob olish uchun ko‘rib chiqilayotgan vektorlarning skalyar ko‘paytmasini hisoblash kifoya.
Chiziqlar va nuqtalar orasidagi masofalarni hisoblash uchun topshiriqlar bo'lsa, yo'nalish vektori mos keladigan formulaga aniq kiritilgan. Keling, yozamiz:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Bu yerda P1P2¯ - P1 va P nuqtalarida qurilgan 2 yoʻn altirilgan segment. P2 nuqtasi ixtiyoriy boʻlib, v¯ vektori bilan toʻgʻrida yotadi, P1 nuqta esa masofa boʻlishi kerak boʻlgan nuqtadir. belgilansin. U mustaqil boʻlishi yoki boshqa chiziq yoki tekislikka tegishli boʻlishi mumkin.
Esda tutingki, chiziqlar orasidagi masofani faqat ular parallel yoki kesishgan holda hisoblash mantiqiy. Agar ular kesishsa, d nolga teng.
Yuqoridagi d formulasi tekislik va unga parallel toʻgʻri chiziq orasidagi masofani hisoblash uchun ham amal qiladi, faqat bu holatda P1 tekislikka tegishli boʻlishi kerak.
Ko'rib chiqilgan vektordan qanday foydalanishni yaxshiroq ko'rsatish uchun bir nechta muammolarni hal qilaylik.
Vektor tenglama muammosi
Ma'lumki, to'g'ri chiziq quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi:
y=3 × x - 4
Tegishli ifodani yozishingiz kerakvektor shakli.
Bu har bir maktab oʻquvchisiga maʼlum boʻlgan, umumiy shaklda yozilgan toʻgʻri chiziqning odatiy tenglamasi. Keling, uni vektor ko'rinishida qayta yozishni ko'rsatamiz.
Ifoda quyidagicha ifodalanishi mumkin:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Koʻrinib turibdiki, agar siz uni ochsangiz, siz asl tenglikka erishasiz. Endi biz uning o'ng tomonini ikkita vektorga ajratamiz, shunda ulardan faqat bittasida x bo'ladi, bizda:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Qavs ichidan x ni olib tashlash, uni yunoncha belgi bilan belgilash va o'ng tomonning vektorlarini almashtirish kerak:
(x; y)=(0; -4) + l × (1; 3)
Biz asl ifodaning vektor shaklini oldik. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektor koordinatalari (1; 3).
Chiziqlarning nisbiy holatini aniqlash vazifasi
Ikki qator boʻshliqda berilgan:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + l × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + g × (1; 2; 0)
Ular parallelmi, kesishadimi yoki kesishadimi?
Nolga teng boʻlmagan vektorlar (-1; 3; 1) va (1; 2; 0) bu chiziqlar uchun koʻrsatma boʻladi. Keling, ushbu tenglamalarni parametrik shaklda ifodalaymiz va birinchisining koordinatalarini ikkinchisiga almashtiramiz. Biz olamiz:
x=1 - l;
y=3 × l;
z=-2 + l;
x=3 + g=1 - l=>g=-2 - l;
y=2 + 2 × g=3 × l=> g=3 / 2 × l - 1;
z=2=-2 + l=> l=4
Topilgan l parametrini yuqoridagi ikkita tenglamaga almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz:
g=-2 - l=-6;
g=3 / 2 × l - 1=5
g parametri bir vaqtning oʻzida ikki xil qiymatni qabul qila olmaydi. Bu shuni anglatadiki, chiziqlar bitta umumiy nuqtaga ega emas, ya'ni ular kesishadi. Ular parallel emas, chunki nolga teng bo'lmagan vektorlar bir-biriga parallel emas (ularning parallelligi uchun bitta vektorga ko'paytirish orqali ikkinchisining koordinatalariga olib keladigan raqam bo'lishi kerak).
Samolyotning matematik tavsifi
Kosmosda tekislikni o'rnatish uchun umumiy tenglamani beramiz:
A × x + B × y + C × z + D=0
Bu yerda lotin bosh harflari aniq raqamlarni bildiradi. Ularning dastlabki uchtasi tekislikning normal vektorining koordinatalarini aniqlaydi. Agar u n¯ bilan belgilangan bo'lsa, u holda:
n¯=(A; B; C)
Bu vektor tekislikka perpendikulyar, shuning uchun u hidoyat deyiladi. Uning bilimi, shuningdek, tekislikka tegishli har qanday nuqtaning ma'lum koordinatalari ikkinchisini yagona tarzda aniqlaydi.
Agar P(x1; y1; z1) nuqtasi tegishli boʻlsa tekislik, keyin D kesishmasi quyidagicha hisoblanadi:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Samolyotning umumiy tenglamasidan foydalanib, bir nechta masalani yechamiz.
Vazifatekislikning normal vektorini topish
Samolyot quyidagicha ta'riflangan:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
U uchun yoʻnalish vektorini qanday topish mumkin?
Yuqoridagi nazariyadan kelib chiqadiki, normal vektor n¯ ning koordinatalari o'zgaruvchilar oldidagi koeffitsientlardir. Shu munosabat bilan n¯ ni topish uchun tenglama umumiy shaklda yozilishi kerak. Bizda:
1 / 3 × x + 1/2 × y - 1/4 × z - 13/6=0
U holda tekislikning normal vektori:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Samolyot tenglamasini tuzish masalasi
Uch nuqtaning koordinatalari berilgan:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Bu barcha nuqtalarni oʻz ichiga olgan tekislik tenglamasi qanday koʻrinishga ega boʻladi.
Bir toʻgʻri chiziqqa tegishli boʻlmagan uchta nuqta orqali faqat bitta tekislik oʻtkazish mumkin. Uning tenglamasini topish uchun avval n¯ tekislikning yo'nalish vektorini hisoblaymiz. Buning uchun biz quyidagicha harakat qilamiz: tekislikka tegishli ixtiyoriy ikkita vektorni topamiz va ularning vektor mahsulotini hisoblaymiz. Bu tekislikka perpendikulyar bo'lgan vektorni beradi, ya'ni n¯. Bizda:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Chizish uchun M1 nuqtasini olingtekis ifodalar. Biz olamiz:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Biz kosmosdagi tekislik uchun yoʻnalish vektorini aniqlash orqali umumiy turdagi ifodani oldik.
Samolyotlar bilan bogʻliq masalalarni yechishda oʻzaro mahsulot xususiyatini esga olish kerak, chunki u oddiy vektorning koordinatalarini oddiy usulda aniqlash imkonini beradi.
