Kosinus hosilasi qanday olinadi

2024 Muallif: Angel Austin | [email protected]. Oxirgi o'zgartirilgan: 2023-12-17 05:45

Kosinusning hosilasi sinus hosilasi bilan oʻxshashlik yoʻli bilan topiladi, isbotning asosi funksiya chegarasining taʼrifidir. Burchaklarning kosinusu va sinusi uchun trigonometrik qisqartirish formulalaridan foydalanib, boshqa usuldan foydalanishingiz mumkin. Bir funktsiyani boshqasi bilan ifodalang - kosinusni sinus bilan ifodalang va sinusni murakkab argument bilan farqlang.

(Cos(x))' formulasini olishning birinchi misolini ko'rib chiqing

y=Cos(x) funktsiyaning x argumentiga argumentga argumentsiz kichik Dx ortishini bering. X+Dx argumentining yangi qiymati bilan Cos(x+Dx) funksiyaning yangi qiymatini olamiz. U holda Dy funktsiya o'sishi Cos(x+Dx)-Cos(x) ga teng bo'ladi.

Funksiya o'sishning Dx ga nisbati quyidagicha bo'ladi: (Cos(x+Dx)-Cos(x)) /Dx. Hosil bo'lgan kasrning numeratorida bir xil o'zgarishlarni amalga oshiramiz. Burchaklarning kosinuslaridagi farq formulasini eslang, natijada -2Sin (Dx / 2) marta Sin (x + Dx / 2) hosil bo'ladi. Ushbu mahsulotning lim limitining chegarasini Dx dan topamiz, chunki Dx nolga intiladi. Ma'lumki, birinchi(u ajoyib deb ataladi) chegara lim(Sin(Dx/2)/(Dx/2)) 1 ga, chegarasi -Sin(x+Dx/2) esa Dx sifatida -Sin(x) ga teng. nolga intiladi. Natijani yozing: (Cos(x))' ning hosilasi - Sin(x) ga teng.

Ba'zi odamlar bir xil formulani olishning ikkinchi usulini afzal ko'radi

Trigonometriya kursidan ma'lum: Cos(x) Sin(0, 5 ∏-x), xuddi shunday Sin(x) ham Cos(0, 5 ∏-x) ga teng. Keyin murakkab funktsiyani - qo'shimcha burchakning sinusini (x kosinus o'rniga) ajratamiz.

Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' hosilasini olamiz, chunki sinus x ning hosilasi X kosinusga teng. (0,5 ∏-x)'=-1 ekanligini hisobga olib, kosinusni sinus bilan almashtirishning Sin(x)=Cos(0,5 ∏-x) ikkinchi formulasiga murojaat qilamiz. Endi biz -Sin(x) ni olamiz. Demak, kosinusning hosilasi topildi, y=Cos(x) funksiya uchun y'=-Sin(x).

Kvadrat kosinus hosilasi

Kosinus hosilasi ishlatiladigan keng tarqalgan misol. y=Cos²(x) funktsiyasi qiyin. Biz birinchi darajali darajali funktsiyaning 2-ko'rsatkichli differentsialini topamiz, u 2·Cos(x) bo'ladi, keyin uni hosila (Cos(x))' ga ko'paytiramiz, bu -Sin(x) ga teng. Biz y'=-2 Cos(x) Sin(x) ni olamiz. Sin(2x), qo‘sh burchakning sinusi formulasini qo‘llasak, yakuniy soddalashtirilganjavob y'=-Sin(2x) ni olamiz.

Giperbolik funksiyalar

Ular koʻpgina texnik fanlarni oʻrganishda qoʻllaniladi: matematikada, masalan, integrallarni hisoblash, differensial tenglamalar yechimini osonlashtiradi. Ular xayoliy bilan trigonometrik funktsiyalarda ifodalanadiargument, shuning uchun giperbolik kosinus ch(x)=Cos(i x), bu yerda i xayoliy birlik, giperbolik sinus sh(x)=Sin(i x).

Giperbolik kosinusning hosilasi juda oddiy hisoblangan.

Funktsiyani ko'rib chiqing y=(e^x+e^-x) /2, bu va giperbolik kosinus ch(x). Ikki ifoda yig‘indisining hosilasini topish qoidasidan, hosila belgisidan doimiy koeffitsientni (Const) olish qoidasidan foydalanamiz. Ikkinchi had 0,5 e^-x murakkab funksiya (uning hosilasi -0,5 e^-x), 0,5 e^x - birinchi muddat. (ch(x)) '=((e^x+e^-x)/2)' yozish mumkin boshqa usulda: (0, 5 e^x+0, 5 e^-x)'=0, 5 e ^x-0, 5 e^-x, chunki hosila (e - x^{)' teng -1 marta e}-x^{. Natijada farq paydo bo'ladi va bu giperbolik sinus sh(x).}Chiqish: (ch(x))'=sh(x).

Qanday qilib bo'lishini misol qilib ko'rib chiqamiz. y=ch(x

3^{+1) funksiyaning hosilasini hisoblang.}Kosinuslarning giperbolik differensiallash qoidasiga ko’ra y'=sh(x

argumentli murakkab 3^{+1) (x} 3^{+1)', bu erda (x}3^{+1)'=3 x} 2^+0. Javob: bu funksiyaning hosilasi 3 x

2^sh(x3^+1).

Ko'rib chiqilayotgan funksiyalarning jadvalli hosilalari y=ch(x) va y=Cos(x)

Misollarni yechishda ularni har safar taklif qilingan sxema boʻyicha farqlashning hojati yoʻq, xulosadan foydalanish kifoya.

Misol. y=funksiyani differensiallangCos(x)+Cos²(-x)-Ch(5 x). Hisoblash oson (jadval ma'lumotlaridan foydalaning), y'=-Sin(x) +Sin(2 x)-5 Sh(5 x).