Eng oddiy trigonometriya funksiyasi y=Sin(x) berilgan, u oʻzining har bir nuqtasida butun taʼrif sohasidan farqlanadi. Har qanday argument sinusining hosilasi bir xil burchakning kosinusiga teng ekanligini isbotlash kerak, ya'ni y'=Cos(x).
Isbotlash funksiyaning hosilasi ta'rifiga asoslangan
Ma'lum bir nuqtaning Dx kichik mahallasida x (ixtiyoriy) belgilang x0. Berilgan funktsiyaning o'sishini topish uchun funksiyaning undagi va x nuqtadagi qiymatini ko'rsatamiz. Agar Dx argumentning o‘sishi bo‘lsa, u holda yangi argument x0+Dx=x bo’lsa, y(x) argumentining berilgan qiymati uchun bu funksiyaning qiymati Sin(x) bo’ladi. 0 +Dx), funktsiyaning ma'lum bir y nuqtasidagi qiymati (x0) ham ma'lum.
Endi bizda Du=Sin(x0+Dx)-Sin(x0) funksiyaning natijaviy oʻsishidir..
Ikki teng boʻlmagan burchaklar yigʻindisining sinusi formulasiga koʻra, ayirmani Duga aylantiramiz.
Dy=Sin(x0) Cos(Dx)+Cos(x0) Sin(Dx) minus Sin (x 0)=(Cos(Dx)-1) Sin(x0)+Cos(x0 ) Sin(Dx)).
Oʻzgartirish amalga oshirildiBirinchisini uchinchi Sin (x0) bilan guruhlangan shartlar, umumiy koeffitsient - sinusni qavs ichidan chiqaring. Ifodada Cos(Dx)-1 farqini oldik. Qavs oldidagi va qavs ichidagi belgini o'zgartirish qoladi. 1-Cos(Dx) nimaga teng ekanligini bilib, biz almashtirishni amalga oshiramiz va soddalashtirilgan Du ifodasini olamiz, keyin uni Dx ga bo'lamiz.
Du/Dx quyidagicha bo'ladi: Cos(x 0 ) Sin(Dx)/Dx-2 Sin2(0, 5 Dx) Gunoh(x0) /Dx. Bu funksiya oʻsishining ruxsat etilgan argument oʻsishiga nisbati.
Nolga moyil boʻlgan Dxda olingan lim nisbatining chegarasini topish qoladi.
Ma'lumki, bu shartda Sin(Dx)/Dx chegarasi 1 ga teng. Va hosil bo'lgan qismdagi 2 Sin2(0, 5 Dx)/Dx ifodasi ko'paytiruvchi sifatida birinchi ajoyib chegarani o'z ichiga olgan mahsulotga o'zgartirishlar bilan umumlashtiriladi: biz hisobni ajratamiz. va kasrning maxraji 2, kvadrat sinusni mahsulot bilan almashtiramiz. Shunga o'xshash:
(Sin(0, 5 Dx)/(0, 5 Dx)) Sin(Dx/2).
Dx nolga moyil bo'lganligi sababli bu ifodaning chegarasi nolga teng bo'ladi (1 marta 0). Aniqlanishicha, Dy/Dx nisbati chegarasi Cos(x0) 1-0 ga teng, bu Cos(x0), 0 ga moyil bo'lgan Dx ga bog'liq bo'lmagan ifoda. Bundan shunday xulosa kelib chiqadi: har qanday x burchak sinusining hosilasi x kosinusga teng, uni quyidagicha yozamiz: y'=Cos(x).
Olingan formula hamma elementar funksiyalar yigʻilgan sanab oʻtilgan sanab oʻtilgan jadvalda keltirilgan
Sinusning hosilasi kelgan masalalarni yechishda differensiallash qoidalari va jadvaldagi tayyor formulalardan foydalanish mumkin. Masalan: y=3·Sin(x)-15 eng oddiy funksiyaning hosilasini toping. Differensiallashning elementar qoidalaridan son koeffitsientini hosila belgisidan chiqarib, doimiy sonning hosilasini hisoblashda (u nolga teng) foydalanamiz. Cos (x) ga teng x burchak sinusining hosilasining jadval qiymatini qo'llaymiz. Javobni olamiz: y'=3·Cos(x)-O. Bu hosila ham y=3 Cos(x) elementar funksiyadir.
Har qanday argumentning sinus kvadratining hosilasi
Ushbu ifodani hisoblashda (Sin2(x))', siz murakkab funksiya qanday farqlanishini eslab qolishingiz kerak. Demak, y=Sin2(x) quvvat funksiyasi, chunki sinus kvadratdir. Uning argumenti ham trigonometrik funksiya, murakkab argumentdir. Bu holda natija ko'paytmaga teng bo'lib, uning birinchi omili berilgan kompleks argument kvadratining hosilasi, ikkinchisi esa sinusning hosilasidir. Funksiyani funksiyadan farqlash qoidasi shunday ko‘rinadi: (u(v(x)))' teng (u(v(x)))'·(v(x))'. v(x) ifodasi murakkab argumentdir (ichki funktsiya). Agar “y sinus kvadratga teng x” funksiyasi berilgan bo’lsa, bu kompleks funksiyaning hosilasi y’=2·Sin(x)·Cos(x) bo’ladi. Ko'paytmada birinchi ikkilangan koeffitsient ma'lum darajali funktsiyaning hosilasi, Cos(x) esa sinusning hosilasi, murakkab kvadratik funktsiyaning argumentidir. Yakuniy natija o'zgartirilishi mumkin,qo'sh burchakning sinusi uchun trigonometrik formuladan foydalanish. Javob: hosilasi Sin(2 x). Bu formulani eslab qolish oson va odatda jadval formulasi sifatida ishlatiladi.
