Statistik model - bu ba'zi bir namunaviy ma'lumotlarni yaratish bo'yicha turli xil taxminlar to'plamini o'zida mujassam etgan matematik proyeksiya. Bu atama ko'pincha ideallashtirilgan shaklda taqdim etiladi.
Statistik modelda ifodalangan taxminlar ehtimollik taqsimotlari toʻplamini koʻrsatadi. Ularning aksariyati ma'lum bir ma'lumot to'plami olinadigan taqsimotni to'g'ri taxmin qilish uchun mo'ljallangan. Statistik modellarga xos bo'lgan ehtimollik taqsimoti proyeksiyani boshqa matematik modifikatsiyalardan ajratib turadigan narsadir.
Umumiy proyeksiya
Matematik model - tizimning ma'lum tushunchalar va tillardan foydalangan holda tavsifi. Ular tabiiy fanlar (fizika, biologiya, yershunoslik, kimyo kabi) va muhandislik fanlari (masalan, informatika, elektrotexnika), shuningdek, ijtimoiy fanlar (iqtisod, psixologiya, sotsiologiya, siyosatshunoslik kabi) uchun amal qiladi.
Model tizimni tushuntirishga yordam beradi vaturli komponentlarning ta'sirini o'rganing va xatti-harakatlarni bashorat qiling.
Matematik modellar dinamik tizimlar, statistik proyeksiyalar, differensial tenglamalar yoki oʻyin nazariyasi parametrlarini oʻz ichiga olgan turli shakllarga ega boʻlishi mumkin. Ushbu va boshqa turlar bir-biriga mos kelishi mumkin va bu model ko'plab mavhum tuzilmalarni o'z ichiga oladi. Umuman olganda, matematik proyeksiyalar mantiqiy komponentlarni ham o'z ichiga olishi mumkin. Ko'p hollarda ilmiy sohaning sifati nazariy jihatdan ishlab chiqilgan matematik modellarning takroriy tajribalar natijalari bilan qanchalik mos kelishiga bog'liq. Nazariy jarayonlar va eksperimental o‘lchovlar o‘rtasidagi kelishuvning yo‘qligi ko‘pincha muhim yutuqlarga olib keladi, chunki yaxshiroq nazariyalar ishlab chiqiladi.
Fizika fanlarida an'anaviy matematik model quyidagi elementlarning ko'p sonini o'z ichiga oladi:
- Boshqarish tenglamalari.
- Qoʻshimcha submodellar.
- Tenglamalarni aniqlang.
- Tuzuvchi tenglamalar.
- Taxminlar va cheklovlar.
- Dastlabki va chegara shartlari.
- Klassik cheklovlar va kinematik tenglamalar.
Formula
Statistik model, qoida tariqasida, bir yoki bir nechta tasodifiy o'zgaruvchilarni va, ehtimol, boshqa tabiiy o'zgaruvchilarni birlashtirgan matematik tenglamalar bilan o'rnatiladi. Xuddi shunday, proyeksiya “kontseptsiyaning rasmiy tushunchasi” hisoblanadi.
Barcha statistik gipoteza sinovlari va statistik baholashlar matematik modellardan olinadi.
Kirish
Norasmiy ravishda statistik modelni ma'lum xususiyatga ega bo'lgan taxmin (yoki taxminlar to'plami) sifatida ko'rish mumkin: u har qanday hodisaning ehtimolini hisoblash imkonini beradi. Misol tariqasida, bir juft oddiy olti qirrali zarni ko'rib chiqing. Suyak haqidagi ikki xil statistik taxminni o'rganish kerak.
Birinchi taxmin:
Har bir zar uchun raqamlardan birini (1, 2, 3, 4, 5 va 6) olish ehtimoli: 1/6.
Bu farazdan ikkala zarning ehtimolini hisoblashimiz mumkin: 1:1/6×1/6=1/36.
Umuman olganda, siz har qanday hodisaning ehtimolini hisoblashingiz mumkin. Ammo shuni tushunish kerakki, boshqa ahamiyatsiz hodisaning ehtimolini hisoblash mumkin emas.
Faqat birinchi fikr statistik matematik modelni to'playdi: chunki faqat bitta taxmin bilan har bir harakatning ehtimolini aniqlash mumkin.
Yuqoridagi namunada dastlabki ruxsatnoma bilan hodisa ehtimolini aniqlash oson. Boshqa ba'zi misollar bilan, hisoblash qiyin yoki hatto real bo'lmasligi mumkin (masalan, ko'p yillik hisob-kitoblarni talab qilishi mumkin). Statistik tahlil modelini ishlab chiquvchi shaxs uchun bunday murakkablik qabul qilinishi mumkin emas: hisob-kitoblarni amalga oshirish amalda imkonsiz va nazariy jihatdan imkonsiz bo'lmasligi kerak.
Rasmiy ta'rif
Matematik nuqtai nazardan, tizimning statistik modeli odatda juftlik (S, P) sifatida qaraladi, bu erda Smumkin bo'lgan kuzatishlar to'plami, ya'ni namuna maydoni va P - S bo'yicha ehtimollik taqsimotlari to'plami.
Ushbu ta'rifning sezgisi quyidagicha. Muayyan ma'lumotlarni yaratish jarayoni tufayli yuzaga kelgan "haqiqiy" ehtimollik taqsimoti mavjud deb taxmin qilinadi.
Sozlash
Modelning parametrlarini aynan u belgilaydi. Parametrlashtirish odatda turli xil taqsimotlarga olib kelishi uchun turli qiymatlarni talab qiladi, ya'ni
tutish kerak (boshqacha qilib aytganda, u in'ektsion bo'lishi kerak). Talabga javob beradigan parametrlash aniqlanishi mumkin.
Misol
Tasavvur qilaylik, turli yoshdagi talabalar soni bor. Bolaning bo'yi stokastik ravishda tug'ilgan yiliga bog'liq bo'ladi: masalan, maktab o'quvchisi 7 yoshga to'lganda, bu o'sish ehtimoliga ta'sir qiladi, faqat odamning bo'yi 3 santimetrdan yuqori bo'ladi.
Ushbu yondashuvni toʻgʻri chiziqli regressiya modelida rasmiylashtirishingiz mumkin, masalan: balandlik i=b 0 + b 1agei + ei, bu erda b 0 - kesishma, b 1 - yoshni ko'rsatadigan parametr. balandlik monitoringini olishda ko'paytiriladi. Bu xato atamasi. Ya'ni, bo'yni ma'lum bir xato bilan yoshga qarab bashorat qiladi.
Toʻgʻri shakl barcha maʼlumot nuqtalariga mos kelishi kerak. Shunday qilib, to'g'ri chiziqli yo'nalish (i=b 0 + b 1agei darajasi) ma'lumotlar modeli uchun tenglama bo'lishga qodir emas - agar u barcha fikrlarga aniq javob bermasa. Ya'niistisnosiz, barcha ma'lumotlar chiziqda benuqson yotadi. Shakl barcha maʼlumotlar elementlariga toʻliq mos kelishi uchun ii xato chegarasi tenglamaga kiritilishi kerak.
Statistik xulosa chiqarish uchun avval e i uchun ba'zi ehtimollik taqsimotlarini qabul qilishimiz kerak. Misol uchun, e i ning taqsimoti o'rtacha nolga teng bo'lgan Gauss shakliga ega deb taxmin qilish mumkin. Bu holda model 3 ta parametrga ega bo'ladi: b 0, b 1 va Gauss taqsimotining dispersiyasi.
Modelni rasman (S, P) sifatida belgilashingiz mumkin.
Ushbu misolda model S ni belgilash orqali aniqlanadi va shuning uchun P haqida ba'zi taxminlar qilish mumkin. Ikkita variant mavjud:
Bu oʻsishni yoshning chiziqli funksiyasi bilan taxmin qilish mumkin;
Yaqinlashmadagi xatolar Gauss ichidagi kabi taqsimlangan.
Umumiy izohlar
Modellarning statistik parametrlari matematik proyeksiyaning maxsus sinfidir. Bir tur boshqasidan nimasi bilan farq qiladi? Demak, statistik model deterministik emas. Shunday qilib, unda matematik tenglamalardan farqli o'laroq, ma'lum o'zgaruvchilar ma'lum qiymatlarga ega emas, balki imkoniyatlar taqsimotiga ega. Ya'ni, individual o'zgaruvchilar stokastik hisoblanadi. Yuqoridagi misolda e stokastik o'zgaruvchidir. Busiz proyeksiya deterministik bo'lar edi.
Statistik modelni yaratish, hatto moddiy jarayon deterministik deb hisoblansa ham, tez-tez ishlatiladi. Masalan, tanga tashlash, qoida tariqasida, oldindan belgilab beruvchi harakatdir. Biroq, bu hali ham ko'p hollarda stokastik sifatida modellashtirilgan (Bernulli jarayoni orqali).
Konishi va Kitagavaga ko'ra, statistik model uchun uchta maqsad bor:
- Prognozlar.
- Axborot qazib olish.
- Stokastik tuzilmalar tavsifi.
Proyeksiya hajmi
Statistik bashorat modeli bor deb faraz qilaylik, Agar O chekli oʻlchamga ega boʻlsa, model parametrik deyiladi. Yechimda siz
deb yozishingiz kerak.
bu yerda k - musbat butun son (R har qanday haqiqiy sonlarni bildiradi). Bu erda k modelning o'lchami deb ataladi.
Misol sifatida, barcha ma'lumotlar bir o'zgaruvchan Gauss taqsimotidan kelib chiqadi deb taxmin qilishimiz mumkin:
Ushbu misolda k ning oʻlchami 2.
Va yana bir misol sifatida, ma'lumotlar (x, y) nuqtalardan iborat deb taxmin qilish mumkin, ular Gauss qoldiqlari bilan (o'rtacha nolga teng) to'g'ri chiziqda taqsimlanadi deb faraz qilinadi. Keyin statistik iqtisodiy modelning o'lchami 3 ga teng bo'ladi: chiziqning kesishishi, uning qiyaligi va qoldiqlarni taqsimlash dispersiyasi. Shuni ta'kidlash kerakki, geometriyada to'g'ri chiziq 1 o'lchamga ega.
Yuqoridagi qiymat texnik jihatdan k o'lchamiga ega bo'lgan yagona parametr bo'lsa-da, ba'zida u k xil qiymatlarni o'z ichiga oladi. Misol uchun, bir o'lchovli Gauss taqsimoti bilan O 2 o'lchamli yagona parametrdir, lekin ba'zida ikkitasini o'z ichiga oladi.individual parametr - o'rtacha qiymat va standart og'ish.
Agar O qiymatlari toʻplami cheksiz oʻlchovli boʻlsa, statistik jarayon modeli parametrik emas. Shuningdek, agar u chekli o'lchovli va cheksiz o'lchovli parametrlarga ega bo'lsa, yarim parametrik hisoblanadi. Rasmiy ravishda, agar k O ning o'lchami va n - namunalar soni bo'lsa, yarim parametrli va parametrsiz modellar
ga ega.
u holda model yarim parametrli. Aks holda, proyeksiya parametrik emas.
Parametrik modellar eng koʻp qoʻllaniladigan statistik maʼlumotlardir. Yarim parametrli va parametrik bo'lmagan proyeksiyalar haqida ser Devid Koks shunday dedi:
"Odatda ular tekstura va tarqalish shakli haqidagi eng kam farazlarni o'z ichiga oladi, lekin ular o'z-o'zini ta'minlash haqidagi kuchli nazariyalarni o'z ichiga oladi."
Ichki modellar
Ularni koʻp darajali proyeksiyalar bilan aralashtirib yubormang.
Ikkita statistik model oʻrnatilgan boʻlsa, birinchisining parametrlariga cheklovlar qoʻyish orqali birinchisini ikkinchisiga aylantirish mumkin boʻlsa. Masalan, barcha Gauss taqsimotlari toʻplamida oʻrtacha nol taqsimotlar toʻplami mavjud:
Ya'ni, o'rtacha nolga teng taqsimotlarni olish uchun barcha Gauss taqsimotlari to'plamidagi o'rtachani cheklash kerak. Ikkinchi misol sifatida, kvadratik model y=b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + e, e ~N (0, s 2) oʻrnatilgan chiziqli modelga ega y=b 0 + b 1 x + e, e ~ N (0,s 2) - ya'ni b2 parametri 0 ga teng.
Ushbu misollarning ikkalasida birinchi model ikkinchi modelga qaraganda yuqori oʻlchamlilikka ega. Bu tez-tez sodir bo'ladi, lekin har doim ham shunday emas. Yana bir misol, 2 o'lchamga ega bo'lgan ijobiy o'rtacha Gauss taqsimotlari to'plamidir.
Modellarni taqqoslash
Kuzatilgan ma'lumotlar asosida uni yaratgan jarayon tomonidan induktsiya qilingan "haqiqiy" ehtimollik taqsimoti bor deb taxmin qilinadi.
Shuningdek, modellarni kashfiyot tahlili yoki tasdiqlovchi yordamida bir-biri bilan solishtirish mumkin. Izlanish tahlilida turli modellar shakllantiriladi va ularning har biri ma'lumotlarni qanchalik to'g'ri tasvirlashiga baho beriladi. Tasdiqlovchi tahlilda ilgari tuzilgan gipoteza asl gipoteza bilan taqqoslanadi. Buning umumiy mezonlariga P 2, Bayes omili va nisbiy ehtimollik kiradi.
Konishi va Kitagavaning fikri
“Statistik matematik modeldagi koʻpgina masalalarni bashorat qiluvchi savollar sifatida koʻrish mumkin. Ular odatda bir nechta omillarni taqqoslash sifatida shakllantiriladi.”
Bundan tashqari, ser Devid Koks shunday dedi: "Mavzudan tarjima sifatida, statistik modeldagi muammo ko'pincha tahlilning eng muhim qismidir."
