Maktab oʻquvchilari eng katta qiyinchiliklarni yengadigan matematikaning sohalaridan biri bu trigonometriyadir. Buning ajablanarli joyi yo'q: ushbu bilim sohasini erkin egallash uchun sizga fazoviy fikrlash, formulalar yordamida sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlarni topish, ifodalarni soddalashtirish va hisob-kitoblarda pi sonidan foydalanish qobiliyati kerak. Bundan tashqari, teoremalarni isbotlashda trigonometriyani qo‘llay bilishingiz kerak va buning uchun yo rivojlangan matematik xotira yoki murakkab mantiqiy zanjirlarni chiqarish qobiliyati talab etiladi.
Trigonometriyaning kelib chiqishi
Ushbu fanga kirish sinus, kosinus va burchakning tangensini aniqlashdan boshlanishi kerak, lekin avval trigonometriya umuman nima qilishini aniqlab olishingiz kerak.
Tarixiy jihatdan toʻgʻri burchakli uchburchaklar matematika fanining ushbu boʻlimida asosiy tadqiqot obʼyekti boʻlgan. 90 graduslik burchakning mavjudligi ikkitaga imkon beradigan turli xil operatsiyalarni bajarishga imkon beradiKo'rib chiqilayotgan rasmning barcha parametrlarining qiymatlarini aniqlash uchun tomonlar va bir burchak yoki ikkita burchak va bir tomon. Ilgari odamlar bu naqshni payqab qolishgan va undan binolar qurish, navigatsiya, astronomiya va hatto san'atda faol foydalana boshlaganlar.
Boshlanish
Dastlab odamlar burchaklar va tomonlarning munosabatlari haqida faqat toʻgʻri burchakli uchburchaklar misolida gapirgan. Keyin maxsus formulalar topildi, bu esa matematikaning ushbu bo'limidan kundalik hayotda foydalanish chegaralarini kengaytirish imkonini berdi.
Bugungi kunda maktabda trigonometriyani oʻrganish toʻgʻri burchakli uchburchaklar bilan boshlanadi, shundan soʻng olingan bilimlar talabalar tomonidan fizika va mavhum trigonometrik tenglamalarni yechishda qoʻllaniladi, ular bilan ishlash oʻrta maktabda boshlanadi.
Sferik trigonometriya
Keyinchalik, fan rivojlanishning keyingi bosqichiga chiqqanida, sferik geometriyada sinus, kosinus, tangens, kotangensli formulalar ishlatila boshlandi, bu erda boshqa qoidalar qo'llaniladi va uchburchakdagi burchaklar yig'indisi har doim ko'proq bo'ladi. 180 darajadan yuqori. Ushbu bo'lim maktabda o'rganilmaydi, lekin uning mavjudligi haqida bilish kerak, hech bo'lmaganda er yuzasi va boshqa har qanday sayyoraning yuzasi qavariq, ya'ni sirtning har qanday belgisi "yoysimon" bo'ladi. " uch o'lchovli fazoda.
Globus va ipni oling. Ipni globusning istalgan ikkita nuqtasiga mahkamlang, shunda u tarang bo'ladi. E'tibor bering - u kamon shaklini oldi. Bunday shakllar bilan shug'ullanadigeodeziya, astronomiya va boshqa nazariy va amaliy sohalarda ishlatiladigan sharsimon geometriya.
Toʻgʻri uchburchak
Trigonometriyani qoʻllash usullari haqida bir oz maʼlumotga ega boʻlgach, sinus, kosinus, tangens nima ekanligini, ular yordamida qanday hisob-kitoblarni bajarish mumkinligini va qanday formulalardan foydalanishni chuqurroq tushunish uchun asosiy trigonometriyaga qaytaylik.
Avvalo, siz toʻgʻri burchakli uchburchak bilan bogʻliq tushunchalarni tushunishingiz kerak. Birinchidan, gipotenuza 90 graduslik burchakka qarama-qarshi tomondir. U eng uzuni. Esda tutamizki, Pifagor teoremasiga ko'ra, uning son qiymati qolgan ikki tomon kvadratlari yig'indisining ildiziga teng.
Masalan, agar ikki tomoni mos ravishda 3 va 4 santimetr bo'lsa, gipotenuzaning uzunligi 5 santimetrga teng bo'ladi. Aytgancha, qadimgi misrliklar bu haqda to'rt yarim ming yil oldin bilishgan.
Toʻgʻri burchak hosil qiluvchi qolgan ikkita tomon oyoqlar deyiladi. Bundan tashqari, to'rtburchaklar koordinata tizimidagi uchburchakdagi burchaklarning yig'indisi 180 daraja ekanligini unutmasligimiz kerak.
Tanrif
Nihoyat, geometrik asosni yaxshi tushunib, burchakning sinusi, kosinusu va tangensi ta'rifiga murojaat qilishimiz mumkin.
Burchakning sinusi - bu qarama-qarshi oyoqning (ya'ni kerakli burchakka qarama-qarshi tomoni) gipotenuzaga nisbati. Burchakning kosinusi - qo'shni oyoqning gipotenuzaga nisbati.
Sinus ham, kosinus ham birdan katta boʻlmasligini unutmang! Nega?Chunki gipotenuza sukut bo'yicha to'g'ri burchakli uchburchakning eng uzun tomoni hisoblanadi. Oyoq qancha uzun bo'lishidan qat'iy nazar, u gipotenuzadan qisqaroq bo'ladi, ya'ni ularning nisbati har doim birdan kam bo'ladi. Shunday qilib, agar siz muammoning javobida 1 dan katta qiymatga ega bo'lgan sinus yoki kosinusni olsangiz, hisob-kitoblarda yoki fikrlashda xatolikni qidiring. Bu javob noto‘g‘ri.
Nihoyat, burchakning tangensi qarama-qarshi tomonning qo'shni tomonga nisbati. Xuddi shu natija sinusning kosinusga bo'linishini beradi. Qarang: formula bo'yicha biz tomonning uzunligini gipotenuzaga ajratamiz, shundan so'ng biz ikkinchi tomonning uzunligiga bo'linib, gipotenuzaga ko'paytiramiz. Shunday qilib, biz tangens ta'rifidagi kabi nisbatni olamiz.
Kotangent, mos ravishda, burchakka ulashgan tomonning qarama-qarshi tomonga nisbati. Birlikni tangensga bo'lish orqali ham xuddi shunday natijaga erishamiz.
Shunday qilib, biz sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'riflarini ko'rib chiqdik va formulalar bilan shug'ullanishimiz mumkin.
Oddiy formulalar
Trigonometriyada formulalarsiz bajarib bo'lmaydi - ularsiz sinus, kosinus, tangens, kotangensni qanday topish mumkin? Ammo muammolarni hal qilishda aynan shu narsa talab qilinadi.
Trigonometriyani o'rganishni boshlaganingizda bilishingiz kerak bo'lgan birinchi formulada aytilishicha, burchak sinusi va kosinus kvadratlari yig'indisi birga teng. Bu formula Pifagor teoremasining to‘g‘ridan-to‘g‘ri natijasidir, lekin agar siz burchakni emas, balki uning qiymatini bilishingiz kerak bo‘lsa, vaqtni tejaydi.
Koʻpchilik oʻquvchilar ikkinchi formulani eslay olmaydilarmaktab muammolarini hal qilishda mashhur: birning yig'indisi va burchak tangensining kvadrati burchakning kosinus kvadratiga bo'lingan biriga teng. Yaxshilab ko'ring: axir, bu birinchi formulada bo'lgani kabi bir xil bayonot, faqat identifikatsiyaning ikkala tomoni kosinus kvadratiga bo'lingan. Ma’lum bo‘lishicha, oddiy matematik amal trigonometrik formulani butunlay tanib bo‘lmaydigan qilib qo‘yadi. Esda tuting: sinus, kosinus, tangens va kotangens nima ekanligini, konversiya qoidalari va bir nechta asosiy formulalarni bilgan holda, istalgan vaqtda mustaqil ravishda qog‘oz varag‘ida kerakli murakkabroq formulalarni olishingiz mumkin.
Ikki burchakli formulalar va argumentlar qoʻshish
Oʻrganish uchun yana ikkita formula burchaklar yigʻindisi va farqi uchun sinus va kosinus qiymatlari bilan bogʻliq. Ular quyidagi rasmda ko'rsatilgan. E'tibor bering, birinchi holatda sinus va kosinus ikki marta ko'paytiriladi, ikkinchi holatda esa sinus va kosinusning juft ko'paytmasi qo'shiladi.
Ikki burchakli argumentlar bilan bogʻliq formulalar ham mavjud. Ular butunlay oldingilaridan olingan - amaliyot sifatida, beta burchagiga teng alfa burchagini olib, ularni o'zingiz olishga harakat qiling.
Nihoyat, ikki burchakli formulalar sinus, kosinus, tangens alfa darajasini kamaytirish uchun aylantirilishi mumkinligini unutmang.
Teoremalar
Asosiy trigonometriyada ikkita asosiy teorema sinus teoremasi va kosinus teoremasidir. Ushbu teoremalar yordamida siz sinus, kosinus va tangensni, demak, raqamning maydonini va kattaligini qanday topishni osongina tushunishingiz mumkin.har bir tomon va hokazo.
Sinus teoremasida aytilishicha, uchburchakning har bir tomonining uzunligini qarama-qarshi burchak qiymatiga bo'lish natijasida biz bir xil sonni olamiz. Bundan tashqari, bu raqam chegaralangan doiraning ikkita radiusiga, ya'ni berilgan uchburchakning barcha nuqtalarini o'z ichiga olgan doiraga teng bo'ladi.
Kosinus teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtiradi va uni har qanday uchburchaklarga proyeksiyalaydi. Ma'lum bo'lishicha, ikki tomonning kvadratlari yig'indisidan ularning mahsulotini ularga qo'shni burchakning ikki baravar kosinusiga ko'paytiring - natijada olingan qiymat uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'ladi. Shunday qilib, Pifagor teoremasi kosinuslar teoremasining maxsus holati bo'lib chiqadi.
E'tiborsizlik tufayli yuzaga kelgan xatolar
Sinus, kosinus va tangens nima ekanligini bilgan holda ham, beparvolik yoki eng oddiy hisob-kitoblardagi xatolik tufayli xato qilish oson. Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun keling, eng mashhurlarini ko'rib chiqaylik.
Birinchidan, yakuniy natijani olishdan oldin oddiy kasrlarni oʻnli kasrlarga aylantirmang - agar shartda boshqacha koʻrsatilmagan boʻlsa, javobni oddiy kasr sifatida qoldirishingiz mumkin. Bunday o'zgartirishni xato deb atash mumkin emas, lekin esda tutish kerakki, vazifaning har bir bosqichida yangi ildizlar paydo bo'lishi mumkin, muallifning fikriga ko'ra, ularni kamaytirish kerak. Bunday holda, siz keraksiz matematik operatsiyalarga vaqt sarflaysiz. Bu, ayniqsa, uch yoki ikkita ildiz kabi qiymatlar uchun to'g'ri keladi, chunki ular har bir qadamda vazifalarda uchraydi. Xuddi shu narsa yaxlitlash uchun ham amal qiladi.“Xunuk” raqamlar.
Keyin, kosinus teoremasi har qanday uchburchak uchun amal qiladi, lekin Pifagor teoremasi emas! Agar siz tomonlarning ikki barobar ko'paytmasini ular orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytirishni noto'g'ri unutib qo'ysangiz, siz nafaqat butunlay noto'g'ri natijaga erishasiz, balki mavzuni to'liq noto'g'ri tushunishni ham ko'rsatasiz. Bu ehtiyotsizlikdan ham yomonroq.
Uchinchidan, sinuslar, kosinuslar, tangenslar, kotangentlar uchun 30 va 60 daraja burchaklar qiymatlarini aralashtirmang. Ushbu qiymatlarni eslang, chunki 30 graduslik sinus 60 kosinusga teng va aksincha. Ularni aralashtirish oson va siz muqarrar ravishda xato natijaga erishasiz.
Ilova
Koʻpchilik talabalar trigonometriyani oʻrganishga shoshilmayaptilar, chunki ular uning amaliy maʼnosini tushunmaydilar. Muhandis yoki astronom uchun sinus, kosinus, tangens nima? Bu tushunchalar bo'lib, ular yordamida siz uzoq yulduzlargacha bo'lgan masofani hisoblashingiz, meteoritning tushishini bashorat qilishingiz, boshqa sayyoraga tadqiqot zondi yuborishingiz mumkin. Ularsiz bino qurish, avtomobilni loyihalash, sirtdagi yukni yoki ob'ektning traektoriyasini hisoblash mumkin emas. Va bu eng aniq misollar! Axir, trigonometriya u yoki bu shaklda hamma joyda, musiqadan tortib tibbiyotgacha qo'llaniladi.
Xulosa
Demak, siz sinus, kosinus, tangens nima ekanligini bilasiz. Siz ulardan hisob-kitoblarda foydalanishingiz va maktab muammolarini muvaffaqiyatli hal qilishingiz mumkin.
Barcha gaptrigonometriya uchburchakning ma'lum parametrlariga ko'ra, noma'lumlarni hisoblash kerakligiga qisqartiriladi. Hammasi bo'lib oltita parametr mavjud: uchta tomonning uzunligi va uchta burchakning kattaligi. Vazifalardagi barcha farq turli xil kirish ma'lumotlari berilganligidadir.
Oyoqlarning ma'lum uzunliklari yoki gipotenuza asosida sinus, kosinus, tangensni qanday topish mumkinligini endi bilasiz. Bu atamalar nisbatdan boshqa narsani anglatmaydi, nisbat esa kasrdir, trigonometrik masalaning asosiy maqsadi oddiy tenglama yoki tenglamalar sistemasining ildizlarini topishdan iborat. Bu yerda sizga oddiy maktab matematikasi yordam beradi.
