Kosmosda tekislikni turli usullar bilan aniqlash mumkin (bir nuqta va vektor, ikkita nuqta va vektor, uch nuqta va boshqalar). Aynan shuni hisobga olgan holda tekislik tenglamasi turli ko'rinishga ega bo'lishi mumkin. Shuningdek, muayyan sharoitlarda tekisliklar parallel, perpendikulyar, kesishuvchi va hokazo bo'lishi mumkin. Bu haqda ushbu maqolada gaplashamiz. Biz tekislikning umumiy tenglamasini yozishni o'rganamiz, faqat emas.
Oddiy tenglama
Aytaylik, R3 boʻshliq bor, u toʻrtburchak XYZ koordinata tizimiga ega. Dastlabki O nuqtadan chiqariladigan a vektorni o'rnatamiz. a vektorning oxiri orqali unga perpendikulyar bo'lgan P tekislikni o'tkazamiz.
Ixtiyoriy Q=(x, y, z) nuqtani P bilan belgilaymiz. Q nuqtaning radius vektorini p harfi bilan belgilaymiz. Bunda a vektor uzunligi p=IaI va Ʋ=(cosa, cosb, cosy) ga teng.
Bu xuddi yon tomonga qaraydigan birlik vektorivektor a. a, b va g - Ʋ vektori va mos ravishda x, y, z fazo o'qlarining musbat yo'nalishlari o'rtasida hosil bo'ladigan burchaklar. QsP nuqtaning Ʋ vektorga proyeksiyasi r ga teng doimiy qiymat: (r, Ʋ)=r(r≧0).
Yuqoridagi tenglama p=0 boʻlganda mantiqiy boʻladi. Yagona narsa shundaki, bu holda P tekislik koordinata boshi bo‘lgan O (a=0) nuqtani kesib o‘tadi va O nuqtadan chiqarilgan Ʋ birlik vektori yo‘nalishidan qat’i nazar, P ga perpendikulyar bo‘ladi. demak, Ʋ vektor aniqlik belgisidan aniqlanadi. Oldingi tenglama vektor shaklida ifodalangan P tekisligimiz tenglamasi. Lekin koordinatalarda u shunday ko'rinadi:
R bu yerda 0 dan katta yoki teng. Fazodagi tekislik tenglamasini oddiy shaklda topdik.
Umumiy tenglama
Agar biz koordinatadagi tenglamani nolga teng bo'lmagan istalgan songa ko'paytirsak, xuddi shu tekislikni aniqlaydigan berilganga ekvivalent tenglamani olamiz. Bu shunday ko'rinadi:
Bu erda A, B, C bir vaqtning o'zida noldan farq qiladigan raqamlardir. Bu tenglama umumiy tekislik tenglamasi deb ataladi.
Tekliklar tenglamalari. Maxsus holatlar
Umumiy shakldagi tenglama qoʻshimcha shartlar mavjud boʻlganda oʻzgartirilishi mumkin. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.
A koeffitsienti 0 ga teng deb faraz qilaylik. Bu berilgan tekislik berilgan Ox oʻqiga parallel ekanligini bildiradi. Bu holda tenglama shakli o'zgaradi: Vu+Cz+D=0.
Shunga oʻxshab, tenglama shakli quyidagi sharoitlarda oʻzgaradi:
- Birinchidan, agar B=0 boʻlsa, tenglama Ax+Cz+D=0 ga oʻzgaradi, bu esa Oy oʻqiga parallellikni koʻrsatadi.
- Ikkinchidan, agar S=0 boʻlsa, tenglama Ax+Vu+D=0 ga aylanadi, bu esa berilgan Oz oʻqiga parallellikni koʻrsatadi.
- Uchinchidan, agar D=0 boʻlsa, tenglama Ax+By+Cz=0 koʻrinishida boʻladi, yaʼni tekislik O (koʻp bosh nuqta) bilan kesishadi.
- Toʻrtinchidan, agar A=B=0 boʻlsa, tenglama Cz+D=0 ga oʻzgaradi, bu Oksi bilan parallel boʻladi.
- Beshinchidan, agar B=C=0 boʻlsa, tenglama Ax+D=0 boʻladi, yaʼni Oyzgacha boʻlgan tekislik parallel.
- Oltinchidan, agar A=C=0 boʻlsa, tenglama Vu+D=0 koʻrinishini oladi, yaʼni Oxz ga parallellik haqida xabar beradi.
Tenglamaning segmentlardagi koʻrinishi
A, B, C, D raqamlari nolga teng bo'lmagan hollarda (0) tenglamaning shakli quyidagicha bo'lishi mumkin:
x/a + y/b + z/c=1, bu yerda a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.
Natijada segmentlardagi tekislik tenglamasini olamiz. Shuni ta'kidlash kerakki, bu tekislik Ox o'qini koordinatalari (a, 0, 0), Oy - (0, b, 0) va Oz - (0, 0, c) bo'lgan nuqtada kesishadi.
x/a + y/b + z/c=1 tenglamasini hisobga olgan holda, berilgan koordinatalar tizimiga nisbatan tekislikning joylashishini tasavvur qilish oson.
Oddiy vektorning koordinatalari
P tekislikdagi normal vektor n bu tekislikning umumiy tenglamasining koeffitsientlari bo'lgan koordinatalarga ega, ya'ni n.(A, B, C).
Normal n ning koordinatalarini aniqlash uchun berilgan tekislikning umumiy tenglamasini bilish kifoya.
X/a + y/b + z/c=1 ko'rinishga ega bo'lgan segmentlarda tenglamadan foydalanilganda, shuningdek umumiy tenglamadan foydalanganda a ning istalgan normal vektorining koordinatalarini yozishingiz mumkin. berilgan tekislik: (1/a + 1 /b + 1/c).
Ta'kidlash joizki, normal vektor turli muammolarni hal qilishga yordam beradi. Eng keng tarqalganlari tekisliklarning perpendikulyarligi yoki parallelligini isbotlash masalalari, tekisliklar orasidagi burchaklarni yoki tekisliklar va chiziqlar orasidagi burchaklarni topish masalalari.
Nuqta va normal vektor koordinatalari boʻyicha tekislik tenglamasining koʻrinishi
Ma'lum tekislikka perpendikulyar bo'lgan nolga teng bo'lmagan vektor n berilgan tekislik uchun normal (normal) deyiladi.
Koordinatalar fazosida (to'rtburchaklar koordinatalar tizimi) Oxyz berilgan deb faraz qilaylik:
- koordinatali Mₒ nuqtasi (xₒ, yₒ, zₒ);
- nol vektor n=Ai+Bj+Ck.
Mₒ nuqtadan normal n ga perpendikulyar oʻtadigan tekislik uchun tenglama tuzish kerak.
Fazoda istalgan ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va uni M (x y, z) bilan belgilaymiz. Har qanday M (x, y, z) nuqtaning radius vektori r=xi+yj+zk, Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) nuqtaning radius vektori rₒ=xₒ bo‘lsin. i+yₒ j+zₒk. MₒM vektor n vektorga perpendikulyar bo'lsa, M nuqta berilgan tekislikka tegishli bo'ladi. Ortogonallik shartini skalyar ko'paytma yordamida yozamiz:
[MₒM, n]=0.
MₒM=r–rₒ boʻlgani uchun tekislikning vektor tenglamasi quyidagicha boʻladi:
[r – rₒ, n]=0.
Bu tenglama boshqa shaklga ega boʻlishi mumkin. Buning uchun skalyar ko'paytmaning xossalari qo'llaniladi va tenglamaning chap tomoni o'zgartiriladi. [r - rₒ, n]=[r, n] - [rₒ, n]. Agar [rₒ, n] c sifatida belgilansa, u holda quyidagi tenglama olinadi: [r, n] - c \u003d 0 yoki [r, n] u003d c, bu proyeksiyalarning normal vektoriga doimiyligini ifodalaydi. tekislikka tegishli berilgan nuqtalarning radius vektorlari.
Endi tekisligimiz vektor tenglamasining koordinata shaklini olishimiz mumkin [r – rₒ, n]=0. Chunki r–rₒ=(x–xₒ)i + (y–yₒ)j + (z–zₒ)k va n=Ai+Bj+Ck, bizda:
Ma'lum bo'lishicha, bizda normal n ga perpendikulyar nuqtadan o'tuvchi tekislik uchun tenglama mavjud:
A(x- xₒ)+B(y-yₒ)C(z-zₒ)=0.
Teklik tenglamasining ikki nuqta va vektorning tekislikka toʻgʻri keladigan koordinatalari boʻyicha koʻrinishi
Keling, ikkita ixtiyoriy M' (x', y', z') va M″ (x″, y″, z″) nuqtalarini, shuningdek a (a', a″, a) vektorini o'rnatamiz. ‴).
Endi biz mavjud M' va M″ nuqtalari, shuningdek, berilgan a vektoriga parallel ravishda koordinatalari (x, y, z) boʻlgan har qanday M nuqtadan oʻtadigan berilgan tekislik uchun tenglama tuzishimiz mumkin.
Vektorlari M'M={x-x';y-y';z-z'} va M″M={x″-x';y″-y';z″-z ' } a=(a', a″, a‴) vektori bilan mutanosib bo'lishi kerak, bu (M'M, M″M, a)=0 degan ma'noni anglatadi.
Demak, fazodagi tekislik tenglamamiz quyidagicha koʻrinishga ega boʻladi:
Uch nuqtani kesib oʻtuvchi tekislik tenglamasining koʻrinishi
Faraz qilaylik, bizda uchta nuqta bor: (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴), bu nuqtalarga tegishli emas. bir xil tekis. Berilgan uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozish kerak. Geometriya nazariyasi shuni ta'kidlaydiki, bunday tekislik haqiqatan ham mavjud, faqat u yagona va tengsizdir. Bu tekislik (x', y', z') nuqtani kesib o'tganligi sababli, uning tenglama shakli quyidagicha bo'ladi:
Bu erda A, B, C bir vaqtning o'zida noldan farq qiladi. Shuningdek, berilgan tekislik yana ikkita nuqtani kesishadi: (x″, y″, z″) va (x‴, y‴, z‴). Shu munosabat bilan quyidagi shartlar bajarilishi kerak:
Endi biz u, v, w noma'lumlari bilan bir hil tenglamalar tizimini (chiziqli) tuzishimiz mumkin:
Bizning holatlarimizda x, y yoki z (1) tenglamani qanoatlantiradigan ixtiyoriy nuqtadir. (1) tenglamani va (2) va (3) tenglamalar tizimini hisobga oladigan bo'lsak, yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan tenglamalar tizimi notrivial bo'lgan N (A, B, C) vektorini qanoatlantiradi. Shuning uchun bu tizimning determinanti nolga teng.
Biz olgan tenglama (1), bu tekislikning tenglamasi. U aniq 3 nuqtadan o'tadi va buni tekshirish oson. Buning uchun sizga kerakdeterminantimizni birinchi qatordagi elementlarga kengaytiring. Determinantning mavjud xususiyatlaridan kelib chiqadiki, bizning tekisligimiz bir vaqtning o'zida uchta dastlabki berilgan nuqtani (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴) kesib o'tadi.. Ya'ni oldimizga qo'yilgan vazifani hal qildik.
Samolyotlar orasidagi ikki burchakli burchak
Dihedral burchak bir toʻgʻri chiziqdan chiqadigan ikkita yarim tekislikdan hosil boʻlgan fazoviy geometrik figuradir. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bu yarim tekisliklar bilan cheklangan fazoning bir qismi.
Aytaylik, bizda quyidagi tenglamalarga ega ikkita tekislik bor:
Biz bilamizki, N=(A, B, C) va N¹=(A¹, B¹, C¹) vektorlari berilgan tekisliklarga muvofiq perpendikulyar. Shu munosabat bilan N va N¹ vektorlari orasidagi ph burchagi bu tekisliklar orasidagi burchakka (dihedral) teng. Skayar mahsulot quyidagi shaklga ega:
NN¹=|N||N¹|cos ph, faqat chunki
cosph=NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹))²))
Buni hisobga olish kifoya 0≦ph≦p.
Aslida, kesishgan ikkita tekislik ikkita (dihedral) burchak hosil qiladi: ph1 va ph2. Ularning yig'indisi p ga teng (ph1+ ph2=p). Ularning kosinuslariga kelsak, ularning mutlaq qiymatlari teng, lekin ular belgilarida farqlanadi, ya'ni cos.ph1=-cos ph2. Agar (0) tenglamada A, B va C raqamlarini mos ravishda -A, -B va -C raqamlariga almashtirsak, u holda olingan tenglama bir xil tekislikni aniqlaydi, tenglamadagi yagona ph burchak cos ph=NN.1/|N||N1| p-ph bilan almashtiriladi.
Perpendikulyar tekislik tenglamasi
Perpendikulyar tekisliklar deyiladi, ular orasidagi burchak 90 gradus. Yuqorida keltirilgan materialdan foydalanib, boshqasiga perpendikulyar tekislikning tenglamasini topishimiz mumkin. Aytaylik, bizda ikkita tekislik bor: Ax+By+Cz+D=0 va A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Agar cosph=0 bo'lsa, ular perpendikulyar bo'lishini aytishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Paralel tekislik tenglamasi
Parallel - umumiy nuqtalarni o'z ichiga olmaydigan ikkita tekislik.
Tekliklarning parallellik sharti (ularning tenglamalari oldingi banddagi kabi) ularga perpendikulyar boʻlgan N va N¹ vektorlari kollinear boʻladi. Bu quyidagi mutanosiblik shartlari bajarilganligini bildiradi:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Agar mutanosiblik shartlari uzaytirilsa - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹, bu bu samolyotlar bir xil ekanligini bildiradi. Bu Ax+By+Cz+D=0 va A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 tenglamalari bitta tekislikni tasvirlashini bildiradi.
Nuqtadan samolyotgacha boʻlgan masofa
Aytaylik, bizda P tekislik bor, u (0) tenglama bilan berilgan. Biz nuqtadan unga masofani topishimiz kerakkoordinatalari bilan (xₒ, yₒ, zₒ)=Qₒ. Buning uchun siz P tekisligining tenglamasini oddiy ko'rinishga keltirishingiz kerak:
(r, v)=p (p≧0).
Bunda r (x, y, z) - P nuqtada joylashgan Q nuqtamizning radius vektori, p - nol nuqtadan chiqarilgan P perpendikulyar uzunligi, v - a.
tomon joylashgan birlik vektor
P ga tegishli boʻlgan baʼzi Q=(x, y, z) nuqta radius vektorining r-rº farqi, shuningdek berilgan Q0 nuqtaning radius vektori=(xₒ, yₒ, zₒ) shunday vektor, v dagi proyeksiyasining absolyut qiymati d masofasiga teng, uni Q0=(dan topish kerak. xₒ, yₒ, zₒ) dan P:
D=|(r-r0, v)|, lekin
(r-r0, v)=(r, v)–(r0, v)=r–(r0, v).
Ma'lum bo'lishicha, d=|(r0, v)-p|.
Endi ma'lum bo'ldiki, Q0 dan P tekislikgacha bo'lgan d masofani hisoblash uchun tekislik tenglamasining normal shaklidan foydalanish kerak, shu bilan birga p ni chap tomonga siljiting va x, y, z o‘rniga oxirgiga o‘ting (xₒ, yₒ, zₒ).
Shunday qilib, natijada olingan ifodaning mutlaq qiymatini topamiz, ya'ni kerakli d.
Parametr tilidan foydalanib, biz aniq narsani olamiz:
d=|Axₒ+Byₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Agar berilgan Q0 nuqta P tekisligining narigi tomonida, shuningdek koordinata nuqtasida boʻlsa, u holda r-r0 vektori orasida. va v - oʻtmas burchak, shuning uchun:
d=-(r-r0, v)=(r0, v)-p>0.
Agar Q0 nuqta koordinata bilan birgalikda P ning bir tomonida joylashgan boʻlsa, yaratilgan burchak oʻtkir, yaʼni:
d=(r-r0, v)=r - (r0, v)>0.
Natijada ma'lum bo'lishicha, birinchi holatda (r0, v)>r, ikkinchi holatda (r0, v)<r.
Tangens tekislik va uning tenglamasi
Mº teginish nuqtasida sirtga teginish tekisligi bu nuqta orqali sirtda chizilgan egri chiziqlarga barcha mumkin boʻlgan teglarni oʻz ichiga olgan tekislikdir.
F(x, y, z)=0 sirt tenglamasining bu koʻrinishida Mº(xº, yº, zº) teginish nuqtasidagi tangens tekislik tenglamasi quyidagicha koʻrinadi:
Fx(xº, yº, zº)(x- xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº) + Fx(xº, yº, zº)(z-zº)=0.
Agar siz sirtni aniq z=f (x, y) deb belgilasangiz, u holda tangens tekislik quyidagi tenglama bilan tavsiflanadi:
z-zº=f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Ikki tekislikning kesishishi
Uch oʻlchamli fazoda koordinatalar tizimi (toʻrtburchak) Oxyz joylashgan, kesishuvchi va bir-biriga toʻgʻri kelmaydigan ikkita P' va P″ tekisliklari berilgan. To'rtburchaklar koordinatalar sistemasida joylashgan har qanday tekislik umumiy tenglama bilan aniqlanganligi sababli, P' va P″ A'x+B'y+C'z+D'=0 va A″x tenglamalari bilan berilgan deb faraz qilamiz. +B″y+ S″z+D″=0. Bunday holda, biz P' tekisligining normal n '(A', B', C') va P ″ tekisligining normal n ″ (A ″, B ″, C ″) ga egamiz. Bizning samolyotlarimiz parallel emas va bir-biriga to'g'ri kelmasligi sababli, bularvektorlar kollinear emas. Matematika tilidan foydalanib, bu shartni quyidagicha yozishimiz mumkin: n'≠ n″ ↔ (A', B', C') ≠ (lA″, lB″, lC″), lsR. P' va P″ kesishmasida joylashgan chiziq a harfi bilan belgilansin, bu holda a=P' ∩ P″.
a - P' va P″ (umumiy) tekisliklarning barcha nuqtalari to'plamidan iborat to'g'ri chiziq. Demak, a chiziqqa tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari bir vaqtning o‘zida A'x+B'y+C'z+D'=0 va A″x+B″y+C″z+D″=tenglamalarini qondirishi kerak. 0. Bu nuqtaning koordinatalari quyidagi tenglamalar tizimining ma'lum bir yechimi bo'lishini anglatadi:
Natijada, ma'lum bo'lishicha, ushbu tenglamalar tizimining (umumiy) yechimi to'g'ri chiziqning har bir nuqtasining koordinatalarini aniqlaydi, ular P' va P' kesishish nuqtasi vazifasini bajaradi., va fazoda Oxyz (to'rtburchak) koordinata tizimidagi a to'g'ri chiziqni aniqlang.
